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cours de

Francis Clarke

Analyse III

Fonctions de plusieurs variables

MAT2019L séquence 4

automne 2017 CM10

Les intégrales doubles

Rappel

12 xzyD f(x,y)es tunefoncti ond´efinie surR 2 ,et onlimi tel 'attentionaux points(x,y)d' undomaineDlimit´eparunecourbefer m´eeC. le graphe de f

Oncher che`ad´efinirl'int´egr aledef

surledomai neD,not ´ee D f(x,y)dxdyou D fdA detell efa¸con`aobtenirl evolumedu solidesouslegraphe .

Rappel

xdxzydy

Levolum edVcorrespondant

aupa v´econcern´eest donn´e par dV=f(x,y)dxdy, `aunte rmedes econdeordrepr`es .

Onditque festint´egrablelorsquecessommes

deRiem anntendentversunel imite,celle-ci ned´ep endantpasdessubdivisionsetdu choix despointsd anslespav´es. dA

LasommedeRiemann estalors

ij f(z ij ,w ij )Δx i Δy j (z ij ,w ij

Rappel

34

C'est-à-dire,

toute fonction continue est intégrable dans le sens de Riemann (Riemann)

Th´eor`eme.

Sifestcontin uesurD,alor s

festint´e grablesurD.

On´e crit

D fdApourl'int´ egrale defsurD,ettypiquement D f(x,y)dxdy dansleconte xtedes coordonn´ees cart´esiennes(x,y).

Pourunefon ctionpositi ve,l'int´egrale

correspondauvolumedusolide souslegraph e.

Rappel

1 l'aire du domaine D correspond à D

1dxdy=

D 1dA =vol umeducylindred ebaseDetdehau teur1 =air edeD×1=ai red eD RappelAutre exemple d'application d'une intégrale double : le centre de gravité

Demˆ eme:

¯y=

1

Aire(D)

D ydA= D ydA D dA

Th´eor`eme.SoitDundomain edansR

2

Lecent redegravit´e¯xdeDparrappor t

`al'axe desxestdonn´e par

¯x=

1

Aire(D)

D xdA= D xdA D dA 23
56
propriétés de base de l'intégrale :

Rappel

PropositionSoitDundomain eborn´edansR

2

1.Si cetksontdescon stantes,alor s

D (cf+kg)dA=c D fdA+k D gdA D D D gdA.

4.Si Destd´ecou p´eendeuxdomainesD

1 etD 2 alors D fdA= D1 fdA+ D2 fdA.

Unecons´eq uence:

D fdA D |f|dA 4

On a vu comment calculer

les intégrales doubles par itération 78
yD

Exemple

Destledomai nedansl epremierquadrantl imit´e

pary=0,y 2 =x,etx+2y=3.C alcu ler D (12-3x-4y)dxdy.

Ontrouv e

D (12-3x-4y)dxdy 1 0 3-2y y 2 (12-3x-4y)dxdy

Pourunyentre0et1,

lesvaleurs dexdansD vontdey 2 `a3-2y.

Rappel

Intégrales doubles en

coordonnées polaires 910
Comme avant, soit f une fonction définie sur un domaine D dans R 2

Onconsi d`eredessubdivisionsenretenθ

Comment calculer les intégrales doubles

en coordonnées polaires ?

SommedeRieman n=

F(r k k )r k Δr k k aire≈r k k

×Δr

k

Lahaute urencepoint

vautf(rcosθ,rsinθ)

F(r,θ)

≈r k k (formule de changement de variables) dA dA dA

Ala limit eonobtientpourlevolume :

D f(x,y)dxdy= D

F(r,θ)rdrdθ

o`uD estl'image deDdansleplan r-θ

Th´eor`emeOna

D fdA= D f(x,y)dxdy= D

F(r,θ)rdrdθ

o`uF(r,θ)es tlafoncti on

F:(r,θ)?→f(rcosθ,rsinθ)

etD estledomai nedes( r,θ)qu icorrespon d`aD. 1112
[1,2]×[1,3] xy 2 dxdy= 3 1 2 1 xy 2 dx dy 3 1 y 2 x 2 2 2 1 dy 3 1 y 2 2- 1 2 dy 3 2 3 1 y 2 dy= 3 2 y 3 3 3 1 =13

Exemple :

[1,2]×[1,3] xy 2 dxdy 1

D1231Oθ??

D xy 2 dxdy= D r(rcosθ)(rsinθ) 2 drdθ D r 4 cosθsin 2

θdrdθ

θ2 θ1 r2(θ) r1(θ) r 4 cosθsin 2

θdrdθ

Exemple :

D xy 2 dxdy

312DD1231

(un pavé par rapportquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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