[PDF] Chapitre 3 : Coût total-coût moyen-coût marginal

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{Chapitre 3 : Co^ut total-co^ut moyen-co^ut marginalPremiere S-exercice corrige Chapitre 3:DerivationChapitre 3 : Co^ut total-co^ut moyen-co^ut marginal

EXERCICE 3-9-5temps estime:20-25mn

Une entreprise fabrique un produit chimique dont le co^ut total journalier de production pourxlitres est

donne par la fonctionCdenie surI= [1;50]parC(x) = 0;5x2+ 2x+ 200 , les co^uts etant exprimes en centaines d'euros. Le prix de vente d'un litre de ce produit chimique est de 2300 euros.

1.Montrer que la recette est donnee par la fonctionRdenie surIparR(x) = 23x

*Solution: un litre est vendu 2300 euros soit 2300100 = 23 centaines d'euros

Pourxlitres vendus, la recette est donc de 23xcentaines d'eurosOn a doncR(x) = 23x2.Exprimer le beneceB(x) en fonction dex

*Solution:

B(x) =R(x)C(x) = 23x(0;5x2+ 2x+ 200) =0;5x2+ 21x200Le benece est donne parB(x) =0;5x2+ 21x2003.Determiner la quantite a produire pour que le benece soit maximal.

*Solution:

B(x) =0;5x2+ 21x200

Best derivable sur [0;50] (fonction polyn^ome derivable surRdonc surI= [1;50]) B

0(x) =0;52x+ 21 + 0 =x+ 21

x+ 21>0() x >21()x <21 On a donc :Chapitre 3:Derivation Page 1/4Maths premiere S www.maths-S.fr {Chapitre 3 : Co^ut total-co^ut moyen-co^ut marginalwww.maths-S.fr

{Chapitre 3 : Co^ut total-co^ut moyen-co^ut marginalPremiere S-exercice corrige Chapitre 3:DerivationBadmet donc un maximum atteint pourx= 21Le benece est maximum pour une production de 21 litres.

Remarque

Best une fonction polyn^ome de degre 2 donc on peut aussi chercher l'abscisse (b2a) du sommet de la parabole pour dresser le tableau de variation de la fonctionB

4.Le co^ut moyen de production d'un litre quand on en produitxlitres est la fonction noteeCMet denie

parCM(x) =C(x)x avecx2[1;50] Exprimer le co^ut moyen de production en fonction dexet en deduire la quantite a produire, arrondie a 0,1 litre pres, pour obtenir un co^ut moyen minimum. *Solution: C

M(x) =0;5x2+ 2x+ 200x

u:x7!0;5x2+ 2x+ 200 est derivable sur [1;50] etv:x7!xest derivable sur [1;50] etv(x)6= 0 donc le quotient de deuparvest derivable surI doncCMest derivable surI On poseu(x) = 0;5x2+ 2x+ 200 etv(x) =xet on au0(x) =x+ 2 etv0(x) = 1 C

0M(x) =u0(x)v(x)u(x)v0(x)(v(x))2

(x+ 2)(x)(0;5x2+ 2x+ 200)(1)x 2 x2+ 2x0;5x22x200x 2

0;5x2200x

2 Pour tout reelx2I,x2>0 doncC0M(x) est du signe de son numerateur 0;5x2200

Racines de 0;5x2200

0;5x2200 = 0()x2= 400()x= 20 oux=20

Signe de 0;5x2200

0;5x2200 est du signe dea= 0;5 coecient dex2a "l'exterieur" des racines.

On a donc :

Chapitre 3:Derivation Page 2/4Maths premiere S

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{Chapitre 3 : Co^ut total-co^ut moyen-co^ut marginalPremiere S-exercice corrige Chapitre 3:DerivationLe co^ut moyen est minimum pour une production de 20 litres.

5.Le co^ut marginal de production est le supplement de co^ut total de production engendre par la pro-

duction d'un litre supplementaire. Si on noteCm(x) ce co^ut marginal, on a alorsCm(x) =C(x+ 1)C(x)

Calculer alors le co^ut marginal pour une production de 20 litres, c'est a dire l'augmentation du co^ut

total de production pour passer de 20 litres a 21 litres.

CalculerC0(20) et comparer les deux resultats.

*Solution: C m(20) =C(21)C(20) = (0;2212+ 221 + 200)(0;2202+ 220 + 200) = 22;5 Le co^ut supplementaire de production pour passer d'une production de 20 litres a 21 litres est de

22,5 centaines d'euros.

C(x) = 0;5x2+ 2x+ 200 etC0(x) = 0;52x+ 2 =x+ 2

C

0(20) = 20 + 2 = 22

On constate queCm(20) etC0(20) sont relativement proches.

6.En pratique, on assimile le co^ut marginal de production pour une quantitexa la derivee du co^ut total.

On a en eetCm(x) =C(x+ 1)C(x)x+ 1x(taux d'accroissement deCentrex+ 1 etx).

Resoudre l'equationCM(x) =Cm(x).

*Solution: C m(x) =C0(x) =x+ 2 C m(x) =CM(x)

Il faut donc resoudre l'equation :

x+ 2 =0;5x2+ 2x+ 200x ()x2+ 2x= 0;5x2+ 2x+ 200 ()0;5x2200 ()x2= 400 ()x= 20 oux=20 La valeur pour laquelle le co^ut moyen est egal au co^ut marginal correspond a la valeur dexpour laquelle le co^ut moyen est minimum.

Chapitre 3:Derivation Page 3/4Maths premiere S

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{Chapitre 3 : Co^ut total-co^ut moyen-co^ut marginalPremiere S-exercice corrige Chapitre 3:DerivationComplement : Graphiquement le co^ut moyen de production est minimum pour une production corres-

pondant a l'abscisse du point d'intersection des courbes representatives des fonctions co^ut marginal et

co^ut moyen.

Chapitre 3:Derivation Page 4/4Maths premiere S

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