[PDF] La fonction dérivée Jan 11 2011 exercices. Premi`

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Premi`ereSLa fonction dérivée

Exercices

Exercice I :

Nombre dérivé

1) La courbe représentati vefest donnée ci-dessous. En chacun des points indiqués, la courbe admet une tangente qui est tracée. Lire, en vous servant du quadrillage les nombres suivants :

f(4) ;f0(4) ;f(2) ;f0(2) ;f(6) etf0(6)2)La courbe représentati vegest donnée ci-dessous. En chacun des points indiqués, la

courbe admet une tangente qui est tracée. Lire, en vous servant du quadrillage les nombres suivants : g(2) ;g0(2) ;g(0) ;g0(0) ;g(1) etg0(1)paul milan1/911 jan vier2011 exercicesPremi`ereSExercice II : Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée en précisant les valeur pour lesquelles le calcul est valable.

1)f(x)=5x3+4x29x5

2)f(x)=12

x4+3x34x2+p3x+1

3)f(x)=px+x22

4)f(x)=(x2)px

5)f(x)=x3+12x14

6)f(x)=(7x2)2

7)f(x)=(px+1)2

8)f(x)=x+sinx

9)f(x)=xsinx

10)f(x)=4x

3

11)f(x)=23x5

12)f(x)=12xx213)f(x)=4x+7x

2

14)f(x)=2x22+x2

15)f(x)=1px

16)f(x)=25x3x4

17)f(x)=1(2x1)2

18)f(x)=x24x+82x5

19)f(x)=4x1+14x

20)f(x)=1x

2sinx

21)f(x)=1cosx

22)f(x)=px4

23)f(x)=(2x+3)4

Exercice III :

fetgsont les fonctions définies surRf1gpar : f(x)=3x2x+1etg(x)=5x+1 1) Déterminer les fonctions déri véesdes fonctions fetg. Que remarque t-on? 2) Calculer f(x)g(x). Justifier alors la remarque de la question 1)

Exercice IV :

fest la fonction définie surRf1gpar : f(x)=2x1+xetCfest sa courbe représentative 1) Déterminer lespointsdeCfenlesquelslatangenteàCfestparallèleàladroited"équa- tiony=4x. 2) Existe-t-il des tangentes à Cfpassant parO(0;0)?paul milan2/911 jan vier2011 exercicesPremi`ereSExercice V :

Tangente

Pour les fonctions suivantes déterminer une équation de la tangente à la courbeCfau point d"abscissea.

1)f(x)=x2+2x8;a=2

2)f(x)=x+312x;a=1

3)f(x)=x2+11x

2+1;a=1

Exercice VI :

1) la courbe Cfreprésentative de la fonctionfdéfinie par : f(x)=x33x2+3x+4 admet une tangente en chacun de ses points. Pourquoi? 2) a)

Résoudre l"équation f0(x)=0

b) Interpréter géométriquement le résultat. 3) Déterminer les abscisses des points de Cfen lesquels la tangente àCfa un coecient directeur égal à 3. 4) Existe-t-il des points de Cfen lesquels la tangente àCfest parallèle à la droite d"équa- tiony=cx+d(oùcetdsont deux réels)? Discuter en fonction dec.

Exercice VII :

Point de vue!

Sur la figure ci-dessous, "l"arc" de paraboleABCreprésente une colline, le sol est symbolisé par l"axe des abscisses. Un observateur est placé enEde coordonnée 2;114 dans le repère choisi. Le but de cet exercice est de déterminer les point de la colline et ceux du sol (au-delà de la colline) qui ne sont pas visibles de point d"observationE.paul milan3/911 jan vier2011 exercicesPremi`ereS1)On note fla fonction définie sur [1;3] parf(x)=ax2+bx+c. Déterminera,b,c pour que "l"arc"ABCsoit la représentation def. 2) a) Reproduire la figure et indiquer sur la figure les points de la colline et ceux du sol qui ne sont pas visible deE. b) F aireles calculs nécessaires pour trouv erles abscisses de ces points.

Exercice VIII :

Pour les fonctions suivantes, déterminer la fonction dérivée en précisant l"ensemble pour

lequel le calcul est valable. Déterminer ensuite le signe def0(x) suivant les valeurs dex.

1)f(x)=x4+x2+1

2)f(x)=2x43x3+12

x2

3)f(x)=x2+x1x

2+x+1

4)f(x)=x2+3x+2x

25x+6

5)f(x)=x+12xx+3

6)f(x)=x2+2x+6x17)f(x)= x3x2!

2

8)f(x)=x2+12xx+3

9)f(x)=px1p3x

10)f(x)=x1x+3px

11)f(x)= x+3px1!

2

Exercice IX :

Cinématique

La cinématique est l"étude du mouvement : position, vitesse, accélération d"un solide en physique. Deux mobilesM1etM2sont sur l"axe des abscisses animé d"un mouvement dont les lois horaires (position en fonction du tempst) en fonctiontsont respectivement x

1(t)=2t2+t+4 etx2=t2+5t+8

1) Calculer l"instant auquel les deux mobiles se rencontrent. 2) Calculer les vitesses respecti vesde ces deux mobiles à cet instant. 3) En déduire si lors de la rencontre, les deux mobiles se croisent ou si l"un dépasse l"autre. Travail informatique :simuler(position et vitesse) des deux mobiles en fonction du temps avec "Géogébra". Par exemple ces deux moments àt=0 ett=1.paul milan4/911 jan vier2011 exercicesPremi`ereSExercice X : Pour les fonctions suivantes, étudier les variations sur leur ensemble de définition. On dressera le tableau de variation

1)f(x)=x3+3x24

2)f(x)=x3+3x2+9x4

3)f(x)=x44x2+5

4)f(x)=2x32x+4

5)f(x)=2xx

296)f(x)=2x+12x3

7)f(x)=3x1+x2

8)f(x)=1x1x1

9)f(x)=x2+2x+11x

22x3

10)f(x)=xpx+3

Exercice XI :

Reconnaître une courbe

La figure ci-contre est la représentation

graphiqueCfd"unefonctionfdérivablesur ]0;+1[

Parmi les trois courbes ci-dessous,

quelle est celle qui est susceptible de repré- senter la fonction dérivéef0def.Exercice XII :

On donne le tableau de variation de la fonctionfsuivant :1)Quel est l"ensemble de définition de f? Quel est celui def0?paul milan5/911 jan vier2011

exercicesPremi`ereS2)fpossède-t-elle des extremums locaux? 3)

Esquisser une courbe possible pour f.

4)

2 est-il le maximum de f?

Exercice XIII :

Théorème des valeurs intermédiaires

1)fest la fonction définie par :f(x)=x33x2+4x1

Démontrer que l"équationf(x)=0 admet dans [0;1] une unique solution. Déterminer un encadrement à 10

3de cette solution.

2)fest la fonction définie par :f(x)=23

xpx2x+1 solution dans [7;8] . Déterminer un encadrement à 103de ces solutions. 3)

Soit la fonction fdéfinie par :f(x)=2x33x21

a) Etudier les v ariationde fet dresser son tableau de variation. b) En déduire que l"équation f(x)=0 admet une unique solutiondans ]1;2[ c) Démontrer que est l"unique solution de l"équationf(x)=0 surR

Exercice XIV :

Trouver une solution

On considère une fonctionfdont on ne connaît que quelques propriétés.

êfest définie sur l"ensembleDf=[2;1[[]1;+1[

êfest dérivable surDf.

êsurDfsa dérivée s"annule en2 et en 0.

êle signe de sa dérivée est donné par le tableau suivant :x21 0+1f

0(x)0+1)a) Donner les v ariationde f.

b) si 1Minimum 1) Etudier les v ariationsde la fonction fdéfinie par :f(x)=2x2+4x3 2) En déduire le minimum sur [ 2;2] de la fonctiongdéfinie par; g(x)=1x2+4x3

Exercice XVI :

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