TD : Exercices de logique
mules logiques suivantes en phrases du langage naturel : Page 2. Université d'Angers : L3SEN. TD mathématiques : logique 2/9. (p ∧ ¬q ) ⇒ r (¬p ∨ ¬q) ⇒ ¬r.
Logique
Ecrire la proposition ( ) avec des quantificateurs. 2. Ecrire la négation avec des quantificateurs puis l'énoncer en français. Aller à : Correction exercice 8
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 1. Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s'impose : ⇔ ⇐
Corrigés des exercices
Exercices 2 Exercices sur la logique des propositions. 5. Exercices 3 aux mêmes conclusions que précédemment (voir corrigé de l'exercice 20). 27. a) ¬(p ...
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B (Préadmissibilité) QCM sur connaissances générales français
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Arendt de conduire un parallèle systématique entre stalinisme et nazisme souffre de graves défauts de logique défauts qui sont d'autant plus visibles qu
Logique Travaux Dirigés - Partie 3 Corrigés
Si P est faux P implique n'importe quelle proposition. Exercice 2. Un raisonnement est un ensemble de prémisses et une conclusion. Les raison- nements sont
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 5. Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s'impose : ⇔ ⇐
Exercices de logique : corrigé
Exercices de logique : corrigé. PCSI 2 Lycée Pasteur. 24 septembre 2007. Exercice 1 : • (2 + 2 = 4) ∧ (1 + 1 = 3) est fausse sa négation est (2 + 2 = 4)
Exercices de révision
23 oct. 2012 http://www.lri.fr/~paulin/Logique. Exercices de révision. Exercice 1 Logique propositionnelle. Soit la formule P définie comme (p⇒(q⇒r))⇒(r ...
TD : Exercices de logique
TD mathématiques : logique 1/9. TD : Exercices de logique négation Exercice 7 Examiner les relations logiques existant entre les assertions suivantes :.
Exercices de mathématiques - Exo7
Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s'impose : ? ?
Logique
Exercice 4 : Donner la négation mathématique des phrases suivantes. 1. Toutes les boules contenues dans l'urne sont rouges. 2. Certains nombres entiers sont
Corrigés des exercices
Exercices 2 Exercices sur la logique des propositions Or d'après les tables de vérité de ces formules (cf. corrigé de l'exercice 34)
Exercices de logique : corrigé
Exercices de logique : corrigé. PCSI 2 Lycée Pasteur. 24 septembre 2007. Exercice 1 : • (2 + 2 = 4) ? (1 + 1 = 3) est fausse sa négation est (2 + 2 = 4)
Correction de Mathématiques concours ACCES 2019
Corrigé de l'épreuve de Raisonnement Logique et Mathématiques. Mathieu Pons Liste des exercices ... Partie 2 - Raisonnement mathématique. Exercice 6 ...
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logiques ordre des mots et des membres de phrases). ATTENTION ! - Soyez rapide. - Soyez attentif aux consignes de chaque exercice.
ALGÈBRE Cours et Exercices Première Année LMD
Montrer que. ?. 2 +. ?. 3 n'est pas rationnel. Page 16. 16 CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE. Corrigés. Corrigé 1.5.1
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exercices avec leurs corrigés pour vous entraîner concrètement. mathématiques raisonnement logique (1 h 30
Logique Travaux Dirigés - Partie 3 Corrigés
Corrigés. Pour ce troisième TD nous allons poursuivre notre étude du Calcul des Proposi- tions ou Logique Propositionnelle (LP0). Les exercices sont de
ALGÈBRE
Cours et Exercices
Première Année LMD
Marir Saliha
2Table des matières
1 Notions de Logique Mathématique 6
1.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . .
81.3 Propriétés des connecteurs logiques . . . . . . . . .
101.4 Quantificateurs mathématiques . . . . . . . . . . .
121.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152 Ensembles et Applications 20
2.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202.1.1 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212.1.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . .
222.1.3 Propriétés des opérations sur les ensembles .
252.1.4 Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262.1.5 Produit Cartésien . . . . . . . . . . . . . . .
272.1.6 Exercices sur les ensembles . . . . . . . . . .
272.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
312.2.1 Composition d"applications . . . . . . . . .
322.2.2 Image directe et Image réciproque . . . . . .
322.2.3 Injection, Surjection, Bijection . . . . . . . .
3 62.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413 Relations Binaires 48
3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
483.1.1 Propriétés des relations binaires dans un en-
semble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Relation d"équivalence . . . . . . . . . . . . . . . .
503.3 Relation d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
523.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
533
4TABLE DES MATIÈRES
Bibliographie 62
Introduction
Ce polycopié reprend quelques notions mathématiques à la base de la partie Algèbre de l"unité d"Enseignement Maths1 de premières années LMD Sciences et techniques et Mathématiques et informa- tique. Il peut aussi être utilement utilisé par les étudiants d"autres paliers aussi bien en sciences et sciences et techniques que ceux deBiologie, Sciences économiques ou autre.
Les chapitres de ce texte se décomposent de la façon suivante : Le cours contient les notions à assimiler. Il convient d"en ap- prendre les définitions et les énoncés des résultats principaux. Les démonstrations données doivent être comprises ainsi que les exemples proposés tout au long du cours. La partie entrainement comprend des exercices qui ont été choisis soigneusement. Il est conseillé de s"exercer à résoudre par soi-même les exercices sans avoir une solution à côté . C"est grâce à ce travail personnel indispensable que l"on peut aller loin dans la compréhension et l"assimilation des notions mathématiques introduites. C"est la seule méthode connue à ce jour pour progresser en mathématiques. L"étu- diant consciencieux travaillera la justification de chacune de ses réponses. Rappelons que trouver la bonne réponse ne suffit pas en science, il faut aussi la justifier! La partie Solutions des exercices proposés que l"étudiant pourra consulter en cas de difficulté. 5Chapitre 1
Notions de Logique
Mathématique
Sommaire1.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . .
81.3 Propriétés des connecteurs logiques . .
101.4 Quantificateurs mathématiques . . . . .
121.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 1.1 Préambule
Les mathématiques actuelles sont bâties de la façon suivante : Axiome :Un axiome est un énoncé supposé vrai à priori et que l"on ne cherche pas à démontrer. Exemple 1.1.1.Euclide a énoncé cinq axiomes qui devaient être la base de la géométrie euclidienne; le cinquième axiome a pour énoncé : Par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule droite parallèle à cette droite. 61.1. PRÉAMBULE7
Les cinq axiomes de Péano, qui définissent l"ensemble des en- tiers naturels. Le cinquième axiome est : siPest une partie deNcontenant0et que tout successeur de chaque élément dePappartient àP(le successeur de n estn+1) alorsP=N. Cet axiome est appelé " axiome d"in- duction ». Définition :Une définition est un énoncé dans lequel on décrit les particularités d"un objet mathématique. On doit avoir conscience que le mot "axiome" est parfois synonyme de "définition". Démonstration :(ou preuve) c"est réaliser un processus qui per- met de passer d"hypothèses supposées vraies à une conclusion et ce en utilisant des règles strictes de logique. On décide enfin de qualifier de vraie toute affirmation obtenue en fin de démonstration et on l"appelle selon son importance,Lemme :Un résultat d"une importance mineure.
Théorème :Un résultat d"une importance majeure. Corollaire :Un corollaire à un théorème est conséquence à ce théo- rème. Conjecture :Un résultat mathématique que l"on suppose vrai sans parvenir à le démontrer. Exemple 1.1.2.La conjecture de Fermat : sin2N; n3, il n"existe pas d"entiers naturelsx;y;ztels que x n+yn=zn Récemment, ce résultat a été démontré. Proposition :Une proposition est un énoncé mathématique pouvant être vrai ou faux, on la note par les lettres P, Q, R,...etc. Exemple 1.1.3.L"énoncé " 24 est multiple de 4 » est une propo- sition vraie. L"énoncé " 19 est multiple de 3 » est une proposition fausse. A toute proposition correspond une table de véritéP V FouP 1 08CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE
Pour deux propositionsPetQnon précisées, correspond22possi- bilités d"attribution de véritéPQ 11 10 01 00 D"une manière générale, ànpropositions correspond2npossibilités d"attribution de vérité.1.2 Connecteurs logiques
Si P est une proposition et Q est une autre proposition, nous allons définir de nouvelles propositions construites à partir de P et de Q.Négation d"une proposition
La négation d"une proposition P est une proposition notéeP et définie à partir de sa table de véritéPP 10 01Conjonction " et »
La conjonction est le connecteur logique " et » qui à tout couple de propositions(P;Q)associe la proposition "P et Q », notéeP^Qet définie ainsi :P^Qest vraie siPetQsont toutes les deux vraies simultanément, fausse dans les autres cas. On résume ceci dans la table de vérité suivantePQP^Q111 100010 000
1.2. CONNECTEURS LOGIQUES9
Disjonction " ou »
La disjonction est le connecteur logique " ou » qui à tout couple de propositions(P;Q)associe la proposition "P ou Q », notéeP_Qet définie ainsi :P_Qest fausse siPetQsont toutes les deux fausses simultanément, vraie dans les autres cas. On résume ceci dans la table de vérité suivantePQP_Q111 101011 000
Implication ")»
L"implication est le connecteur logique qui à tout couple de propositions(P;Q)associe la proposition "P implique Q », notéeP)Qet définie ainsi :P)Qest fausse lorsqueP est vraie etQest fausse, vraie dans les autres cas. On résume ceci dans la table de vérité suivantePQP)Q111 100011 001
Equivalence ",»
L"équivalence est le connecteur logique qui à tout couple de propositions(P;Q)associe la proposition "P équivaut Q », notéeP,Qet définie ainsi :P,Qest vraie lorsquePet Qont la même valeur de vérité, fausse dans les autres cas. On résume ceci dans la table de vérité suivantePQP,Q111 100010 001
10CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE
1.3 Propriétés des connecteurs logiques
Considérons la propositionP. Cette proposition peut prendre la valeur de vérité vrai ou faux. Considérons la proposition composée R=P_P Cette proposition est remarquable. En effet,Rest toujours vraie et ce indépendamment deP. Vérifions-le :PPP_P 101011(1.1)
La propositionRest alors qualifiée de tautologie. Définition 1.3.1.Une proposition qui est vraie quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent est appelée une Tautologie. Propriétés 1.3.1.Quelles que soient les valeurs de vérité des pro- positionsP,QetR, les propositions suivantes sont toujours vraies. P_P P,P P^P,P P_P,PP^Q,Q^P(Le connecteur^est commutatif)
P_Q,Q_P(Le connecteur_est commutatif)
1.3. PROPRIÉTÉS DES CONNECTEURS LOGIQUES11
(P^Q)^R,P^(Q^R)(Le connecteur^est associatif) (P_Q)_R,P_(Q_R)(Le connecteur_est associatif)P^(Q_R),(P^Q)_(P^R)(Le connecteur^est dis-
tributif sur_)P_(Q^R),(P_Q)^(P_R)(Le connecteur_est dis-
tributif sur^)P^(P_Q),P
P_(P^Q),P
[(P)Q)^(Q)R)])(P)R)(Transitivité de)) (P,Q),[(P)Q)^(Q)P)]P^Q,P_Q(Lois de Morgan)
P_Q,P^Q(Lois de Morgan)
[(P,Q)^(Q,R)])(P,R)(Transitivité de,) (P)Q),(P_Q) (P)Q),(Q)P)(contraposée) Remarque 1.3.1.On peut démontrer ces propriétés en dressant la table de vérité.12CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE
1.4 Quantificateurs mathématiques
a)-F ormeprop ositionnelle
Définition 1.4.1.Etant donné un ensembleE. On appelle forme propositionnelle à une variable définie surE, toute ex- pression mathématique contenant une variablex, telle que quand on remplace cette variable par un élément deE, on obtient une proposition. On la note parP(x).Exemple 1.4.1.L"énoncé suivant :
P(n) : " n est un entier naturel multiple de 3» est une forme propositionnelle surNcar il devient une pro- position lorsqu"on donne une valeur àn. En effet, P(30 ): "30 est multiple de 3» est une pr opositionvr aie. P(19 ): "19 est multiple de 3» est une pr opositionfausse. Remarque 1.4.1.On peut avoir une forme propositionnelle à deux variables notéeP(x;y);x2E;y2FoùEetFsont deux ensembles. b)-Les Qu antificateursuni verselssimples
A partir d"une forme propositionnelle P(x) définie sur un en- semble E, on construit de nouvelles propositions dites propo- sitions quantifiées en utilisant les quantificateurs "quel que soit» et "il existe». Définition 1.4.2.Le quantificateur "quel que soit», noté8, permet de définir la proposition "8x2E;P(x)» qui est vraie si pour tous les élémentsxdeE, la propositionP(x)est vraie.Exemple 1.4.2.
-8x2[3;1];x2+ 2x30est une proposition vraie. -8n2N;(n3)n >0est une proposition fausse.1.4. QUANTIFICATEURS MATHÉMATIQUES13
Définition 1.4.3.Le quantificateur " il existe au moins», noté9, permet de définir la proposition "9x2E;P(x)» qui est vraie si on peut trouver au moins un élémentx2Etel que la propositionP(x)soit vraie. S"il existe un et un seul élément x, on pourra écrire9!x2E;P(x)
On dira dans ce cas qu"il existe un élément unique x vérifiant P(x).Exemple 1.4.3.
-"9x2R;x2= 4» est une proposition vraie. -"9x2R;ex<0» est une proposition fausse. -"8n2N;(n2pair)n pair» est une proposition vraie. c)-Les Règles de négation
SoitP(x)une forme propositionnelle sur un ensembleE.La négation de8x2E;P(x)est9x2E;P(x)
La négation de9x2E;P(x)est8x2E;P(x)
Exemple 1.4.4.
-9x2R;ex0, 8x2R;ex>0 -8n2N;(n2pair)n pair),(9n2N;(n2pair)^(n impair)) d)-Les Quan tificateursm ultiples
Définition 1.4.4.SoitP(x;y)une forme propositionnelle à deux variables avecx2Eety2F. -La proposition quantifiée :8x2E;8y2F; P(x;y)est vraie lorsque tous les élémentsxdeEet tous les élémentsydeF vérifientP(x;y).14CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE
-La proposition quantifiée :9x2E;9y2F; P(x;y)est vraie lorsqu"il existe au moins un élémentxdeEet lorsqu"il existe au moins un élémentydeFvérifiantP(x;y).Exemple 1.4.5.
-La proposition quantifiée :8n2N;8x2R+;1 +nx0
est vraie. -La proposition quantifiée :8n2N;8x2R;1 +nx0
est fausse. -La proposition quantifiée :9x2R;9y2R;2x5y= 1
est vraie. e)-Règles d" utilisation
On peut combiner des quantificateurs de natures différentes. Par exemple, l"énoncé " tout nombre réel positif possède une racine carrée» s"écrit8y2R+;9x2R; y=x2
mais attention, il faut respecter les règles suivantes : -On peut permuter deux quantificateurs identiques (8x2E;8y2F;P(x;y)),(8y2F;8x2E;P(x;y)) (9x2E;9y2F;P(x;y)),(9y2F;9x2E;P(x;y)) -Ne pas permuter deux quantificateurs différents.9y2F;8x2E;P(x;y)
n"est pas équivalente à8x2E;9y2F;P(x;y)
1.5. EXERCICES15
1.5 Exercices
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