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Lycée Pierre de Fermat2021/2020

MPSI 1TD

Manipulation des coefficients binômiaux

1 Formule du binôme de Newton

?Exercice1.1.Calculer les quantités suivantes : n k=0(⎷

2)n-k?n

k? ,2n?k=0(-3)k?2n k? ,2n?k=0(-3)n-k?2n k? ,2n? k=0(-3)2n-k?2n k? ,2n?k=03 n-2k?2n k? ?Exercice1.2.

1. (a) Soitn?N?. Montrer que, pour toutk?[[1,n]],?n

k? =n k? n-1 k-1? (b) En déduire les égalités suivantes, pour toutn?N?, n k=0k?n k? =n2n-1,sin?2,n? k=0(-1)kk?n k? = 0.

2. En considérant la fonctionf(x) = (1+x)n, en la développant par la formule du binôme, en dérivant, puis

en l"évaluant pour des valeurs particulières dex, retrouver les deux expressions obtenues dans la question

précédente.

3. Établir les égalités suivantes, pour toutn?N?,

n k=0k?n k? =n2n-1,sin?2,n?k=0(-1)kk?n k? = 0, sin?2,n? k=0 k≡0[2]k?n k? =n2n-2,n? k=0 k≡1[2]k?n k? =n2n-2.

4. En déduire la somme

n?k=0(-1)k(n-k)?n k?

?Exercice1.3.En adaptant la méthode de l"exercice précédent consistant àconsidérer la fonctionf(x) =

(1 +x)n, montrer que n k=01 k+ 1? n k? =2n+1-1n+ 1etn? k=0(-1)kk+ 1? n k? =1n+ 1. ?Exercice1.4.Soitx?R.

1. Calculer :

n?k=0? n k? cos(kx) etn?k=0? n k? sin(kx).

2. En déduire

n? k=0k?n k? sin(kx) etn? k=0? n k? cos

2(kx).

2 Sélection des termes d"une somme de coefficients binomiaux

?Exercice2.1.

1. Calculer, pour toutn?N?, les quantités suivantes :

I n=? n-1

2??k=0(-1)k?n

2k+ 1?

etRn=? n2?? k=0(-1)k?n 2k?

2. Démontrer queR2n+I2n= 2n.

1 ?Exercice2.2.Calculer, pourn?N, les sommes qui suivent : n k=0 k≡0[3]? n k? ,n? k=0 k≡1[3]? n k? ,n? k=0 k≡2[3]? n k? ?Exercice2.3.Démontrer la relation : ?n?N?,? n 2?? k=0(-1)k3k?n 2k?

0?2k?n(-1)k3k?n

2k? = 2 ncos?nπ 3?

3 Relations combinatoires

?Exercice3.1.Démontrer, pour tout (n, p, q)?N3,n?p,n?q, n k=0? p k?? q n-k? =?p+q n?

Comment cette propriété s"illustre-t-elle sur le trianglede Pascal? en déduire une expression simple pour

n k=0? n k? 2 ?Exercice3.2.Démontrer, pour tout (n, p)?N2tels que 0?p?n, p k=0? n k?? n-k p-k? = 2 p?n p? ?Exercice3.3.Démontrer, de plusieurs manières, pour tout (n, p)?N2tel que 0?n?p, p k=n? k n? =?p+ 1 n+ 1? et interpréter cette relation sur le triangle de Pascal.

4 Estimations des coefficients binomiaux

?Exercice4.1.Démontrer par récurrence les inégalités suivantes, pour toutn?N?, 1) 4n

2n??2n

n? ?4n22)4n2⎷n??2n n? ?4nn13

5 Identités impliquant des coefficients binomiaux

?Exercice5.1.

1. Soientn?N?, (x1, x2,···xn)?Rn, montrer que

x

1+ (1-x1)x2+···+ (1-x1)(1-x2)···(1-xn-1)xn+ (1-x1)(1-x2)···(1-xn-1)(1-xn) = 1.

2. En déduire que, pour toutn?N?,n?k=1kk!

nk? n k? =n. ?Exercice5.2.Montrer l"identité : ?n?N?,n? k=1(-1)k+1 k? n k? =n? k=11k. 2

Correction des exercices

?Corrigé de l"exercice 1.1 •n?k=0(⎷2)n-k?n k? =n?k=0(⎷2)n-k?n k? 1 k×(⎷2)n-k= (1 +⎷2)n.

2n?k=0(-3)k?2n

k? =2n?k=0? 2n k? (-3)k×12n-k= (-3 + 1)2n= 4n.

2n?k=0(-3)n-k?2n

k? =1 (-3)n2n? k=0? 2n k? 1 k×(-3)2n-k=(1-3)2n(-3)n=? -43? n ou bien

2n?k=0(-3)n-k?2n

k? = (-3)n2n?k=0? 2n k?? -1 3? k

×12n-k= (-3)n?

1-13? 2n -43? n

2n?k=0(-3)2n-k?2n

k? =2n?k=0? 2n k? 1 k×(-3)2n-k= (1-3)2n= 4n ou bien

2n?k=0(-3)2n-k?2n

k? = (-3)2n2n?k=0? 2n k?? -1 3? k

×12n-k= (-3)2n(-13+ 1)2n= 4n.

2n?k=03

n-2k?2n k? =1

33n2n?

k=0? 2n k? 1 k×34n-2k=133n2n?k=0? 2n k? 1 k×92n-k=(1 + 9)2n27n=?10027? n ou bien

2n?k=03

n-2k?2n k? = 3 n2n? k=0? 2n k?? 1 9? k

×12n-k= 3n×?19+ 1?

2n =?10027? n ou bien

2n?k=03

n-2k?2n k? =1 3n2n? k=0? 2n k?? 13? k

×32n-k=13n×?13+ 3?

2n =?10027? n ?Corrigé de l"exercice 1.2

1. (a) Soitk?[[1,n]] fixé quelconque.

?n k? =n! n-1 k-1? (b) n k=0k?n k? =n? k=0k?n k? car le terme d"indicek= 0 est nul n? k=1k×n k×?n-1 k-1? cark?[[1,n]],?n k? =nk? n-1 k-1? =nn-1? j=0? n-1 j? en posantj=n-1 =n2n-1car 2n-1= (1 + 1)n-1=n-1? j=0? n-1 j?

2. Posonsf(x) = (1 +x)n=n?

k=0? n k? x k. La fonctionfest définie surR, dérivable surR(car polynomiale) et ?x?R, f?(x) =n(1 +x)n-1=n? k= 1 ?n k? kx k-1 En évaluant l"identité ci-dessus pourx= 1, on obtient n2n-1=n? k= 1 k?n k? =n? k=0k?n k? puis pourx=-1,

0 =n?k=

1 (-1)kk?n k? =n?k=0(-1)kk?n k? 1

Ainsi,

n? k=0k?n k? =n2n-1etn? k=0(-1)kk?n k? = 0

3. En faisant la demi-somme (resp. la demi-différence) des deux égalité ci-dessus, on sélectionne les termes

d"indices pairs (resp. d"indices impairs) : n2n-1+ 0 2=12? n?k=0k?n k? +n?k=0(-1)kk?n k? =n? k=01 + (-1)k2?????= 1??k≡0 [2] = 0??k≡1 [2]k ?n k? =n? k=0 k≡0[2]k?n k? d"où n? k=0 k≡0[2]k?n k? =n2n-2

De même,

n2n-1-0 2=12? n?k=0k?n k? -n?k=0(-1)kk?n k? =n? k=01-(-1)k2?????= 1??k≡1 [2] = 0??k≡0 [2]k ?n k? =n? k=0 k≡1[2]k?n k? d"oùquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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