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M1MI2016 : Codes et cryptologie 2012/2013 Corrigé du DS n 2

Exercice 1. Résoudre le système de congruences : équivaut donc à la congruence x ? a mod (3×11) avec a = 1×(?1×11)+2×(4×3) = 13. Le système se réduit ...



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Résolution des équations sur les congruences. Supposons que l'on cherche à résoudre : Cherchons à résoudre le système de congruences suivant :.



Feuille 1 : Arithmétique élémentaire et congruences

Indication : on pourra traduire le problème comme un système de congruences et utiliser le théorème des restes chinois. Exercice 12 a et b sont premiers 



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Exercice 4. On dit que a mod n est inversible si il existe b mod n tel que ab ? 1 mod n. 1. Trouver tous les éléments inversibles modulo 5 6



Congruence - Equations diophantiennes

Cette relation est appelée la relation de congruence modulo p. On pourra à titre d'exercices



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3. Déterminer un inverse de 75 modulo 13. Exercice 4. Résoudre dans Z les systèmes de congruence suivants. (1). {?. ? 3 (mod 12). ? 3 (mod 21).



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Ultrabac Terminale S – Exercice de spécialité du sujet Antilles-Guyane septembre 2008. Page 1 sur 4. Partie A. On considère le système de congruence :.



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En déduire le reste dans la division euclidienne par 55 de. 823. Exercice 4. Résoudre le système de congruence x ? 1 ...



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Exercices sur les congruences Exercice 1 Déterminer les congruences suivantes : 1) Modulo 5 des nombres suivants : 12 ; 45 ; 87 ; 12 ; 104



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Exercice : 1) Étudier suivant les valeurs du nombre entier naturel le reste de la division euclidienne de 7 par 10 2) Dans le système de numération en 



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Exercice 1 Résoudre le système de congruences : x ? 1 mod 3 x ? 2 mod 11 x ? 51 mod 61 Solution L'algorithme d'Euclide étendu :



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pour la division (et la simplification des congruences) car ils sont congrus modulo 5 et 12345 est un système de représentants (b) Exercice



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Le théorème chinois des restes Soit m1m2 mr une suite d'entiers positifs premiers entre eux deux à deux Alors le système de congruences :



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Exercice 4 On dit que a mod n est inversible si il existe b mod n tel que ab ? 1 mod n 1 Trouver tous les éléments inversibles modulo 5 6 9 11



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3 Déterminer un inverse de 75 modulo 13 Exercice 4 Résoudre dans Z les systèmes de congruence suivants (1) { ? 3 (mod 12) ? 3 (mod 21)

  • Comment résoudre un système de congruence ?

    Principe des congruences
    Comment ? marche ? Pour déterminer des congruences modulo n , on élimine du nombre les multiples de n . Exemple 1 On sait que ; 15 est donc égal à un multiple de 7 plus 1 ; on a donc : On a donc un nombre limité de possibilités quand on travaille avec les congruences .
  • Comment fonctionne le tableau de congruence ?

    Le caractère utilisé pour exprimer la congruence de deux entiers est ?.

    1a ? b (n) ;2a ? b [n] ;3a ? b (mod n) ;4a ? b mod n (notation de Gauss).
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