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Comment expliquer la relativité générale ?
La relativité générale et ce qu'elle permet
Avec la relativité générale, dire que la Terre tourne autour du Soleil devient incorrect. En fait, la Terre va tout droit dans l'espace-temps, mais c'est l'espace-temps lui-même qui, déformé par cette masse importante qu'est le Soleil, est courbé.Quel est la formule de la relativité ?
«E=mc2», la formule la plus cél?re du monde Issue de la théorie de la relativité restreinte, qu'Albert Einstein énonce dans un article paru en juin 1905, elle ouvre la voie à la formulation, dix ans plus tard, d'une théorie plus vaste intégrant la loi de la gravité de Newton: la relativité générale.Quelle est la signification de E mc2 ?
Étymologie. Cél?re formule d'Albert Einstein signifiant que l'énergie (E) est égale à la masse (m) multipliée par le carré de la vitesse de la lumière (c).- La démonstration ne fait appel qu'à trois lois classiques : 1) la conservation de la quantité de mouvement 2) la pression de radiation (quantité de mouvement d'une onde électromagnétique) 3) l'aberration de la lumière (composition de la vitesse de la source et de la vitesse de la lumière).
PretirageINLN2004/17
RELATIVITEGENERALEPOURDEBUTANTS
MichelLeBellac
Mai2004
INSTITUTNONLINEAIREDENICEUMR6638
1361routesdesLucioles06560Valbonne
e-mail:michel.lebellac@inln.cnrs.fr 2Tabledesmatieres
1Introduction5
2Principed'equivalence9
3Espace-tempsplat19
4Cosmologie29
5Bo^teaoutilsdegeometriedierentielle45
6Solutionsasymetriespherique59
34TABLEDESMATIERES
Chapitre1
Introduction
1.1Brefhistorique
echiraunetheorierelativiste (r)=GM rU(r)=GMmr(1.1) ds2= 1rS r dt2 1rSr1dr2r2d2+sin2d'2(1.2)
d'unemasseponctuelleM. parsiecle! 56CHAPITRE1.INTRODUCTION
exploitantl'eetMossbauer. revientparlagrandeporte!2003:lesatelliteWMAPobserveles
cosmologie(modeleCDM,chapitre4).1.2Planducours
Leplanducoursseralesuivant
1.Principed'equivalence
2.Espace-tempsplat
3.Cosmologie
4.Bo^teaoutilsdegeometriedierentielle
5.Solutionsasymetriespherique
ici.RosalindFranklin:::
1.3.QUELQUESREFERENCESGENERALES7
Lentillesgravitationnelles.
Astrophysiquerelativiste:pulsars.
Solutionsaxisymetriques(metriquedeKerr).
Gravitationquantique.
etc.1.3Quelquesreferencesgenerales
stein,EDPSciences/CNRSEditions,Paris. larelativitegenerale).8CHAPITRE1.INTRODUCTION
Chapitre2
Principed'equivalence
2.1Referentielsd'inertie
F0=q~Em~A=m~a0(2.1)
m~a0=~F0=2q~Em~A~F0~F=q~E(2.2)F0=m~gm~A(2.3)
jj ~Fgjj=Gmgm0g r2(2.4) 910CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE
m i+mgg=0(2.5) T A TB= mAimAgmBgmBi!
1=2 (2.6) m2.2Principed'equivalence
libreoulapommeestaurepos! doncenoncerleprinciped'equivalence enintegrantlacomposanteFydelaforce2.2.PRINCIPED'EQUIVALENCE11
(b)A BAB (a)Terre.
pb2+v2t2b' O py=Z +1 1 F ydtFy=GmM b2+v2t2cos'=GmMb(b2+v2t2)3=2 oubestleparametred'impact.Onobtientdonc py=GmMbZ +1 1dt (b2+v2t2)3=2=2GmMbv(2.7) soitpourl'anglededeviation2 =py mv=2GMbv2(2.8) cot2=bv2GM
resultatquiconcideavec(2.8)pour1.12CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE
2.3Decalageverslerougegravitationnel
t1z=12gt2z=h+1
2g2z h Tt0 plafondz=h+gt2=2. h+12gt2n=12g(nT)2+c(tnnT)(2.9)
t n=nT+h c(1+"n)j"nj1 t n(nT)2=(tnnT)(tn+nT)'2h c nT+hc etenreportantdans(2.9)onobtient n=gnT c+ghc2T=tntn1T=hc("n"n1)=ghc2T avec TT=ghc2(2.10)
2.3.DECALAGEVERSLEROUGEGRAVITATIONNEL13
!=ghc2(2.11) TT=vc=ghc2
relationdePlanck-EinsteinE=~! E E=1E Ec2gh =!!=ghc2 S U (ct;x) (ctA;xA)(ctB;xB)ct x S AS B l'observateurUestcourbe. c(ttA)=xxA c(ttB)=x+xB randonnee!14CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE
Lesystemeapoursolutionimmediate
ct=12[c(tA+tB)+(xBxA)]
x=12[c(tBtA)+(xB+xA)](2.12)
dumetre.2.4Interpretationgeometrique
=t 1+ c2 (2.13)BA=T=T
1+B c2 T 1+Ac2 =TBAc2=Tghc2 ds2=1+2(~r)
c2 c 2dt212(~r)c2
d~r2(2.14) peutdonnerdeuxinterpretations. lagravite). detempstetletempspropreestdonc =t1+2(~r)
c2 1=2 't1+(~r)c2
(2.15)2.5.EFFETSDEMAREEGRAVITATIONNELS15
entrel'emissionetlareceptiond'unphoton s2=c2t2~r2=0 (2.14)etcomptetenudej=c2j1 dz dt'c 1+2c2 z 0=Z z 12(v) c2 dvdz0dz=12(z)c2 etdoncdz0 dt=dz0dzdzdt'c avons s AB=Z B A dt"1+2(~r)
c2 c 212(~r)c2d~rdt
2#1=2 'cZ B A dt"1+2(~r)
c2 1c2 d~rdt 2#1=2 'cZ B A dt" 11 c2 12 d~rdt 2 (~r)!# (2.16) sAB ~r(t)=0()d2~rdt2=~r(~r)2.5Eetsdemareegravitationnels
16CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE
M(x;z)
O RS xz gravitationnelled'unobjetdemassemest (x;z)=GmM [x2+(d+z)2]1=2 'GmM d1zdx22d2+z2d2
(2.17)Pourunemasseen(x;z),nousavons
F xF0x=Fx=GmMx d3(2.18) F zF0z=GmM2z d3(2.19) nousfaisonslesdeuxremarquessuivantes. precede d 2i dt2=ij@2@xi@xk~rk(2.20)2.5.EFFETSDEMAREEGRAVITATIONNELS17
unevaleurabsoluealaforcedegravitation. del'espace-temps. chapitresuivantalarelativiterestreinte.Bibliographie.
leprincipedeMach).18CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE
Chapitre3
Espace-tempsplat
pourdesexposespluscomplets. X ix iyi=xiyi3.1Photons
mesurerenutilisantuniquementdesphotons. 1920CHAPITRE3.ESPACE-TEMPSPLAT
O0 O N(O)P Obs ectionduphotonparlemiroir t=12(t2+t1)x=12(t2t1)(3.1)
cryptographieaclesecrete.3.2.EFFETDOPPLER21
sontindependantesdupartenairequire echitlephoton. P tt+tt 0+t t 1t2AliceBobAliceBob
Chiara
t0t2+t12t
2t1 23.2EetDoppler
Silephotonestre
echiparlavoiture,apour coordonnees,avect1=tett2=K2tdans(3.1) temps 12(t2+t1)=12t(K2+1)
espace 12(t2t1)=12t(K21)
v=K21K2+1(3.2)
ouencore K=r 1+v1v(3.3)
22CHAPITRE3.ESPACE-TEMPSPLAT
Oradar
auto K 2t P Kt t rec=1K!em=!emr
1v1+v(3.4)
3.3Metriquedel'espace-tempsplat
x =(x0;~x)ety=(y0;~y) xy=x0y0~x~y=x0y0xiyi(3.5) =diagonal(1;1;1;1) deWick.3.3.METRIQUEDEL'ESPACE-TEMPSPLAT23
deMinkowski =diagonal(1;1;1;1)(3.6) etnousrecrivons(3.5) xy=xy=xyavecx=x ds2=(dx0)2d~x2=dt2d~x2=dxdx(3.7) (x0)2~x2=xx=0(3.8) x x=2=t2v2t2=t2(1v2)=t2 2 avec =(1v2)1=2,soitt= t02=t2x2=2
particule:t0=.L'expressiont=0=Kt=tr
1+v 1v x=ttx=vt soit t=t1vx=vt1v
Nousobtenonsdonc
2=1 (1v)2(1v2)t2=1+v1v0224CHAPITRE3.ESPACE-TEMPSPLAT
t t P O vtx enP:(t;x=vt)autempst. aupointPdetempspropre u()=dx()d(3.9) u temps(propre)innitesimald dx=ud maiscomme dx2=d2=(uu)d2 dx0 d=dtd= d~rd=dtdd~rdt= ~v soit u= (1;~v)(3.10) y ()=x(())w=dy d=u(())dd alors d2y d2=dwd=d2d2u(3.11) ambigute.3.4.TENSEURENERGIE-IMPULSION25
Pt Alice Bob t x=vt tKt x=tt x =uavecu=(1;1;0;0) x =3u,etonveriequen'estpasunparametreane. uAuB=u0Au0B~uA~uB=u0B=1
p1v2AB etdonc u AuB=1 p1v2AB(3.12) etuB.3.4Tenseurenergie-impulsion
d'espace) p =mup0=E= m~p= m~v(3.13)26CHAPITRE3.ESPACE-TEMPSPLAT
limiteenfonctiondev=cE=mc2+p2
2m+~p=m~vp1(v=c)2=m~v+
nonrelativistehabituelle. desintegrentauboutd'untemps unedistance9 vcharges.Enresume, ,mais etunedensite decourant~|= j=u(3.14) @j=@0j0+~r~|=0(3.15) uidesgalileenne.Lorsquen=(1;~0)
(jn)V=V=NN=(jn)tyz=jxtyz=N
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