[PDF] Électrocinétique I - Circuits linéaires en régime transitoire





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E3 – Régimes transitoires

I.1 Régime libre régime transitoire et régime continu correspond au régime libre du circuit (absence de source de tension ou de courant).



E4 – Réseaux linéaires en régime transitoire / régime permanent

correspond au régime libre du circuit (absence de source de tension ou de courant). - uP est une solution particuli`ere de l'équation avec second membre 



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VII-1 – OSCILLATEURS AMORTIS EN REGIME LIBRE. Le modèle de l'oscillateur harmonique étudié au chapitre I peut être amélioré afin de prendre en compte des 



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Différents régimes selon le discriminant : • frottements négligeables (? ? ?0). ?? ? < 0 : régime pseudo-périodique. =? Oscillations électriques.



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Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits

Nov 23 2003 forme de chaleur par effet Joule). 3.1.2. Régime libre d'un circuit RL. 3.1.2.1. Position du problème.



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TD S10 – Régime libre des circuits linéaires d'ordre 1 D Malka – MPSI 2015-2016 – Lycée Saint-Exupéry S1–Résistance de fuite d'un condensateur



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Afin d'étudier un tel oscillateur amorti on choisit de l'exciter à un instant initial puis d'étudier sa réponse c'est ce que l'on appelle un régime libre La 

  • C'est quoi un régime libre ?

    C'est une équation différentielle linéaire du 1 ordre à coefficients constants et sans 2 membre. soit : = ?E0e- . On se rend compte que le régime libre est un régime transitoire de durée de l'ordre du temps caractéristique du circuit RL série m = L R : au bout de « quelques » m , i ? 0 et ? 0.

  • Comment calculer la durée d'un régime transitoire ?

    L'amortissement des oscillations est caractérisée par la constante de temps ?2=2L/R ? 2 = 2 L / R . Plus la résistance est faible, plus longue est la durée du régime transitoire.

  • Comment se comporte un condensateur en régime transitoire ?

    Durant ce régime transitoire, les condensateurs et bobines ne se comportent plus comme des interrupteurs. Ce n'est qu'après un certain temps que le circuit atteint un nouvel équilibre et qu'on peut l'analyser comme s'il était en régime permanent, dans un état d'équilibre stable.
  • Régime pseudo-périodique : ? Celui-ci est observé quand l'amortissement est faible c'est à dire quand la valeur de Rt est petite. ? On observe un signal périodique dont l'amplitude des oscillations décroît au cours du temps.

MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 1/8Circuits lin´eaires en r´egimetransitoireTable des mati`eres1 Conditions initiales et continuit´e1

2 R´egime libre du circuit RC1

2.1 ´Evolution de la tension aux bornes du condensateur . . . . . . . .1 2.2 ´Evolution de l"intensit´e du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.3 ´Etude ´energ´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 R´egime libre du circuit RL2

3.1 ´Evolution de l"intensit´e du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3.2 ´Evolution de la tension aux bornes de la bobine . . . . . . . . . . . 3 3.3 ´Etude ´energ´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 R´egime libre du circuit RLC s´erie 3

4.1 ´Equation diff´erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4.2 Diff´erents r´egimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.3 ´Etude ´energ´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5 R´eponse d"un circuit RC `a un ´echelon de tension 5

5.1 ´Evolution de la tension aux bornes du condensateur . . . . . . . .5 5.2 ´Evolution de l"intensit´e du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5.3 Bilan ´energ´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6 R´eponse d"un circuit RL `a un ´echelon de tension 6

6.1 ´Evolution de l"intensit´e du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6.2 ´Evolution de la tension aux bornes de la bobine . . . . . . . . . . . 6

6.3 Bilan ´energ´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

7 R´eponse d"un circuit RLC s´erie `a un ´echelon de tension 7

7.1 Tension aux bornes du condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7.2 Bilan ´energ´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 Conditions initiales et continuit´e

On va ´etudier ce qui se passe entre entre deux r´egimes continus = r´egime transi- toire. Les grandeurs ´electriques ne sont plus constantes.Rappelons les conventions et r´esultats pour la bobine et le condensateur : i uL u=Ldi dt

L inductance en henry (H).

i uC q q=Cu i=dq dt=Cdu dt

C capacit´e en farad (F).

Les circuits ´etant lin´eaires, toute grandeur ´electriquex(t) est d´ecrite par une ´equation diff´erentielle lin´eaire `a coefficient constant. On d´etermine les constantes d"int´egration grˆace aux conditions initiales en utilisant : - la continuit´e de la tension aux bornes du condensateur (sinoni=Cdu dttendrait vers l"infini ce qui est physiquement impossible); - la continuit´e de l"intensit´e du courant dans la bobine (sinonu=Ldi dttendrait vers l"infini ce qui est physiquement impossible). Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 2/82 R´egime libre du circuit RC2.1´Evolution de la tension aux bornes du condensateur

iquCE RI UCE R Le condensateur est initialement charg´e sous une tensionE. En r´egime continu, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvertU=EetI= 0 (E/R dans la r´esistance). At= 0, on ouvre l"interrupteur, le condensateur se d´echarge dans la r´esistance : u=Ri=-Rdq dt=-RCdu dt du dt+u

τ= 0 avecτ=RC

La solution est de la formeu(t) =Aexp(-t/τ).

u(0) =A=Epar continuit´e de la tension aux bornes du condensateur.

Finalement :u(t) =Eexp(-t/τ)

u(t) t E ?dudt? t=0=-E

La tangente `a l"origine d"´equation-E

τt+Ecoupe l"axe des abscisses ent=τ.

D"autre part :

pourt=τ,u=Eexp(-1) = 0,37E pourt= 2τ,u=Eexp(-1) = 0,14E pourt= 3τ,u=Eexp(-1) = 0,05E 2.2

´Evolution de l"intensit´e du courant

i=-dq dt=-Cdu dt, ce qui donne : i(t) =E

Rexp(-t/τ)

i(t) t E R Le condensateur assure la continuit´e de la tension `a ses bornes mais pas celle de l"intensit´e du courant. Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 3/82.3´Etude ´energ´etique

Calculons l"´energie re¸cue (on est bien en convention r´ecepteur pour la r´esistance) et dissip´ee par effet Joule dans la r´esistance : W=? Pdt=? uidt=E2 R? 0 exp(-2t/τ)dt=E2 R? exp(-2t/τ) -2/τ? 0 W=1

2CE2´energie emmagasin´ee dans le condensateur.

3 R´egime libre du circuit RL

3.1

´Evolution de l"intensit´e du courant

I U L R i u L R E En r´egime continu, la bobine se comporte comme un interrupteur ferm´eU= 0 et

I=E/R.

At= 0, on supprimeE:

u=Ldi dt=-Ri di dt+i

τ= 0 avecτ=L/R

La solution est de la formei(t) =Aexp(-t/τ).

i(0) =A=E/Rpar continuit´e de l"intensit´e du courant dans la bobine.

Finalement :i(t) =E

Rexp(-t/τ)

i(t) t E R 3.2 ´Evolution de la tension aux bornes de la bobine u=Ldi dt, ce qui donne : u(t) =-Eexp(-t/τ) u(t) t -Eτ Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 4/83.3´Etude ´energ´etique

Calculons l"´energie re¸cue (on est en convention g´en´erateur pour la r´esistance) et

dissip´ee par effet Joule dans la r´esistance : W=? Pdt=? -uidt=E2 R? 0 exp(-2t/τ)dt=E2 R? exp(-2t/τ) -2/τ? 0 W=1 2E 2RL R=1

2LI2´energie emmagasin´ee dans la bobine.

4 R´egime libre du circuit RLC s´erie

4.1

´Equation diff´erentielle

iquCL R E (1)u=Ri+Ldi dt avecu=q/Ceti=-dq dtdonneq

C=-Rdq

dt-Ld2q dt2soit : (2) d2q dt2+R Ldq dt+1

LCq= 0

Avecq=Cu, (2) donne :

d 2u dt2+R Ldu dt+1

LCu= 0

En d´erivant (1) et en utilisantu=q/Ceti=-dq

dt, on obtient : d 2i dt2+R

Ldidt+1

LCi= 0

4.2 Diff´erents r´egimes

d2udt2+ 2αdu dt+ω20u= 0 r´egime

2α=R

L,ω20=1

LCetQ=ω0

2α Q >1 2 u= e-αt(Acos(Ωt) +Bsin(Ωt)) pseudo-p´eriodique

Ω2=ω20-α2

Q <1 2 u= e-αt(A?eΩ?t+B?e-Ω?t) ap´eriodique

Ω?2=α2-ω20

Q=1 2 u= e-ω0t(A??t+B??) critique

Qs"appelle le facteur de qualit´e.

On d´etermine les constantes grˆace aux conditions initiales en utilisant la conti- nuit´e de la tension aux bornes du condensateur et la continuit´e de l"intensit´e du courant dans la bobine. Eu(t) t

La pseudo-p´eriode est ´egale `aT=2π

ω=2π

ω20-α2=2π

ω0?

1-1 4Q2 Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 5/84.3´Etude ´energ´etique

En multipliant (1) pari, on obtient :

ui=Ri2+Ldi dti commei=-dq dtetq=Cu, on a : -Cudu dt=Ri2+Ldi dti d dt? 1

2Cu2+1

2Li2? =-Ri2 L"´energie emmagasin´ee dans le condensateur et la bobine `a un instant t,W(t) =1

2Cu2+1

2Li2, diminue au cours du temps, elle est dissip´ee par effet Joule dans la

r´esistance.

5 R´eponse d"un circuit RC `a un ´echelon de tension

5.1 ´Evolution de la tension aux bornes du condensateur I UC R iquC R EE Le condensateur est initialement d´echarg´e (R´egime continuU= 0 etI= 0). At= 0, on ferme l"interrupteur et le condensateur se charge :

E=Ri+u=RCdu

dt+u du dt+u

τ=E

τavecτ=RC

La solution est de la formeu(t) =u(h)+u(p)=Aexp(-t/τ)+E. u(0) =A+E= 0 par continuit´e de la tension aux bornes du condensateur.

Finalement :

u(t) =E(1-exp(-t/τ)) Eu(t) t 5.2

´Evolution de l"intensit´e du courant

i= +dq dt=Cdu dtce qui donne :

ERexp(-t/τ)

Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007 MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 6/8 E i(t) ER t

5.3 Bilan ´energ´etique

MultiplierE=Ri+uparidonne :

Ei=Ri2+ui

o`u Ei est la puissance fournie par le g´en´erateur (E(-i) puissance re¸cue); Ri

2est la puissance re¸cue et dissip´ee dans la r´esistance;

uiest la puissance re¸cue et emmagasin´ee dans le condensateur. 0

Eidt=E2

R? 0 exp(-t/τ)dt=E2

RRC=CE2

0

Ri2dt=RE2

R2? 0 exp(-2t/τ)dt=RE2 R2RC 2=1 2CE2 0 uidt=E2 R? 0 (exp(-t/τ)-exp(-2t/τ))dt=E2

R(RC-RC

2) =1 2CE2

L"´energie fournie par le g´en´erateur se r´epartit ´equitablement entre la r´esistance

et le condensateur.

6 R´eponse d"un circuit RL `a un ´echelon de tension

6.1´Evolution de l"intensit´e du courant

i u L R I U L R E E

R´egime continuU= 0 etI= 0.

At= 0, on ferme l"interrupteur :

E=Ri+Ldi

dt di dt+i

τ=E

Lavecτ=L/R

La solution est de la formei(t) =i(h)+i(p)=Aexp(-t/τ) +E R. i(0) =A+E R= 0 par continuit´e de l"intensit´e du courant dans la bobine.

Finalement :

i(t) =E

R(1-exp(-t/τ))

i(t) ER t Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 7/86.2´Evolution de la tension aux bornes de la bobine

u=Ldi dtce qui donne : u(t) =Eexp(-t/τ) u Eu(t) t

6.3 Bilan ´energ´etique

MultiplierE=Ri+uparidonne :

Ei=Ri2+ui

o`u Ei est la puissance fournie par le g´en´erateur (E(-i) puissance re¸cue); Ri

2est la puissance re¸cue et dissip´ee dans la r´esistance;

uiest la puissance re¸cue et emmagasin´ee dans la bobine. Quandt→ ∞Un nouveau r´egime continu s"´etablit avecI=E/Rdonc : 0

Eidt→ ∞

0

Ri2dt→ ∞

0 uidt=E2 R? 0 (exp(-t/τ)-exp(-2t/τ))dt=E2 R(L R-L

2R) =1

2LI2

7 R´eponse d"un circuit RLC s´erie `a un ´echelon de

tension

7.1 Tension aux bornes du condensateur

iquCL R E Le condensateur est initialement d´echarg´e.

At= 0, on ferme l"interrupteur :

E=Ldi dt+Ri+usoit : d 2q dt2+R Ldq dt+1 LCq=E L uetiv´erifient la mˆeme ´equation.

La solution est de la formeq(t) =q(h)+q(p).

Pourq(h)voir r´egime libre.

q (p)=CE.

Par exemple en r´egime pseudo-p´eriodique :

Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007 MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 8/8 Eu(t) t

7.2 Bilan ´energ´etique

MultiplierE=Ldi

dt+Ri+uparidonne :

Ei=Ldi

dti+Ri2+Cdu dtu o`u Ei est la puissance fournie par le g´en´erateur (E(-i) puissance re¸cue); L di dtiest la puissance re¸cue et emmagasin´ee dans la bobine; Ri

2est la puissance re¸cue et dissip´ee dans la r´esistance;

uiest la puissance re¸cue et emmagasin´ee dans le condensateur. Quandt→ ∞Un nouveau r´egime continu s"´etablit avecU=EetI= 0 donc : 0 Ldi dtidt=?1 2Li2? 0= 0 0 Cdu dtudt=?1 2Cu2? 0=1 2CE2 Pour les deux autres int´egrales, il faut expliciteru(t) eti(t) : u(t) = e-αt(Acos(Ωt) +Bsin(Ωt)) +E commei(t) =Cdu dt, on a : i(t) =C?-αe-αt(Acos(Ωt) +Bsin(Ωt)) + e-αt(-AΩsin(Ωt) +BΩcos(Ωt))? u(0) =A+E= 0?A=-E i(0) =C(-αA+BΩ) = 0?B=-αE

Ωd"o`u :

i(t) =CEe-αtsin(Ωt)?α2 0

Eidt=CE2

(voir calcul MAPLE) donc en utilisant le bilan, la derni`ereint´egrale vaut : 0

Ri2dt=1

2CE2 Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27
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