[PDF] Exercices : convexité Terminale ES. Convexité. Exercices : convexité.

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Terminale ESConvexit´e

Exercices : convexit´e

Exercice 1:

Pour chaque courbe, d´eterminer les intervalles sur lesquels la fonctionfest convexe (respectivement concave). Pr´eciser les ´eventuels points d"inflexion.

Exercice 2:

Mˆeme exercice.

Exercice 3:

Sur les ´ecrans de la calculatrice ci-dessous (pas 1 sur chaqueaxe) sont repr´esent´ees les courbes des fonctionsf

etgd´efinies sur[-3 ; 3]. Dans chaque cas, lire les intervalles sur lesquels la fonction est convexe (resp. concave). Pr´eciser les´even- tuels point d"inflexion.

Exercice 4:

Isabelle a trac´e `a l"´ecran de sa calculatrice, la fonctionfd´efinie sur[-1 ; 0,5]par f(x) = 32x3+ 36x2+ 12x. Elle en d´eduit quefest concave sur[-1 ;-0,6], constante sur[-0,6 ;-0,1]puis convexe sur[-0,1 ; 0,5]. Adapter la fenˆetre graphique pour valider ou rectifier sa conjecture.

Exercice 5:

Parmi les trois courbes ci-contre, d´eterminer celle qui repr´e- sente une fonctionfv´erifiant : •fest concave sur[-4 ;-2]et sur[4 ; 5]; •f?s"annule au moins trois fois; •la courbe defadmet quatre points d"inflexion.

Exercice 6

Dans le rep`ere ci-dessous, est repr´esent´ee la courbe de la fonc- tionfd´efinie sur[-4 ; 4]parf(x) =1

2x2+34x-1, ainsi

que sa tangente au point d"abscisse2. a)D´eterminer graphiquement la convexit´e defsur l"intervalle[-4 ; 4]. b)En d´eduire que, pour toutxde[-4 ; 4],1

2x2+34x-1?114x-3puis quex2?4x-4.

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Terminale ESConvexit´e

Exercice 7:

fest la fonction d´efinie sur[0 ; +∞[parf(x) =⎷ x. On noteCsa courbe repr´esentative dans un rep`ere. a)Rappeler la convexit´e def. b)D´eterminer une ´equation de la tangente `aCau point d"abscisse1. c)En d´eduire que, pour toutxde[0 ; +∞[,⎷ x?12x+12. d)D´emontrer sans calculatrice que⎷

2?1,5.

Exercice 8:

Dan un rep`ere, on a trac´e la courbeC?de la fonction d´eriv´ee d"une fonction fd´efrivable sur un intervalle[-4 ;2]. D´eterminer, par lecture graphique, la convexit´e def.

Exercice 9

Voici le tableau de variation de la fonctionf?d"une fonctionfd´erivable sur l"intervalle[-7 ; 5]. a)D´eterminer le sens de variation def. b)D´eterminer la convexit´e def. c)Tracer dans un rep`ere une courbe pouvant repr´esenterf.

Exercice 10

Voici le tableau de signes de la fonction d´eriv´ee secondef??d"une fonctionfdeux fois d´erivable sur[-10 ; 10].

a)D´eterminer le sens de variation de la fonction d´eriv´eef?def. b)D´eterminer la convexit´e defainsi que les abscisses d"´eventuels points d"inflexion.

Exercice 11:

fest une fonction deux fois d´erivable sur[-4 ; 2]dont la d´eriv´eef??est repr´esent´ee ci-contre. D´eterminer la convexit´e defet pr´eciser les abscisses des ´eventuels points d"inflexion.

Exercice 12:

fest une fonction deux fois d´erivable sur[-3 ; 1]dont la d´eriv´ee seconde f ??est repr´esent´ee ci-contre. D´eterminer la convexit´e defet pr´eciser les abscisses d"´eventuels points d"inflexion.

2/312 novembre 2017

Terminale ESConvexit´e

Exercice 13:

Dans un rep`ere, on a trac´e la courbe repr´esentative d"une fonctionfdeux fois d´erivable sur[-1 ; 3]. Parmi les trois courbes suivantes, laquelle repr´esente cellede la fonction d´eriv´ee secondef??def?

Exercice 14:

fest la fonction d´efinie surRparf(x) = 2x3-3x2-12x+ 4. a)D´eterminer le signe def??(x)suivant les valeurs dex. b)En d´eduire la convexit´e def. c)V´erifier le r´esultat `a l"aide d"une calculatrice.

Exercice 15

fest la fonction d´efinie surRparf(x) =-x4-2x3-12x2+ 8x+ 6. a)Conjecturer la convexit´e def`a l"aide de la calculatrice. b)D´eterminer le signe def??(x)suivant les valeurs dex. c)Infirmer ou confirmer la conjecture ´emise aua).

Exercice 16

Soitfla fonction d´efinie sur[2,5]parf(x) =x+ 4 x-1. On noteCsa courbe dans un rep`ere. Etudier la position de la tangente `aCen3par rapport `a la courbeC.

Exercice 17

Une entreprise fabrique des cl´es USB avec un maximum de 10000 par mois. Le coˆut de fabricationC(en milliers

d"euros) dexmilliers de cl´es produites s"exprime parC(x) = 0,05x3-1,05x2+ 8x+ 4. a)A l"aide d"une calculatrice graphique, ´evaluer la convexit´e de la fonctionC. En d´eduire si la courbe poss`ede un point d"inflexion. b)D´emontrer ces r´esultats. c)Interpr´eter les r´esultats obtenus.

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