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PCSI 2 Régime libre en électricité

2018 - 2019 1/12

REGIME LIBRE EN ELECTRICITE

I On considère le circuit ci-contre composé de deux branches de même résistance R comportant en outre l'une une self pure L et l'autre un condensateur de capacité C. Elles sont alimentées par un générateur de tension continue de f.e.m. E et de résistance interne négligeable.

1) Le condensateur étant déchargé, on ferme à l'instant t = 0 l'interrupteur K.

On désign era respect ivement par i

1 et i 2 les intensités dans la branche contenant la self et dans la branche contenant le condensateur. a) Déterminer en fonction du temps le régime transitoire i 1 (t) et tracer l'allure de la courbe correspondante. b) Déterminer de même le régime transitoire i 2 (t) et tracer l'allure de la courbe correspondante. c) A quel instant aura-t-on i 1 = i 2 si les deux constantes de temps sont identiques ? Application numérique : L = 1 H ; C = 1 µF ; R = 10 3 W.

2) On considère toujours le même circuit alimenté par le même générateur. K étant fermé, le régime permanent est établi. A un

instant que l'on choisira comme nouvelle origine des temps, on ouvre l'interrupteur K.

a) Établir les équations différentielles du second ordre relatives à la charge q du condensateur d'une part, à l'intensité i du

courant d'autre part. b) Indiquer quelles sont à l'ouverture de K les expressions initiales de q et de i.

c) En déduire en fonction du temps les expressions, en régime transitoire, de la charge q(t) et de l'intensité i(t). On discutera des

différents cas possibles suivant les valeurs de R, L et C mais on ne cherchera pas à déterminer les constantes d'intégration.

d) Application numérique : L = 1 H ; C = 1 µF ; R = 10 3

W; E = 10 V.

Déterminer complètement q(t) et i(t).

Réponse : í µ

&1-í µ 0 1 +2 ; t = 0,69 ms ; í µÌˆ+2 7 79
í µ=0; í µÌˆ+2 7 79
í µ=0; A 79
B 7 B í µ+𝜑 si í µ< A 7 9 si í µ= A 7 9 A B B K ,2 A B B K ,2 í¼‘ si í µ> A 7 9 ; í µ=10 í±’M í±’í±–NNN- et í µ=-10 í±’0 í±’í±–NNN-

II Soit le montage suivant comportant une bobine d'auto-inductance L et de résistance interne R, en série avec un conducteur ohmique

de résistance R o = 470 Un ordinateur permet de mesurer simultanément les tensions U AB (voie 1) et U BD (voie 2) à intervalles de temps réguliers (ici 100 µs). Ces mesures ne se déclenchent que si U BD est supérieure à un seuil fixé ici à 0,5 V. Le tableau ci-dessous donne les résultats des mesures obtenues après avoir abaissé l'interrupteur. Sur un même graphique on a tracé U AB = f(t) et U BD g(t) en ayant pris t = 0 à la date de la première mesure.

1) Que peut-on dire de la somme U

AB +U BD

à chaque instant ?

2) La trentième mesure montre que l'on atteint pratiquement un régime stationnaire.

Préciser la signification de ce terme. En déduire la valeur de R.

3) En utilisant une des courbes et en justifiant les calculs, déterminer la valeur de l'intensité du courant i circulant dans le circuit, à

la date correspondant au point n°5.

4) Déterminer di/dt à la même date par une méthode que l'on explicitera.

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2018 - 2019 2/12

5) En déduire la valeur de L.

Réponse : R = 122 W; i = 3,66 mA ; di/dt = 4,26 A/s ; L = 0,5 H. III Une bobine, d'inductance propre L = 0,2 H et de résistance R = 0,1 W, est alimentée par un générateur de f.e.m. E = 120 V et de résistance interne r = 40 W. On branche à ses bornes, à un instant que l'on prendra comme origine des temps, un condensateur non chargé de capacité C = 100 µF.

1) Quelle est l'équation différentielle du deuxième ordre satisfaite par i(t),

intensité du courant circulant dans la bobine ?

2) Donner les valeurs i(0

) et di/dt(0

3) Donner l'expression numérique de i(t) avec t en seconde et i en ampère.

On précisera la nature du régime.

Réponse :

O B P O- B 7 Q9 OP O- 79
&1+ Q Q79 ; i(0 ) = 3 A ; di/dt(0 ) = - 1,5 A.s -1 ; i(t) = 3-8.10 -3 e -125t sin(186t). IV Un circuit électrique est composé d'une résistance R, d'une bobine d'inductance pure L et d'un condensateur de capacité C. Ces dipôles sont disposés en série et l'on soumet le circuit à un échelon de tension U(t) de hauteur E tel que :

U(t) = 0 pour t < 0 U(t) = E pour t ≥ 0

Les choix du sens du courant i dans le circuit et de la plaque portant la charge q du condensateur sont donnés sur la figure ci-contre.

On pose í µ=

07 et í µ N 79

1) Expliquer simplement pourquoi, à t = 0, la charge q et le courant i sont nuls.

E r L, R i t = 0 C PCSI 2 Régime libre en électricité

2018 - 2019 3/12

C L R 1 R 2 E u L u R1

2) Établir l'équation différentielle vérifiée par la charge q(t) du condensateur pour t > 0. Préciser, en les justifiant soigneusement,

les valeurs initiales de la charge q(0 ) et de sa dérivée dq/dt(0

Le circuit présente différents régimes suivant les valeurs de R, L et C. On suppose, dans la suite, la condition w

0 > y réalisée.

3) Montrer que l'expression de la charge pour t > 0 peut se mettre sous la forme : í µ

où l'on déterminera w, A, B et D en fonction de C, E, w 0 et g.

4) Exprimer le courant i(t) dans le circuit pour t > 0 en fonction de C, E, w

0 et g.

5) Donner l'allure des courbes q(t) et i(t). Quelles sont leurs valeurs à la fin du régime transitoire ? Justifier par des considérations

simples ces valeurs atteintes.

6) Déterminer l'énergie totale E

g fournie par le générateur ainsi que l'énergie E LC emmagasinée dans la bobine et le condensateur

à la fin du régime transitoire en fonction de C et E. En déduire l'énergie dissipée par effet Joule dans la résistance.

Ces résultats dépendent-ils du régime particulier dans lequel se trouve le circuit ? Interpréter le résultat paradoxal qui apparaît dans le cas limite í µâ†’0.

Réponse : í µÌˆ+2í µí µÌ‡+í µ

N 0 7 ; q(0 ) = 0 ; dq/dt(0 ) = 0 ; í µ=í µ N

Zí µ

N 0 0 ; D = CE ; A = - CE ; í µ= í±’í±›9$ A B B B 9$ A B B í µí µí µ&Zí µ N 0 0 =0; í µ 0 79
0 0 0 0

V Régime transitoire

Un système électronique comporte deux résistors de résistances R 1 = 2 kW et R 2 = 5 kW, un condensateur de capacité C = 200 nF, une

bobine supposée idéale d'inductance L = 10 mH, un générateur idéal de tension stationnaire E = 12 V, et un interrupteur initialement

fermé.

1) Déterminer, en régime stationnaire établi (ou permanent), la tension aux bornes du résistor R

1

2) Déterminer, en régime stationnaire établi (ou permanent), la puissance moyenne reçue par le résistor R

2

3) On suppose le régime établi atteint, puis, à un instant pris comme origine des temps (t = 0), on ouvre l'interrupteur. Quelle est

l'équation différentielle vérifiée par u L (t)?

4) Déterminer u

L (0

5) Exprimer l'énergie E

c reçue par le condensateur au cours de ce régime transitoire (t > 0).

Réponse : í µ

K =í µ ; P = 0 ;

Oí±¢

O- B 7 7 =0 ; í µ 7 0 c B K d 0 0 VI

1) Le circuit représenté sur la figure 1 est alimenté par une source de tension

continue de force électromotrice E et de résistance interne négligeable devant R.

On ferme l'interrupteur K à l'instant t = 0.

Établir l'expression de l'intensité i du courant dans le circuit en fonction de E, R,

L et du temps t.

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2) Le même générateur alimente le circuit représenté sur la figure 2.

a) Déterm iner la différence de potentiel v AB entre les points A et B en fonction de E, R 1 , R 2 , L 1 , L 2 et t. b) Déterminer la relation entre L 1 , L 2 , R 1 et R 2 pour que v AB soit indépendante du temps.

3) La relation établie à la question précédente

étant vérifiée, calculer l'énergie W

AB consommée dans le tronçon de circuit AB pendant l'intervalle de temps [0, t] en fonction E, L 1 R 1 , R 2 et t. On fera apparaître la variable K 7 K 4)

a) La relation établie à la question 2 étant toujours vérifiée, déterminer la différence de potentiel v

BD entre les points B et D. b) Donner alors les relations entre L 1 , L 2 , L 3 , L 4 , R 1 , R 2 , R 3 , R 4 pour que v BD soit constamment nulle.

Réponse :

7 K 7 B K B í±Šg 0 7 K K c% B B h K 7 K i

1-í µ

K K jk K B 7 l 7 m 7 K 7 B l m

VII Un circuit inductif constitué d'un résistor de résistance R monté en parallèle sur

une bobine d'inductance L et de résistance interne r est soumis à un échelon de courant délivré par un générateur de courant idéal : I(t) = 0 pour t < 0 et I(t) = I o = constante pour t 0.

1) Établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité du courant i(t) qui traverse

la bobine.

2) En déduire sa solution i(t) ; on précise que toutes les intensités dans le circuit

sont nulles pour t < 0.

3) En déduire les expressions de l'intensité i'(t) dans le résistor ainsi que de la

tension u(t) aux bornes de la dérivation.

4) Tracer l'allure des courbes i(t) et u(t).

Réponse :

OP O-P %cQ 7 7 N %cQ p

1-í µ

í±’-/r s avec í µ= 7 %cQ %cQ pquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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