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Le rayon de courbure de la courbe C au point P peut être défini comme la limite du rayon du cercle passant par les points P P1 et P2 lorsque P1 et P2 tendent
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Rayon de l'arc de cercle qui correspond le mieux à la courbure interne d'un faisceau d'un câble ou d'un fil en ce point Un rayon de courbure plus petit
Quel est le rayon de courbure ?
Mathématiquement, le rayon de courbure est la valeur absolue du rayon du cercle tangent à la courbe au point recherché, cercle qui y « épouse cette courbe le mieux possible ». Ce cercle est appelé cercle osculateur à la courbe en ce point. Le rayon de courbure est aussi l'inverse de la courbure ? : ? = 1/?.Comment on calcule le rayon de courbure ?
Le rayon de courbure est lui défini par R=1/c. R = 1 / c . Le cercle osculateur est le cercle dont le centre est le point O, situé sur la normale, est tel que ???MO=R?N.Comment calculer le rayon de courbure minimal ?
Exemple de calculs de rayon de courbe minimal
Selon le Tableau 1, le rayon de courbe minimal se trouve à être six fois le diamètre global du c?le. Dans le catalogue du produit, le diamètre global du c?le est indiqué comme étant de 2,08 pouces. Si nous multiplions 2,08 pouces par six, nous obtenons 12,48 pouces.- le rayon de courbure r est liée à l'accélération normale aN et à la vitesse v : aN = v²/r . r = v² / aN = [4+(8t-4)²]-3/2 /16.
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math´ematique duQu´ ebec L"AssociationMath´ematiqueduQu´e becregroupedespersonnes,dessoci´e- t´es,´ecoles,comm issionsscolaires,coll`e ges,universit´es,institutsd erecherche, soci´et´esindustrielles,oucomme rcialesquis"int´eressent`al"enseignement,` ala recherche,aud´eveloppement,`ala diffusionoulavulgar isat iondesm ath´ema- tiques. Ellevise`aaid erles´educat eurs,d uprimaire`al" Universit ´e,dansleurtravail enmett ant`aleurdisposition divers servicesetr essources.Ellefavorise les´echangesentrelesdiff´erentsordresd"enseigne mentdesmath´emat iquesetcollabore
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La courbure d"une courbe
Daniel Audet,
département de mathématiques, Collège Bois-de-Boulogne daniel.audet@bdeb.qc.caRésumé
On démontre une formule pour calculer la courbure d"une courbe. Cette formule a la particularité de ne reposer que sur la métrique, sans recours aux coordonnées ni à la dimension de l"espace ambiant. Mots cléscourbure, déterminant de Cayley-Menger, distance1 Lar-cocyclicité
quatre points dans un plan sont liées par une relation faisant intervenir un déterminant deCayley-Menger [
1 ], relation que voici :1 0d21,2d21,3d21,41d21,20d22,3d22,41d21,3d22,30d22,41d21,4d22,4d22,30?
oùdijest la distance entre le pointiet le pointj. Maintenant, si nous supposons que le point 1 est situé à distancerdes trois autres, on trouve1 0r2r2r2
1r20d21d221r2d210d231r2d22d230?
c ?Association mathématique du QuébecBulletin AMQ, Vol. LVIII, no2, mai 2018-61Cette relation peut être simplifiée. À l"aide de l"équation suivante on trouve que le déterminant
du membre de droite doit aussi être nul. (((((0 1 0 0 0 1212r20 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1)
((((0 1 1 1 11 0r2r2r2
1r20d21d221r2d210d231r2d22d230)
(((((1 0-r2-r2-r2 1r 21r21 1 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1)
(((((1 0 0 0 0012r21 1 1
0 1 0d21d220 1d210d230 1d22d230)
1 0d21d221d210d231d22d230?
Cette condition est la condition der-cocyclicité de trois points.2 La courbure d"une courbe
Lerayon de courburede la courbeCau pointPpeut être défini comme la limite du rayon du cercle passant par les pointsP,P1etP2lorsqueP1etP2tendent versPsurC. L"inverse du rayon de courbure est par définition lacourburede la courbe (voir figure1 ). On peut isoler1/2r2dans l"équation (1) à l"aide d"une forme bilinéaire [2].12r2=?1 1 1?(
(0d21d22d210d23d22d230) )-1( (1 1 1)62-Bulletin AMQ, Vol. LVIII, no2, mai 2018
2 010 010 010 1112 1 0 00001 10000
01000
00100
111
11 01 01 01 01 01 11110
10000
01000
00100
000 2 1 2 1 00010 2 3 2 2 2 3 2 1 2 2 2 1 2 22
222
2 3 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 1 2 222
2 dd dd dd r rr rrr ddr ddr ddr rrr r 01 01 01 111
2 1 2 3 2 2 2 3 2 1 2 2 2 1 2 dd dd dd r = 0 (1) Cette condition est la condition de r-cocyclicité de trois points. 2.
Le rayon de courbure de la courbe C au point P peut être défini comme la limite du rayon du cercle
passant par les points P, P1 et P2 lorsque P1 et P2 tendent vers P sur C. courbure est par définition la courbure de la courbe. r P P1 P2 Figure 1 La courbe C est en noir, le cercle qui passe par les points P, P1 et P2 en rouge, le cercle osculateur au point P est en bleu et la courbure en P est 1/r. C Figure1 - La courbeCest en noir, le cercle qui passe par les pointsP,P1etP2en rouge, le cercle osculateur au pointPest en bleu et la courbure enPest1/r. Enfin, la limite suivante nous donne le carré de la courburek2= 1/r2de la courbeCau point P. k2= limP
1→P,
P2→P,
P1,P2?C.(
2?1 1 1?(
(0d21d22d210d23d22d230) )-1( (1 1 1)Références
[1] Audet, D. (2011). Déterminant sphérique et hyperbolique de Cayley-Menger,BulletinAMQ, Vol L1, no2, mai 2011 : 45 - 52.
[2] Audet, D. (2017). Isoler une variable dans un déterminant nul,Bulletin AMQ, Vol LVII, no4, décembre 2017 : 55 - 56.Bulletin AMQ, Vol. LVIII, no2, mai 2018-63
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