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Sommaire

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SOMMAIRE

Introduction ___________________________________________________________ 4 I q-séries______________________________________________________________ 6 I-1 q-derivée et formule de Taylor _____________________________________________ 6 I-2 Passage des polynômes aux séries formelles _________________________________ 11 I-3 Séries convergentes _____________________________________________________ 13 I-3-1 Rayon de convergence _______________________________________________________ 13 I-3-2 Dérivée d'une série formelle convergente ________________________________________ 15 I-3-3 Inverse d'une série formelle ou convergente ______________________________________ 17

I-3-4 q-dérivée d'une série convergente et q-taylor______________________________________ 21

I-4 Exemples et applications _________________________________________________ 23 I-4-1 Formule de Heine ___________________________________________________________ 23 I-4-2 Aparté : produit infini ________________________________________________________ 24 I-4-3 Application identités d'Euler __________________________________________________ 27 II Triple produit de Jacobi_______________________________________________ 30 II-1 Première preuve d'Andrews _____________________________________________ 30 II-2 Seconde preuve, dite de Cauchy, indiquée par J.Zeng ________________________ 32 II-3 Variante de la formule du triple produit de Jacobi___________________________ 34 III Partitions__________________________________________________________ 37 III-1 Définition et premières propriétés________________________________________ 37 III-2 Congruence de Ramanujan._____________________________________________ 42 IV Théorèmes du nombre de représentation d'un entier comme somme de deux ou quatre carrés. _________________________________________________________ 50 IV-1 Théorème des deux carrés ______________________________________________ 50 IV-2 Théorème des quatre carrés. ____________________________________________ 53

IV-2-1 Preuve du théorème des quatre carrés par l'équation des ondes. _____________________ 53

IV-2-2 Preuve du théorème des quatre carrés par Andrews, Ekhad et Zeilberger. ______________ 59

Introduction

Des sommes et des produits- 4 -

Introduction :

Ce mémoire est centré sur la formule du triple produit de Jacobi (TPJ), et sur plusieurs applications à la combinatoire des partitions et à l'arithmétique. On retrouve le TPJ dans de nombreuses preuves, il est en effet très pratique car il a pour but de transformer des sommes infinies en produits infinis, ce qui en facilite la manipulation et permet des calculs plus aisés.

Plus précisément :

-Dans une première partie on introduit les q-séries pour définir la formule de Taylor " quantique » d'une série entière convergente. On démontre 2 identités d'Euler qui sont des applications des q-formules de Taylor de fonctions qu'on va rencontrer régulièrement. -Les identités d'Euler vont nous permettre dans une seconde partie de donner des preuves raisonnablement courtes et claires du TPJ . Et nous en donnerons une dernière vraiment courte due à Cauchy. -Le TPJ a des applications dans de nombreux domaines mathématiques, en particulier en combinatoire, on va voir qu'il est utile à l'étude des partitions. On va introduire les nombres triangulaires et pentagonaux qui interviennent dans des formules de partitions. Ces égalités nous permettrons de donner une preuve de la congruence de

Ramanujan [He]:

5mod045np

Cette preuve utilise essentiellement des outils d'algèbre linaire. -On donnera dans une dernière partie une preuve raisonnablement courte du théorème des deux carrés par Hirschhorn [H] basée elle aussi sur le TPJ .

Introduction

Des sommes et des produits- 5 -

Enfin on donnera : - une preuve du théorème des quatre carrés due à Duverney [D], preuve qui utilise l'équation de la chaleur et le TPJ pour retrouver le carré de l'expression du théorème des deux carrés. - et une autre incompréhensible de Andrews, Ekhad et

Zeilberger [AEZ].

Chapitre 1q-séries

Des sommes et des produits- 6 -

I q-séries

Dans cette partie on introduit les q-séries pour donner la q-formule de Taylor pour les séries entières convergentes :

I-1 q-derivée et formule de Taylor

Soit qC, 1qfixé.

On introduit pour une fonction ou série formelle )(xfsa q-dérivée )(xfD q telle que : ,)1()()()( xqxfqxfxfD q pour 1q

Si f est différentiable alors :

dx xdfxfDLim qq 1 q D est linéaire : pour tout ba, constants et gf, fonctions on a: ))(())(())()((xgbDxfaDxbgxafD qqq

Pour un produit de fonctions )()(xgxf on a :

xqxgxfqxgqxfxgxfD q )1()()()()())()(( xqxgqxgxfxfqxfqxg)1()()()()()()(

1)()()()())()((xgDxfxfDqxgxgxfD

qqq

Et on a aussi en échangeant fetg:

2)()()()())()((xfDxgxgDqxfxgxfD

qqq

Pour un quotient de fonctions

)()(xgxf , avec g non nulle quel que soit x en appliquant les formules du produit à fgfg,

Nous obtenons :

Chapitre 1q-séries

Des sommes et des produits- 7 -

)()()()(g(x))()(:1avecxfDxgxfDxgDqxgqxf qqq

D'où :

)()(qxgxgxgDqxfxfDqxg xgxgDqxgqxfxfD xgxfD qqqq q

De même, )()()()(

)()(g:2avecxfDxgDxgxf xgxfDqx qqq

D'où

)()(qxgxgxgDxfxfDxg qxgxgDxgxfxfD xgxfD qqqq q Nous voulons formuler le développement de Taylor d'une fonction avec ses q- dérivées : )(xfD n q

Remarquons que si

D est la dérivée usuelle elle est " très adaptée » à la famille !nXP n n Plus précisément, on peut exprimer la formule de Taylor de la façon suivante :

Proposition 1:

Sur l'espace des polynômes CX, soient D un endomorphisme linéaire, ii P une famille de polynômes et aC tels que :

1. 10)(1)(

0 ntoutpouraPetaP n

2. nDegP

n

3. 0)1(1)()(

1

DetntoutpourxPxDP

nn Alors pour tout )(xfCX de degré N, on a :).())(()( 0 xPafDxf nN nn

Chapitre 1q-séries

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Cette proposition se démontre par une récurrence immédiate. Or pour l'opérateur linéaire q

Det la famille de polynômes

!nXP n n , famille habituelle avec la dérivée usuelle D, la condition 3) n'est pas vérifiée, en effet pour 0a on a : xqaaxxaqxaxq xqaxaqxaxD q

1²2²²2²²

1²²)(

2 xqaxqxq)1(2)1()1²( axqaxD q 21
2

Et axqaxaxq1221

D'où

axaxD q !2²

Cherchons une famille )(xP

n adaptée à l'opérateur q

D pour pouvoir appliquer

la proposition 1 :

1)(:avoir devonsNous

0 xP

D'où 0)(1)()(

101
aPetxPxPD q

Nous devons donc avoir axxP)(

1

De plus nous devons avoir 0)()()(

212
aPetaxxPxPD q

Nous devons donc avoir

²2²)(2²)(

22
aaaPcaveccaxxxP

D'où

²2²aac

De sorte que :

²2²

2²)(

2 aaaxxxP

2))(()(

2 qaxaxxP

De même on trouve :

,2²²2² !3)( 3 3 cxaaaxxxPavec 333
22
!3 aaac

Chapitre 1q-séries

Des sommes et des produits- 9 -

!332!3²3²!3²3)(doncEt 3333
3 aaaxaaaxxxP !313²3²3 333
qaaqxaaxx !311²1²²1² 333
qaqxaqqaxqqx !3²1²²1² 333
aqqxaqqaxqqx !3²)( 3 aqxqaxaxxP Ces exemples suggèrent de définir les polynômes suivants : 1 01 0 !1 !1)( n ii n ii n aqxniaqxxP

Que l'on note :

1 0 !1: n ii n q aqxnax

On en déduit le lemme suivant :

Lemme 1: On a

1 n qn qq axnaxD En effet les fonctions ainsi introduites vérifient la condition 3) de la proposition1:

Preuve :

xqaqxaxaqqxqaqxaqxaxD nnn q q

1......

11 aqxqaxaxaqxaqxaxqaqxxq nnn121 ......11 aqxaxaxqaqxxqquotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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