de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1 PDF

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de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°1:

On donne la fonctionfd´efinie surRpar :f(x) =-x4+ 2x2+ 1. On appelle Γ la courbe repr´esentative defdans un rep`ere orthonorm´e (O;?ı,??) . 1.

´Etudier la parit´e def.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition.

3. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

4. Dresser le tableau de variations def.

5. Tracer la courbe repr´esentative def.

Corrig´e

Exercice n°2:

Soit la fonction d´efinie surR- {1}, parf(x) =x2+x+ 1x-1. On note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. Montrer que (Cf) admet un centre de sym´etrie en un point d"abscisse 1.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition. Que peut-on

en d´eduire pour (Cf)?

3. D´eterminer trois r´eelsa, betctels que :f(x) =ax+b+x

x-1.

4. En d´eduire l"existence d"une asymptote oblique pour (Cf) en +∞.

5. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

6. Dresser le tableau de variation def.

7. Tracer (Cf).

Corrig´e

Exercice n°3:

On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =3x2+ 2x-3, et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDfde la fonctionf.

2. Montrer que la droite d"´equationx=-1 est axe de sym´etrie de (Cf).

Dans la suite de l"exercice, la fonctionfsera ´etudi´ee sur [-1;1[?]1;+∞[.

3. D´eterminer les limites en 1 et la limite en +∞. Que peut-on en d´eduire pour (Cf)?

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer (Cf).

Corrig´e

L.BILLOT 1DDL

de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°4:

On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =x2x2-2x+ 2, et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. D´eterminer le domaine de d´efinition def.

2. D´eterminer les limites defaux bornes du domaine, en d´eduire l"existence d"une

asymptote horizontale (Δ) pour (Cf). 3. ´Etudier les positions relatives de (Cf)et de (Δ).

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer (Cf).

Corrig´e

Exercice n°5:

On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =2x3+ 272x2et on note (Cf) sa courbe repr´e- sentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. D´eterminer l"ensemble de d´efinitionDfdef.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son ensemble de d´efinition.

3. Montrer que la droite d"´equationy=xest asymptote oblique `a la courbe en +∞

et en-∞.

4. (a) Justifier l"´equivalence :x?3?x3?27.

(b) Calculer la fonction d´eriv´ee def. (c)

´Etudier le signe def?.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer la courbe repr´esentative def.

Corrig´e

Exercice n°6:

On donne la fonctionfd´efinie surRparf(x) = cos2x-2cosxet on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. (a) Montrer quefest 2π-p´eriodique.

(b) Montrer quefest paire.

2. (a) Montrer que la fonction d´eriv´ee defs"´ecrit :f?(x) = 2sinx(1-2cosx).

(b)

´Etudier le signe def?sur [0;π].

3. Dresser le tableau de variations defsur [0;π].

4. Tracer (Cf) sur un intervalle de longueur 4π.

Corrig´e

L.BILLOT 2DDL

de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°7:

On donne la fonctionfd´efinie surRparf(x) =sinx1-sinxet on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. Montrer quefest d´efinie ssix?=π

2+ 2kπaveck?Z.

2. Montrer quefest 2π-p´eriodique.

Pour la suite de l"exercice, on ´etudiera la fonction sur l"intervalle? -3π

2;π2?

3. D´eterminer les limites defen :

(a)-3π

2par valeurs sup´erieures,

(b)

2par valeurs inf´erieures,

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def

6. Tracer (Cf) sur?

-3π

2;5π2?

Corrig´e

Exercice n°8:

On donne la fonctionfd´efinie surRparx2-|x|et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. Montrer quefest paire.

2. Donner l"expression defsans valeur absolue surR+puis surR-.

´Etudier la d´erivabilit´e defen 0.

´Etudier la fonctionfsurR+.

5. Tracer (Cf) surR.

Corrig´e

Exercice n°9:

On donne la fonctionfd´efinie surRparx-?|x-1|et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. Donner l"expression defsans valeur absolue sur [1;∞[ et sur ]- ∞;1].

´Etudier la d´erivabilit´e defen 1.

´Etudier la fonction sur ]- ∞;1].

´Etudier la fonction sur [1;+∞[.

5. Dresser le tableau de variations defsurR.

6. Tracer la courbe (Cf).

Corrig´e

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de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions D´efinition :soitxun nombre r´eel, on appelle partie enti`ere dexet on noteE(x), le plus grand entier inf´erieur ou ´egal `ax.

Exemples :

E(5,4) = 5E(⎷

2) = 1E(4) = 4E(-2,5) =-3.

Exercice n°10:

Tracer la courbe repr´esentative de la fonction partie enti`ere :x?→E(x) sur l"intervalle [-3,3[.

Corrig´e

Exercice n°11:

On d´efinit surRla fonctionfpar :f(x) =x-E(x).

1. Montrer queEest p´eriodique de p´eriode 1.

2. Donner l"expression defsur [0,1[ puis sur [1,2[.

3. Tracer la courbe repr´esentative defsur [-3,3[.

Corrig´e

L.BILLOT 4DDL

de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°1:

1. Pour toutx?R,-x?R. (On peut aussi dire que le domaine de d´efinition est

centr´e en 0.) soitx?R,f(-x) =-(-x)4+2(-x)2+1 =-x4+2x2+1 =f(x), doncfest paire

2. lim

x→+∞f(x) = limx→+∞-x4=-∞et par sym´etrie : limx→-∞f(x) =-∞.

3.fest d´erivable surRet pour toutx?R, on a :f?(x) =-4x3+ 4x= 4x(1-x2).

D"une part 4x?0?x?0, d"autre part 1-x2?0?x?[-1;1] (r`egle du signe du trinˆome), ce qui donne : x0 1 +∞ 4x0++

1-x2+0-

f?(x)0+0-

4.x0 1 +∞

f?(x)0+0- 2 f(x)

1-∞

5. 123
-1 -2 -3 -4 -51 2 3 4-1-2-3-4-5 Dans un graphique doivent apparaˆıtre toutes les droites dont il a ´et´e question dans le sujet, auquel s"ajoutent les tangentes horizontales.

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de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°2:

1. Le domaine de d´efinition est centr´e en 1, de plus pour touth?= 0, on a :

2[f(1 +h) +f(1-h)] =12?

(1 +h)2+ (1 +h) + 11 +h-1+(1-h)2+ (1-h) + 11-h-1? 1 2?

3 + 3h+h2h+3-3h+h2-h?

1 2?

3 + 3h+h2-3 + 2h-h2h?

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[PDF] de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1

Exercice n°1:

´Etudier la parit´e def.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition.

3. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

4. Dresser le tableau de variations def.

5. Tracer la courbe repr´esentative def.

Corrig´e

Exercice n°2:

1. Montrer que (Cf) admet un centre de sym´etrie en un point d"abscisse 1.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition. Que peut-on

3. D´eterminer trois r´eelsa, betctels que :f(x) =ax+b+x

4. En d´eduire l"existence d"une asymptote oblique pour (Cf) en +∞.

5. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

6. Dresser le tableau de variation def.

7. Tracer (Cf).

Corrig´e

Exercice n°3:

1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDfde la fonctionf.

2. Montrer que la droite d"´equationx=-1 est axe de sym´etrie de (Cf).

3. D´eterminer les limites en 1 et la limite en +∞. Que peut-on en d´eduire pour (Cf)?

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer (Cf).

Corrig´e

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Exercice n°4:

1. D´eterminer le domaine de d´efinition def.

2. D´eterminer les limites defaux bornes du domaine, en d´eduire l"existence d"une

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer (Cf).

Corrig´e

Exercice n°5:

1. D´eterminer l"ensemble de d´efinitionDfdef.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son ensemble de d´efinition.

3. Montrer que la droite d"´equationy=xest asymptote oblique `a la courbe en +∞

4. (a) Justifier l"´equivalence :x?3?x3?27.

´Etudier le signe def?.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer la courbe repr´esentative def.

Corrig´e

Exercice n°6:

1. (a) Montrer quefest 2π-p´eriodique.

2. (a) Montrer que la fonction d´eriv´ee defs"´ecrit :f?(x) = 2sinx(1-2cosx).

´Etudier le signe def?sur [0;π].

3. Dresser le tableau de variations defsur [0;π].

4. Tracer (Cf) sur un intervalle de longueur 4π.

Corrig´e

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Exercice n°7:

1. Montrer quefest d´efinie ssix?=π

2+ 2kπaveck?Z.

2. Montrer quefest 2π-p´eriodique.

2;π2?

3. D´eterminer les limites defen :

2par valeurs sup´erieures,

2par valeurs inf´erieures,

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def

6. Tracer (Cf) sur?

2;5π2?

Corrig´e

Exercice n°8:

1. Montrer quefest paire.

2. Donner l"expression defsans valeur absolue surR+puis surR-.

´Etudier la d´erivabilit´e defen 0.

´Etudier la fonctionfsurR+.

5. Tracer (Cf) surR.

Corrig´e

Exercice n°9:

1. Donner l"expression defsans valeur absolue sur [1;∞[ et sur ]- ∞;1].

´Etudier la d´erivabilit´e defen 1.

´Etudier la fonction sur ]- ∞;1].

´Etudier la fonction sur [1;+∞[.

5. Dresser le tableau de variations defsurR.

6. Tracer la courbe (Cf).

Corrig´e

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Exemples :