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PCSI A 2015-2016MathematiquesLycee BrizeuxCorrige du devoir de mathematiques 4 Exercice 1. Calcul d'une somme de coecients binomiaux

1. Questions de cours.

(a) Cours! (b) Cours! (c) Cours!

2. Soit(n,p)?N2avecn≥p.

On se propose de determiner

n? k=p? k p? (a) La formule de Pascal entra^ne que pour tout entierkcompris entrep+ 1etn: ?k p? +?k p+ 1? =?k+ 1 p+ 1?

Par consequent, pour tout entierk?Jp+ 1;nK:

?k p? =?k+ 1 p+ 1? -?k p+ 1?

Sachant que

?p p?= 1,on obtient : n k=p? k p? = 1 +n? k=p+1?? k+ 1 p+ 1? -?k p+ 1?? (b) On remarque que la somme n? k=p+1?? k+ 1 p+ 1? -?k p+ 1?? est telescopique. Par consequent : n k=p+1?? k+ 1 p+ 1? -?k p+ 1?? =?n+ 1 p+ 1? -?p+ 1 p+ 1? =?n+ 1 p+ 1? -1.

On en deduit nalement quen

k=p? k p? =?n+ 1 p+ 1? .Exercice 2. Une somme double

1. Soit(n,q)?N×C.

•Rappelons que siq= 1,alorsn? k=0q k=? n? k=01? =n+ 1. •Rappelons enn que siq?= 1,alorsn? k=0q k=qn+1-1q-1. Cette derniere formule s'obtient par exemple a l'aide de la formule (q-1)? n? k=0q k? =qn+1-1. 1 PCSI A 2015-2016MathematiquesLycee BrizeuxCelle-ci s'obtient en remarquant que (q-1)? n? k=0q k? =n? k=0? qk+1-qk? et que cette derniere somme est telescopique. Soitn?N?etq?Cavecq?= 1.On se propose de determinerSn(q) =n? k=1kq k-1.

2. On remarque que pour tout entierk?J1;nK:

k j=1q k-1=qk-1( k? j=11) =kqk-1.

D'ou :

n? k=1( k? j=1q k-1) =n? k=1kq k-1.

Ce qui etablit le resultat demande :

S n(q) =n? k=1kq k-1.

3. L'echange des symbolesσdans la somme double entra^ne :

n k=1( k? j=1q k-1) =n? j=1( n? k=jq k-1)

Or pour tout entierj?J1;nK:

n k=jq k-1k?=k-1=n-1? k ?=j-1q k?=qn-qj-1q-1,

la somme en jeu etant la somme des termes consecutifs d'une suite geometrique de raisonq.Mais alors :n

k=1( k? j=1q k-1) =n? j=1q n-qj-1q-1.4. D'apres ce qui precede S n(q) =n? j=1q n-qj-1q-1.

Par linearite, on obtient :

S n(q) =qnq-1( n? j=11) -1q-1( n? j=1q j-1)

On en deduit immediatement queS

n(q) =nqnq-1-qn-1(q-1)2=nqn+1-(n+ 1)qn+ 1(q-1)2.

5. On remarque queSn(1) =?

n? k=1k? n(n+ 1)2 .On renvoie au cours pour une demonstration de ce resultat. 2 PCSI A 2015-2016MathematiquesLycee BrizeuxExercice 3. Une equation dierentielle lineaire d'ordre1

On considere l'equation dierentielle suivante :

(E) (x2+ 1)y?-xy=?x 2+ 1.

1.•La fonctionx?→x2+1est denie surRet ne s'annule pas surR.Par consequent l'equation dierentielle

a pour forme resolue (E)y?-xx

2+ 1y=1⎷x

2+ 1. On va donc pouvoir resoudre l'equation dierentielle sur l'intervalleI=R. •L'equation dierentielle homogene associee est (E0)y?-xx

2+ 1y= 0.

Sachant quex?→xx

2+1admetx?→ln(⎷x

2+ 1)comme primitive surR,on en deduit que l'ensembleS0

des solutions surRde l'equation dierentielle homogene associee est :S 0=?

R→R;x?→λ?1 +x2|λ?R?

.•On cherche dans un premier temps une solution particulierey0sous la formey0:x?→λ(x)⎷x

2+ 1 ouλ:R→Rest une fonction inconnue denie et derivable surR.Une fonctiony0ecrite sous cette forme est solution de l'equation dierentielle(E)si et seulement si ?x?R, λ?(x) =1x 2+ 1.

Orx?→1x

2+1admetarctancomme primitive surR.Il en decoule quey0:x?→arctan(x)⎷x

2+ 1est

une solution particuliere de(E). On en deduit que l'ensembleSdes solutions de(E)surRest :S=?

R→R;x?→(λ+ arctan(x))?1 +x2|λ?R?

.2. La fonction cherchee s'ecrit sous la formey:x?→(λ+ arctan(x))⎷1 +x2avecλ?R.Maisy(0) = 0?

λ= 0.Il s'agit donc de la fonction suivante :y:x?→arctan(x)?x

2+ 1.Exercice 4. Une equation dierentielle lineaire d'ordre2

On considere l'equation dierentielle denie suivante : (E)y??+ 4y= 8cos2(t).

1.•L'equation dierentielle homogeme associee est

(L0)y??+ 4y= 0. Son equation caracteristiquer2+ 4 = 0a pour racinesr1=-2ietr2= 2iPar consequent, l'ensemble S

0des solutions surRde(E0)est :S

0=?R→R;t?→αcos(2t) +βsin(2t)|(α,β)?R2?.• ?t?R,cos2(t) =cos(2t)+12

3

PCSI A 2015-2016MathematiquesLycee Brizeux•On cherchey1:R→Rety2:R→Rdes solutions particulieres de :

(E1)y??+ 4y= 4et(E2)y??+ 4y= 4 cos(2t)respectivement. Le principe de superposition entra^ne quey1+y2est solution de(E). ?→Recherchedey1.On cherchey1sous la formey1(t) =CavecC?R.En injectant dans l'equation dierentielle(E1),on trouve4C= 4soitC= 1.Par consequent, la solution particulierey1:R→R de(E1)trouvee est :y

1:t?→1.?→Recherchedey2.On cherche au prealableY2:R→Cune solution particuliere de :

(L2)CY?? + 4Y= 4ei2t. Puisquer= 2iest solution de l'equation caracteristique, on chercheY2sous la formeY2=Ate2it avecA?C.

On a :Y2??

(t) = (4iA-4At)e2itpour toutt?R. Par consequentY2est solution de(E2)Csi et seulement si4iA= 4si et seulement siA=-i.La solution particuliere de(E2)Ctrouvee est donc Y

2:t?→ -ite2it.

La partie reelle deY2etant une solution particuliere de(E2),la solution particulierey2:R→Rde (E2)trouvee est :y

2:t?→tsin(2t).Ainsi la solution particuliere de(E)est :y

0:t?→1 +tsin(2t).•L'ensembleSdes solutions de(E)surRest doncS=?R→R;t?→1 +tsin(2t) +αcos(2t) +βsin(2t)|(α,β)?R2?.2. Compte-ten de ce qui precede la solution cherchee s'ecrit sous la forme

y:t?→1 +tsin(2t) +αcos(2t) +βsin(2t).

Par consequent, pour tout reelt:

y ?(t) = sin(2t) + 2tcos(2t)-2αsin(2t) + 2βcos(2t). Les conditions initiales imposees sont alors equivalentes a ?α=-1

β= 0

Par consequent, l'unique solution de(E)verianty(0) =y?(0) = 0est la fonctiont?→1 +tsin(2t)-cos(2t).Probleme 1. Quelques proprietes des coecients binomiaux

L'objectif du probleme est d'etudier certaines proprietes remarquables des coecients binomiaux.

Questions de cours

1. Cours!

2. Cours!

4 PCSI A 2015-2016MathematiquesLycee BrizeuxUn encadrement du coecient binomial ?2n n? Dans cette partie, on se propose d'etablir que pour tout entier natureln: 4 n?

Pour cela, on pose pour entier natureln:

I n=? 1 0 tn(1-t)ndt.

3. D'apres la formule du bin^ome de Newton,

2

2n= (1 + 1)2n=2n?

k=0? 2n k?

Par consequent :2n?

k=0? 2n k? = 4 nOn remarque que ?2n n?est le terme d'indicende la somme precedente et chaque terme de la somme est positif. Il en decoule immediatement que? 2n n? et que cette valeur maximale est egale a 14 .On en deduit immediatement que : (b) La fonctionx?→xnetant croissante surR+,on tire de la question precedente que : n. D'ou I 1 0dt4 n=14 n.

5. (a) Posons pour tout entierk?J0;nK

P(k) 1

0tn-k(1-t)n+kdt>

Montrons queP(k)est vraie pour tout entierk?J0;nKa l'aide d'une recurrence nie. •Initialisation.Pourk= 0: (n!)2(n-k)!(n+k)!? 1 0 tn-k(1-t)n+kdt=? 1 0 tn(1t)ndt=In.

La proprieteP(0)est donc vraie.

•Heredite.Soitk?J0;n-1Kun entier tel queP(k)est vraie. Montrons qu'alorsP(k+1)est vraie.

Par hypothese de recurrence :

I n=(n!)2(n-k)!(n+k)!? 1 0 tn-k(1-t)n+kdt. 5

PCSI A 2015-2016MathematiquesLycee Brizeux

A l'aide d'une integration par parties, on obtient : 1 0 tn-k(1-t)n+kdt=? -tn-k(1-t)n+k+1n+k+ 1? t=1 t=0+n-kn+k+ 1? 1 0 tn-(k+1)(1-t)n+k+1dt. consequent : I n=(n!)2(n-k)!(n+k)!n-kn+k+ 1? 1 0 tn-(k+1)(1-t)n+k+1dt (n!)2(n-(k+ 1))!(n+k+ 1)!? 1 0 tn-(k+1)(1-t)n+k+1dt (b) L'egalite precedente pourk=nconduit a : I n=(n!)2(2n)!? 1 0 (1-t)2ndt. Or ?1 0 (1-t)2ndt=? -(1-t)2n+12n+ 1? t=1 t=0=12n+ 1.

Par consequent :I

n=1(2n+ 1)?2n n? .Or d'apres la question 4 (b) :

1(2n+ 1)?2n

n? n.

Ce qui donne l'inegalite :

4 n?

Une expression du coecient binomial

?2n n? Dans cette partie, on se propose d'etablir que pour tout entier natureln: ?2n n? =n? k=0? n k? 2 A cette n, on considere les fonctions polynomialesfn:x?→(1 +x)2netgn:x?→(1 +x)n.

6.Remarques preliminaires.

(a) Par symetrie : ?k?J0;nK,?n n-k? =?n k?

D'ou :

n? k=0? n k?? n k? =n? k=0? n k?? n n-k? (b) Par application de la formule du bin^ome de Newton, on obtient : ?x?R, fn(x) =2n? k=0? 2n k? x k. ?x?R, gn(x) =n? k=0? n k? x k.

Le terme de degrende la fonctionfnest egal a?2n

n?xn.Ainsi le coecient de degrendefnest egal a?2n n?. 6 PCSI A 2015-2016MathematiquesLycee Brizeux7.Developpement de deux fonctions polynomiales de degren. n? k=0a kxk? ? n? ?=0b ?x?? =2n? i=0( (min(n,i)? k=max(i-n,0)a kbi-k) xi. (a) En developpant le produit, on obtient : n? k=0a kxk? ? n? ?=0b ?x?? =n? k=0? n? ?=0a kb?xk+?? Le changement d'indicei=k+?dans la somme interieure donne : n? k=0a kxk? ? n? ?=0b ?x?? =n? k=0? n+k? i=ka kbi-kxi?

(b) Il s'agit d'echanger les symbolesσde la somme double obtenue a la question precedente. La somme

en jeu est une somme de la forme n? k=0? k+n? i=ku k,i? .Comme suggere, on doit ranger les termes de la somme double dans un tableau an+1lignes (l'indicekdecrivant l'intervalle entierJ0;nK) et2n+1

lignes puisque les valeurs atteintes par l'indiceisont dans l'intervalle entierJ0;2nK:i= 0i=ki=ni=k+ni= 2nk= 0u

0,0···u

0,k···u

0,n. ..ku k,k···u k,n···u k,k+n. ..k=nu n,n···u n,k+n···u n,nAu vu du tableau ci-dessus : n k=0? k+n? i=ku k,i? =n? i=0? i? k=0u k,i? +2n? i=n+1? 2n? k=n-iu k,i?

Par ailleurs, on remarque que

nsii > n+ 1

D'ou :n

k=0? k+n? i=ku k,i? =2n?quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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