[PDF] Changement de variables dans une intégrale multiple
double la méthode de base donnée par le théorème de Fubini consiste à intégrer sur les usuels (coordonnées polaires cylindriques et sphériques)
[PDF] Sommaire Figures 1 Intégrales doubles - Christophe Caignaert
10 Coordonnées Sphériques des physiciens 12 Ce chapitre est un chapitre pratique destiné à permettre de calculer l'intégrale • d'une fonction continue de
[PDF] 5 Les intégrales multiples - La physique à Mérici
Avec une intégrale double en coordonnées polaires calculez l'aire d'un cercle de rayon 5 On sait que pour calculer l'aire d'une région d'intégration
[PDF] Intégrales de fonctions de plusieurs variables - mathuniv-paris13fr
9 1 Théor`eme de Fubini - Intégrales doubles Considérons une fonction de deux variables f : R2 ? R Théoreme 9 4 3 (Intégrale en coordonnées polaires)
[PDF] Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples
on appelle intégrale double de f sur D cette limite: Exemple 3: calcul d'intégrale double Volume de la boule en coordonnées polaires – On calcul
[PDF] Analyse III - Licence de mathématiques Lyon 1
Autre exemple d'application d'une intégrale double : le centre de gravité De même : Comment calculer les intégrales doubles en coordonnées polaires ?
[PDF] CHAPITRE 4 : Intégrales doubles et triples
16 mar 2020 · Le théor`eme transforme l'intégrale double en deux intégrales simples emboitées 4 4 2 Changement de variables en coordonnées polaires
[PDF] Math S2 PeiP Chapitre 1 Cours dintégration
Définir la notion d'intégrale multiple pour les fonctions de 2 et 3 variables Théorème 6 12 (Intégrales doubles en coordonnées polaires)
[PDF] Corrigé de la feuille TD N?4 - semaine du 17/03/2008 (les énoncés
(calculer et majorer une intégrale double sur un rectangle) On considère dans R2 le rectangle D (un changement de variables en coordonnées polaires)
[PDF] Quelques corrigés dexercices des feuilles 5 et 6
Calculer l'intégrale double La forme du domaine incite à utiliser le système des coordonnées polaires L'intégrale sur l'anneau est l'intégrale sur
[PDF] Intégrale double coordonnées polaires pdf - Squarespace
Intégrale double coordonnées polaires exercices corrigés pdf 16 oct 2015 Calculs d'intégrales doubles en coordonnées po- laires Exercice 13 [ 01951 ]
[PDF] Changement de variables dans une intégrale multiple
Dans ce chapitre on poursuit l'étude des intégrales multiples Pour calculer une intégrale double la méthode de base donnée par le théorème de Fubini
[PDF] Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples
3 2 – Intégrales doubles Dans cette section: ‚ Subdivisions des domaines du plan ‚ Sommes de Riemann des fonctions de deux variables ‚ Intégrale double
[PDF] Sommaire Figures 1 Intégrales doubles - Christophe Caignaert
10 Coordonnées Sphériques des physiciens 12 Ce chapitre est un chapitre pratique destiné à permettre de calculer l'intégrale
[PDF] Intégrales de fonctions de plusieurs variables - Mathématiques
Si f est une fonction d'une variable l'intégrale de f sur un intervalle [a les mêmes changements de variables : les passages en coordonnées polaires
[PDF] INTÉGRALES DOUBLES
Intégrales doubles par passage en coordonnées polaires 3 §4 —Exercicesdesynthèse On calcule l'intégrale en séparant les variables :
[PDF] Retour sur les coordonnées polaires Calcul dintégrales triples
1 fév 2023 · L'intégrale d'une fonction de 3 variables f : ? ? R sur un domaine régulier borné ? de R3 se définit selon les mêmes principes que l'intégrale
[PDF] Quelques corrigés dexercices des feuilles 5 et 6
Calculer l'intégrale double La forme du domaine incite à utiliser le système des coordonnées polaires L'intégrale sur l'anneau est l'intégrale sur
153 : Intégrales doubles en coordonnées polaires - LibreTexts
31 oct 2022 · Reconnaître le format d'une intégrale double sur une région polaire générale Utilisez des intégrales doubles dans les coordonnées polaires
[PDF] Corrigé de la feuille TD N?4 - semaine du 17/03/2008 (les énoncés
(calculer une intégrale double sur un triangle) Soit ? le domaine de R2 bordé par le triangle dont les sommets sont les points A B et C de coordonnées
![[PDF] Sommaire Figures 1 Intégrales doubles - Christophe Caignaert [PDF] Sommaire Figures 1 Intégrales doubles - Christophe Caignaert](https://pdfprof.com/Listes/17/22652-17chapitre12-04.pdf.pdf.jpg)
Intégrales doubles et triples12 - 1Sommaire
1. Intégrales doubles1
1.1. Description hiérarchisée du domaine.
. . 11.2. Intégrale double
. . . . . . . . . . . . . . 21.3. Théorème de Fubini
. . . . . . . . . . . . 21.4. Un cas particulier
. . . . . . . . . . . . . 31.5. Propriétés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Changement de variables
. . . . . . . . . 41.7. Coordonnées polaires
. . . . . . . . . . . 42. Intégrales triples6
2.1. Description hiérarchisée du domaine
. . 62.2. Changement de variables. . . . . . . . . 62.3. Coordonnées cylindriques
. . . . . . . . . 62.4. Coordonnées sphériques
. . . . . . . . . 63. Calculs divers8
3.1. Aire ou volume
. . . . . . . . . . . . . . . 83.2. Masse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3. Centre d"inertie
. . . . . . . . . . . . . . . 93.4. Moments d"inertie
. . . . . . . . . . . . . 103.5. Colbert, lycée numérique
. . . . . . . . . 10Figures1 Intégrale double
. . . . . . . . . . . . . . . 22 Théorème de Fubini
. . . . . . . . . . . . . 33 Coordonnées Polaires
. . . . . . . . . . . 54 Intégrale double en polaires
. . . . . . . . 55 Intégrale triple
. . . . . . . . . . . . . . . . 76 Coordonnées Cylindriques. . . . . . . . . 87 Intégrale triple en cylindriques
. . . . . . 98 Coordonnées Sphériques
. . . . . . . . . 109 Intégrale triple en sphériques
. . . . . . . 1110 Coordonnées Sphériques des physiciens12Ce chapitre est un chapitrepratiquedestiné à permettre de calculer l"intégrale
d"une f onctioncon tinuede 2 v ariablessur une partie f erméebornée d uplan, ou d"une f onctioncon tinuede 3 v ariablessur une partie f erméebornée de l" espace. On ne se posera aucun problème de nature théorique ettous les théorèmes seront admis.1. Intégrales doubles
1.1. Description hiérarchisée d"une partie fermée bornée de2Définition :On appelle description hiérarchisée du domaineune partie fermée bornée de2:
l"existence de 2 réelsaetbet de 2 applications continues sur[a;b], notéesuetvtels quea < bet8x2[a;b],u(x)6v(x), avec
(x;y)2,8 >><>>:x2[a;b] y2[u(x);v(x)]Ce qui peut s"illustrer par la figure1 , page suivante.On fera attention à ne pas commettre l"erreur du débutant qui cherche les bornes extrèmes pour les 2
variables indépendamment les unes des autres, et transforme tous les domaines en rectangle... Exemple :On va prendre le domaine du plan défini par :y>0; x>y; x61. Il est élémentaire de faire une figure de ce domaine, qui est un triangle. En travaillant sur cette figure, on obtient facilement une description hiérarchisée :8 >><>>:x2[0;1]y2[0;x]Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
12 - 2Intégrales doubles et triplesy
xΔ a b x u(x)v(x)OFigure 1 -Intégrale double1.2. Intégrale double defcontinue sur, un fermé borné de2Définition :fcontinue sur, un fermé borné de2, si on dispose d"une description hiérarchisée
de, on appelle intégrale double defsur:I =
f(x;y) dxdy=Z b a0BBBB@Z
v(x)u(x)f(x;y) dy1CCCCAdxEn un mot, on transforme cette intégrale double en 2 intégrales simples emboîtées
Exemple :On va intégrer la fonction(x;y)!f(x;y)=xysur D :8 >>>>><>>>>>:x>0 y>0 x+y61 On cherche d"abord une description hiérarchisée du domaine :8 >><>>:x2[0;1] y2[0;1x];ce qui donne : I = D xydxdy=Z 1 0Z 1x 0 xydydx I = Z 1 0x (1x)22 dx="x(1x)36 1 0 +Z 1 0( 1x)36 dx=" (1x)424 1 0 =1241.3. Théorème de Fubini : inversion des bornesThéorème :
Si on a par ailleurs : (x;y)2,8
>><>>:y2[c;d] x2[(y);(y)]avecc < det8y2[c;d],(y)6(y), alors : I = f(x;y) dxdy=Z b a0BBBB@Z
v(x) u(x)f(x;y) dy1CCCCAdx=Z d c0BBBB@Z
(y) (y)f(x;y) dx1CCCCAdyCeci est illustré sur la figure2 , page suivante.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Intégrales doubles et triples12 - 3y
xΔ cd y(y)(y)OFigure 2 -Théorème de Fubini : inversion de l"ordre des intégrationsOn peut ainsi changer l"ordre d"intégration, le calcul est différent, mais le résultat est le
même.1.4. Un cas particulier
On va se placer dans un cas très particulier puisque : (x;y)2,8 >><>>:x2[a;b] y2[c;d] Le domaine est un rectangle. Et d"autre part :8(x;y)2; f(x;y)='(x) (y) Alors, par linéarité des intégrales simples sur un intervalle : I = f(x;y) dxdy=Z b a0BBBB@Z
v(x) u(x)f(x;y) dy1CCCCAdx Z b a Zd c '(x) (y)dy! dx=Z b a (x)Z d c (y)dy! dx Z b a '(x) Zd c (y)dy! dx= Zd c (y)dy! Zb a '(x)dx Z b a '(x)dxZ d c (y)dyAinsi, dans ce cas :
'(x) (y)dxdy=Z b a '(x)dxZ d c (y)dy1.5. Propriétés
a/ LinéaritéThéorème :f ;gcontinues sur, un fermé borné de2, on dispose d"une description hiérarchisée de
.etdeux réels. Alors : f(x;y) +g(x;y)dxdy= f(x;y) dxdy+g(x;y) dxdyCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
12 - 4Intégrales doubles et triplesb/ Positivité
Théorème :fcontinue,positive, sur, un fermé borné de2, on dispose d"une description hiérar-
chisée de. Alors : f(x;y)dxdy>0 c/ Additivité selon les domainesThéorème :fcontinue, sur1et2, deux fermés bornés de2, on dispose d"une description hiérar-
chisée de1et2. De plus1\2estau plusune courbe. Alors :1[2f(x;y) dxdy=
1f(x;y) dxdy+
2f(x;y) dxdy
Cela permet d"exploiter d"éventuelles symétries (de la fonction et du domaine). Théorème :Sifest continue etpositivesur, avec, de plus, D, alors :...Df(x;y) dxdy6...
f(x;y) dxdy1.6. Changement de variablesThéorème :':U!Vde classeC1,UetVdeux ouverts de2.
D etdeux fermés bornés de2, DU, et,V.
De plus :'(D)=.
On suppose que les points dequi ont plusieurs antécédents sont de surface nulle.On note :
(x;y)='(u;v),D(x;y)D(u;v)le jacobien de'en(u;v), et,D(x;y)D(u;v) la valeur absolue du jacobien.Alors :
f(x;y) dxdy= D g(u;v)D(x;y)D(u;v) dudvOn notera lavaleur absoluedu jacobien et la pseudo-simplification.On rappelle que :
D(x;y)D(u;v)=
xu
xv
yu
yv
Notons qu"on fait un changement de variable :
pour sim plifierle domaine, ce qui est nouveau ou pour sim plifierle cal culdes primitiv esemboîtées. Notons enfin quele domaine changeet doncsa description hiérarchisée aussi.1.7. Changement de variables en coordonnées polairesThéorème :On pose8
>><>>:x=cos y=sin(x;y)2D,(;)2, etf(x;y) =f(cos;sin)=g(;) D f(x;y) dxdy= g(;)dd= f(cos;sin)ddCeci est illustré sur la figure3 , page ci-contre.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Intégrales doubles et triples12 - 5y
x M xy OFigure 3 -Coordonnées PolairesDémonstration :En effetD(x;y)D(;)=xx
yy
cossin sin cos =>0La figure4 , ci-dessous, indique le mode de calcul. y x ρρ+dρθθ+dθdρρdθOFigure 4 - D f(x;y)dxdy= g(;)ddExemple :On va intégrer la fonction(x;y)!f(x;y)=xysur D :8 >>>>><>>>>>:x>0 y>0 x2+y261
On cherche d"abord une description hiérarchisée du domaine en polaires :8 >><>>:2[0;=2]2[0;1];ce quiCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
12 - 6Intégrales doubles et triplesdonne, compte tenu quexy=2cossin:
I = D xydxdy=Z =2 0Z 1 03cossindd
I = Z =2 0 cossindZ 1 03d="sin22
=2 0" 441 0 =18
2. Intégrales triples
2.1. Description hiérarchisée de, intégrale triple defcontinue surun fermé borné de
3 un fermé borné de3, une description hiérarchisée deest de la forme : (x;y;z)2,8 >>>>><>>>>>:x2[a;b] y2[u(x);v(x)] z2[(x;y);(x;y)] On peut avoir les variables dans un autre ordre, l"important est que les bornes de chacune ne soient définies qu"en fonction des précédentes. On définit alors l"intégrale triple defcontinue surpar : f(x;y;z) dxdydz=Z b a0BBBB@Z
v(x) u(x)0quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] integrales de surfaces exercices corrigés
[PDF] courbure d'une surface
[PDF] courbure principale
[PDF] courbure d'une courbe plane
[PDF] calcul rayon de courbure d'une trajectoire
[PDF] calcul du rayon de courbure d'une courbe
[PDF] courbure moyenne
[PDF] rayon de courbure définition
[PDF] volume de révolution calcul intégral
[PDF] solide de révolution exercices
[PDF] calcul volume sphere integrale triple
[PDF] calcul volume cylindre intégrale
[PDF] intégrale volume sphère
[PDF] intégrale volume cone