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Terminale ES

ÉTUDES DE FONCTIONS

EXERCICE 1 Équations ou inéquations avec le logarithme ou l'exponentielle

1. Résoudre les équations ou inéquations suivantes :

a) 3ex - 5 = 1 - 2ex ; b) (5ex + 4)(4 - 5x) = 0 ; c) lnx + ln5 = ln(3x + 2) d) 2lnx - 4 > 0

2. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que

a) 5×1,08n ³ 1020b) 1000×0,98n £ 250

EXERCICE 2 Études de signes

1. Étudier le signe de chacune des expressions suivantes :

A(x) = (9 - 0,6x) e-0,4x + 1 ; B(x)=5x+2

e4x ; C(x) = 2ex - 5

2. Étudier le signe de chacune des expressions D(x)=-2x+8

xet E(x) = 5lnx + 4 sur ]0 ; +¥[

EXERCICE 3 Point d'inflexion

1. On considère la fonction f définie par f(x) = (5x - 3)e-2x + 3 .

On admet que, pour tout réel x , f''(x) = (20x - 32) e-2x + 3 .

Étudier la convexité de f .

En déduire que sa courbe représentative admet un point d'inflexion dont on déterminera l'abscisse.

2. On considère la fonction f définie par f(x) = x³ - 9x² + 15x + 3 .

Montrer que la courbe représentative de f possède deux points d'inflexion dont on déterminera les abscisses.

EXERCICE 4 Étude des variations ou de la convexité, calcul d'aire On considère la fonction f définie par f(x) = (8 - 5x)e-0,4x dont la courbe représentative est donnée ci-contre. Voici les résultats donnés par un logiciel de calcul formel.

Les utiliser pour :

a) Étudier les variations de la fonction f. b) Étudier la convexité de la fonction f. c) Calculer l'aire du domaine hachuré .

EXERCICE 5 Lectures graphiques

1. On considère une fonction f dont la représentation graphique (C ) est

donnée ci-contre.

On sait que :

• (C) passe par les points A(0 ; -1,6) , B(2 ; 2) , D(3 ; 2) et E(4 ; 8) ; • la tangente à (C) au point B est parallèle à l'axe des abscisses ; • la tangente (TD) à (C) au point D a pour équation réduite y = 3x - 7; • la tangente (TE ) à (C) au point E passe par le point D. Déterminer les valeurs respectives de f ′(2) , f ′(3) et f ′(4).

Donner un encadrement de ∫13

f(x)dxentre deux entiers consécutifs.

2. On donne la représentation graphique d'une fonction f.

On sait que le point B est l'unique point d'inflexion de (Cf) et qu'en A (Cf) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses . Dresser le tableau de signes de f(x) , f '(x) et de f''(x) .

3. On considère une fonction f définie sur ℝ.

On note la représentation graphique de sa fonction dérivée f ' . Indiquer la représentation graphique de f parmi les trois courbes (C1), (C2) et (C3) ci-dessous.

Étudier la convexité de la fonction f .

courbe (C1)courbe (C2)courbe (C3)

EXERCICE 6 Calculs de dérivées

Calculer f'(x) dans chacun des cas suivants :

a) f(x) = (4x + 5)exb) f(x) = e-0,5x² + 4x c) f(x) = (-0,3x + 4) e-4x + 3 d) f(x) = 3x² + 5x - 8 lnxe) f(x) = 5x² lnxf) f(x)=5lnx+3 xEXERCICE 7 Calcul intégral

1. Calculer les intégrales

I=∫0

2

3x2+2exdx et I=∫1

e 4 xdx2. On considère la fonction f définie par f(x) = (11 - 10x) e-2x .

Montrer que la fonction F définie par F(x) = (5x - 3) e-2x est une primitive de la fonction f .

En déduire la valeur de ∫00,6

f(x)dx.

3. On note f la fonction définie sur ]0 ; +¥[ par f(x) = 3lnx + 3x² + 4x + 2.

a) Montrer que la fonction G sur ]0 ; +¥[ définie par G(x) = x lnx - x est une primitive de la fonction g

définie par g(x) = lnx. b) En déduire une primitive de la fonction f . c) Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur [1 ; 5] . EXERCICE 8 Théorème des valeurs intermédiaires On considère la fonction f définie sur [0 ; 8] par f(x) = (2x - 3) e-0,5x .

Son tableau de variations est donnée ci-contre

Démontrer que l'équation f(x) = -1 possède une solution unique dans [0 ; 8] dont on donnera une valeur

approchée à 10-3 près . Classes de Terminale ESRévisions thématiques - Fonctions

Fonctions

EXERCICE 1

Partie A

On donne ci-dessousRetCles représentations graphiques respectives des fonctionsrecette et coût sur l"intervalle [1; 30].

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30050100150200250300350400450

R C nombre de pièces en milliersmilliers d"euros Par lecture graphique, donner une estimation des valeurs demandées.

1.Quel est le coût de production de 21000 pièces?

2.Pour quelles quantités de pièces produites l"entreprise réalise-t-elle un bénéfice?

3.Pour quel nombre de pièces produites le bénéfice est-il maximal?

Partie B

Le bénéfice en milliers d"euros, réalisé pour la production et la vente dexmilliers de pièces, est donné sur l"intervalle [1; 30] par

B(x)=-0,5x2+6x-20+2xlnx.

1.Montrer queB?(x)=-x+8+2lnx, oùB?est la dérivée deBsur l"intervalle [1 ; 30].

2.On admet queB??(x)=-1+2

x, oùB??est la dérivée seconde deBsur l"intervalle [1 ; 30].

Justifier le tableau de variation ci-dessous de la fonction dérivéeB?sur l"intervalle [1 ; 30].

x1 2 30 B ?(x)

76+2ln2

-22+2ln30

3. a)Montrer que l"équationB?(x)=0 admet une unique solutionαsur l"intervalle [1 ; 30].

b)Donner une valeur approchée au millième de la valeur deα.

4.En déduire le signe deB?(x) sur l"intervalle [1 ; 30], et donner le tableau de variationde la fonction bénéficeBsur ce même

intervalle.

5.Quel est le nombre de pièces à produire, à l"unité près, pour que l"entreprise réalise un bénéfice maximal?

Quel est ce bénéfice maximal (arrondi au millier d"euros)? 1 Classes de Terminale ESRévisions thématiques - Fonctions

EXERCICE 2

La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique d"une fonctionfdéfinie et dérivable sur l"intervalle [-1 ;2].

On notef?la fonction dérivée de la fonctionf.

•Le pointGa pour coordonnées (0 ; 2).

•Le pointHa pour coordonnées (1 ; 3).

•La droite (GH) est la tangente à la courbe (C) au pointG. •La courbe (C) admet une tangente horizontale au point S d"abscisse ln2.

•Le domaine hachuré est délimité par l"axe des abscisses, l"axe des ordonnées, la droite d"équationx=1 et la courbe (C).

Partie A

Dans cette partie aucune justification n"est demandée. Par lecture gra- phique :

1.Donner les valeurs def(0) etf?(0).

2.Résoudre sur [-1 ; 2] l"inéquationf?(x)?0.

3.Encadrer par deux entiers consécutifs l"aire, exprimée en unités

d"aire, du domaine hachuré sur le graphique.

0,5 1,0 1,5 2,0-0,5-1,00,5

1,01,52,02,53,0

G SH (C) O

Partie B

On admet que la fonctionfest définie sur [-1 ; 2] parf(x)=ax+b-ex; oùaetbsont deux réels.

1.Calculerf?(x).

2.Justifier quea=2 etb=3.

3.Déterminer, sur [-1 ; 2], une primitiveFde la fonctionf.

4.En déduire la valeur exacte, en unités d"aire, de l"aire du domaine hachuré sur le graphique.

EXERCICE 3

On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [0 ; 4] parf(x)=(3x-4)e-x+2.

1.On désigne parf?la dérivée de la fonctionf.

Montrer que l"on a, pour toutxappartenant à l"intervalle [0 ; 4],f?(x)=(7-3x)e-x.

2.Étudier les variations defsur l"intervalle [0 ; 4] puis dresser le tableau de variations defsur cet intervalle. Toutes les valeurs

du tableau seront données sous forme exacte.

3. a)Montrer que l"équationf(x)=0 admet une unique solutionαsur l"intervalle [0; 4].

b)Donner à l"aide de la calculatrice, une valeur approchée deαà 0,01 près.

4.On considère la fonctionFdéfinie sur l"intervalle [0 ; 4] parF(x)=(1-3x)e-x+2x.

a)Montrer queFest une primitive defsur [0 ; 4]. b)Calculer la valeur moyenne defsur [0 ; 4].

5.On admet que la dérivée seconde de la fonctionfest la fonctionf??définie sur l"intervalle [0; 4] parf??(x)=(3x-10)e-x.

a)Déterminer l"intervalle sur lequel la fonctionfest convexe.

b)Montrer que la courbe représentativeCde la fonctionfpossède un point d"inflexion dont on précisera l"abscisse.

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