Étude de M ? ? AM?MA
2 Il est clair que R[A] ? Ker?A parce que les matrices dans R[A] commutent toutes avec A. III.3.a Ce résultat a été prouvé plusieurs fois en cours (théorème
Fiche aide-mémoire 7 : Commutant dune matrice. 1 Des remarques
Soit A une matrice carrée d'ordre n. On appelle commutant de A l'ensemble des matrices M qui commutent avec A c'est-à-dire telles que AM = MA.
Chapitre 16 : Espaces vectoriels
+: On a bien F ? E et si M = 0 est la matrice nulle alors AM = MA = 0 donc 0 ? F et ainsi F V= ?. Soient. (M
Commutant d’une matrice
matrices M de Mn(IK) qui commutent avec A : C(A) = {M ? Mn(IK) AM = MA}. Pour tous entiers r et s de {1
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Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. (7 points) Soient M et A deux matrices de Mn(R) telles que MA = AM.
MPSI 2 DS 07
Xm en fonction de A. 2.3 Calcul du commutant de A. On note C(A) = {M ? M3(R)
CCP 2012 math 2 corrigé
polynôme minimal de la matrice A le polynôme minimal de l'endomorphisme de Mn(C) (défini par ?A(M) = AM ?MA pour tout M ? Mn(C)).
Algèbre linéaire - Problème de synthèse Correction
Expliciter la matrice C associée à l'endomorphisme ?A relativement à la base canonique de (défini par ?A : M ? Mn(C) ?? AM ? MA).
Épreuve de Mathématiques 4 Exercice 1 (PT A 2010 partiel
12?/12?/2014 donc AM est nilpotente. b) Soit M ? Ker (?A) i.e. AM ? MA est la matrice nulle. D'après la question précédente on ...
Matrix algebra for beginners Part I matrices determinants
mathematician James Joseph Sylvester in 1850 Matrices ?rst arose from speci?c problems like (1) It took nearly two thousand years before mathematicians realised that they could gain an enormous amount by abstracting away from speci?c examples and treating matrices as objects in their own right just as we will do here
1 Introduction to Matrices - University of Florida
A matrix is a rectangular array of numbers The order or dimension of the matrix is the number of rows and columns that make up the matrix The rank of a matrix is the number of linearly independent columns (or rows) in the matrix
Chapter 7 Introduction toIntroductionto Matrices
7 1 Matrix — A Mathematical Definition In linear algebra a matrix is a rectangular grid of numbers arranged intorowsandcolumns Recalling our earlier definition of vector as a one-dimensional array of numbers a matrix maylikewise be defined as atwo-dimensional arrayof numbers
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toutes les matrices Mvéri ant AM= MA (a) Déterminer les matrices qui commutent avec la matrice Dobtenue à la question 2 (b) Montrer que en posant N= P 1MP Mcommute avec Asi et seulement si Ncommute avec D (c) En déduire les matrices commutant avec A(on essaiera de les exprimer comme combinai-
What is a matrix in linear algebra?
This is notonly a line from a great movie, it’s true for linear algebra matrices as well. Until you develop anability to visualize a matrix, it is just nine numbers in a box. We have stated that a matrix repre-sents a coordinate space transformation. So when we visualize the matrix, we are visualizing thetransformation, the new coordinate system.
What is the identity matrix?
The basic idea is that if you multiply amatrix by the identity matrix, you get the original matrix. So, in some ways, the identity matrix isfor matrices what the number 1 is for scalars. Matrices may have any positive number of rows and columns, including one. We have alreadyencountered matrices with one row or one column: vectors!
How to derive a matrix from a transformation?
We can derive a matrix which represents that transformation.All we have to do is figure out what the transformation does to basis vectors and fill in thosetransformed basis vectors into the rows of a matrix.
What is augmented matrix?
[A|b]?Mm,n+1(F). Theaugmented matrix is a useful notation for ?ndingthesolution of systemsusing row operations. Identical to other de?nitions for solutions of equations, the equivalenceof two systems is de?ned via the idea of equality of the solution set.
Séance de soutien PCSI2 numéro 7 : Calcul
matriciel - Correction des exercicesTatiana Labopin-Richard
21 janvier 2015
1 Somme et produit
Exercice 1 :PourA?Mn(K), on noteσ(A)la somme des termes deA. On pose J=( ((1···1...(1)...1···.1)
Vérifier queJAJ=σ(A)J.
Correction :σ(A) =n?
k=1n l=1a k,l. Par produit, nous avonsB=AJa pour terme généralbi,j=n l=1a i,let doncC=JAJa pour terme généralci,j=n k=1b k,j= n k=1n l=1a k,l=σ(A).Exercice 2 :SoitM=?a b
c d?Pour toutn≥2, note :Mn=?anbn
c ndn? .Démontrer que pour toutn≥2, on a b n+cn=an+dn. Correction :Pour toutn≥1, en exploitantMn+1+M×Mn, on a 1 a n+1=aan+bcn b n+1=abn+bdn c n+1=can+dcn d n+1=cbn+ddnPar suite,
a n+1+dn+1-(bn+1+cn+1) = (a-c)(an-bn) + (b-d)(cn-dn). Sachant quea≥cetb≥d, il suffit d"établir quean≥bnetcn≥dnpour conclure. Pourn= 1la proposition est vérifiée. Pourn≥2, exploitonsMn=Mn-1M: a n=an-1a+bn-1c b n=an-1b+bn-1d c n=cn-1a+dn-1c d n=cn-1b+dn-1dOn a alors
a n-bn=an-1(a-b) +bn-1(c-d) et c n-bn=cn-1(a-b) +dn-1(c-d) On montre par récurrence quean,bn,cnetdnsont positifs, ce qui merpet de conclure puisquea-b≥0etc-d≥0. Exercice 3 :Que peut-on dire d"une matrice qui vérifieTr(AAT) = 0? Correction :NotonsB=AT. Par définition, on a doncbi,j=aj,i. NotonsC=AB. Nous avons alors
c i,j=n k=1a i,kaj,k et doncci,i=n k=1a2i,k.Ainsi,
Tr(AAT) =n
i=1n k=1a2i,k. 2 C"est donc la somme des carrées de tous les coefficients deA. Ainsi, si cette somme est nulle, cela signifie que chacun des termes est nul et donc que la matriceAest nulle.
Exercice 3bis :Calculer les puissances nième des matrices suivantes :A=?1 1
0 2? , A=?a b 0a? , A=?cos(θ)-sin(θ) sin(θ) cos(θ)?Correction :1)An=?1an
0 2 n? avecan+1= 1 + 2ance qui implique que a n= 2n-1.2) Par récurrence, on montre queAn=?annan-1b
0an?3) Par récurrence, on montre queAn=?cos(nθ)-sin(nθ)
sin(nθ) cos(nθ)?2 L"anneauxMn(K)est non commutatif et pos-
sèdes des diviseurs de 0 (pourn≥2)Exercice 4 :SoitA=(
(1 2 6 0 1 20 0 1)
). Calculer la puissance nième deApour tout n.Correction :Nous avonsA=I3+NavecN=A=(
(0 2 6 0 0 20 0 0)
). La matrice Nest niloptente d"indice 3 et elle commute avec la matriceI3. On peut donc appliquer la binôme de Newton qui nous donne : A n=n? k=0? n k? N kIn-k3=2? k=0? n k? N k=( (1 2n2n(n+ 2)0 1 2n
0 0 1)
Exercice 5 :SoientAetBdeux matrices de taillesnvérifiantAB-BA=A.Montrer que pout tout entier naturel non nulk,
A k+1B-BAk+1= (k+ 1)Ak+1. Correction :Montrons le résultat par récurrence. 3 Initialisation : Lorsquek= 1, nous avonsAB-BA=Apar hypothèse. Hérédité : Supposons la propriété vraie au rangk. Nous avons alors : A k+1B-BAk+1=A(AkB-BAk) +ABAk-BAk+1 =AkAk+ (AB-BA)Ak =kAk+1+Ak+1 = (k+ 1)Ak+1 On retiendra la technique classique qui consiste, à la première ligne des équa- tions à faire apparaître les termes dont on a besoin, puis à compenser en les enlevant tout de suite après. Exercice 6 :SoitM?GLnK. Montrer l"existence d"un polynômeQ?K[X] tel queQ(X) = 0etQn"admet pas 0 pour racine (on admettra l"existence deP?K[X]non nul tel queP(M) = 0).
Correction :SoitP, on écritP=XrQavecrentier naturel etQn"admettant pas 0 pour racine. On a alors M rQ(M) =P(M) = 0. En simplifiant par la matrice inversibleMr, on obtientQ(M) = 0. Exercice 7 :SoitAsymétrique inversible de taillen. Montrer que l"inverse deAest symétrique. Correction :Nous avons par hypothèsesAT=AetAA-1=In. Ainsi (AA-1)T= (A-1A)T=In (A-1)TAT=AT(A-1)T=In (A-1)TA=A(A-1)T=InDonc(A-1)T=A-1par unicité de l"inverse deA.
Exercice 8 :Démontrer le dernière ligne du tableau. Trouver un contre- exemple lorsqu"on regarde le produit de trois matrices.Correction :
Tr(AB) =n
i=1? n? k=1a i,kbk,i? =n k=1? n? i=1b k,iai,k? =Tr(BA).Par ailleurs, pour
A=?1 1
3 0? , B=?1 1 2 1? , C=?1 1 0 1? 4 on obtientTr(ABC) = 10etTr(CBA) = 14. Exercice 9 :SoitTune matrice triangulaire supérieure de taillen. Montrer queTcommute avec sa transposée, ei et seulement si elle est diagonale.Correction :Par récurrance surn≥1.
Initialisation :n= 1immédiat.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rangn≥1. SoitT?Mn+1(K) triangulaire supérieure commutant avec sa transposée. Nous avonsT=?α XT
0 n,1S? avecαun scalaire,δtriangulaire supérieure,X?Mn,1(K)etS?Mn(K). Ainsi,TTT=TTTimplique d"une part, en identifiant les coefficients(1,1)que2=α2+XTX. DoncX= 0. Et d"autre part,STS=SST. Par hypothèse de
récurrence, nous en déduisons alors queSest diagonale. DoncTest diagonale. Exercice 10 :Existe-il des matricesAetBtelles queAB-BA=In? Correction :Non, carTr(AB) =Tr(BA)impliqueTr(AB-BA) = 0?=Tr(In).
Exercice 11 :Soient(A,B)?Mn(K)tels queAB-BA=A. CalculerTr(Ap) pour tout entier non nulp.Correction :
Tr(A) =Tr(AB-BA) =Tr(AB)-Tr(BA) = 0
Tr(Ap) =Tr(Ap-1(AB-BA))
=Tr(ApB)-Tr(AP-1BA) OrTr(Ap-1BA) =Tr((Ap-1B)A) =Tr(A(Ap-1B)) =Tr(ApB)
et doncTr(Ap= 0). Exercice 12 :Calculer le produit de deux matrices élémentaires.A=Ei,jEk,l= (ap,q)p,qalors
a p,q=?r= 1n(δp,iδr,j)(δr,kδq,l) =δj,kδp,iδq,l, et donc : 5 E i,jEk,l=δj,kEi,l.Exercice 13 :SoitA?Mn(K). Montrer que :
?B?Mn(K), AB=BA? ?λ?K, A=λIn. Correction :SiAest solution, alorsAEi,j=Ei,jAdoncai,i=aj,jpour tout (i,j)etai,k= 0pour toutk?=i. DoncA=λIn. Réciproque immédiate. Exercice 14 :Quelles sont les matrices carrées qui commutent avec toutes les matrices carrées? Correction :SoitMvérifiant. Alors pouri?=j,Ei,jM=MEi,j. l"égalité en indice(i,i)donnemj,i= 0et l"égalité en indice(i,j)donnemj,j=mi,i. DoncM=λIn.
Exercice 15 :Soitn≥2.
a) Montrer que{A?Mn(R)/?M?GLn(R), AM=MA}={λIn, λ?R}. b) SoitA?Mn(R). On suppose que ?M,N?Mn(R), A=MN?A=NM.Montrer qu"il existeλ?Rtel queA=λIn.
Correction :
a) SoitAcommutant avec toutes les matrices inversibles. Soiti?=j. Pour M=In+Ei,j,AM=MAdonneAEi,j=Ei,jA. On retombe sur l"exercice précédent. b) SoitBune matrice inversible. Nous avonsA= (AB-1)Bce qui implique queA=B(AB-1)et donc queAB=BA. Ainsi,Acommute avec toutes les matrices inversibles et on retourne à la question 1.quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22[PDF] extrait traduction
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