[PDF] Algèbre linéaire - Problème de synthèse Correction

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Algèbre linéaire - Problème de synthèse CorrectionDans tout le problème,ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. On noteMn(R)(respectivementMn(C)) l"espace vectoriel des matrices carrées d"ordrenà coefficients réels (respectivement à coefficients complexes). Pour tout couple d"entiers(i,j)deJ1,nK, on noteEi,jla matrice deMn(R)dont tous les

coefficients sont nuls, sauf celui situé à laiièmeligne et à lajièmecolonne qui est égal à 1.

On désigne parInla matrice diagonale deMn(R)dont tous les coefficients diagonaux sont égaux

à 1, et par0nla matrice nulle deMn(R).

Pour toute matriceAdeMn(R), on appelle trace deA, et on noteTr(A), la somme des coefficients diagonaux deA.

On note id l"endomorphisme identité deRn.

On rappelle qu"un endomorphismefdeRnest appelé une homothétie lorsqu"il existe un réelλ tel quef=λid. On noteR[X]l"espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Dans tout le problème,Adésigne une matrice non nulle deMn(R), etuest l"endomorphisme de R ncanoniquement associé à la matriceA. On considère l"application?Adéfinie surMn(R)par : ?M? Mn(R), ?A(M) =AM-MA.

On rappelle que siP=d

k=0a kXkest un polynôme deR[X],P(A)désigne la matrice

P(A) =d

k=0a kAkdeMn(R). Enfin , on noteR[A]le sous-espace vectoriel deMn(R)défini par :

R[A] ={P(A)\P?R[X]}.

L"objet du problème est d"étudier quelques propriétés des éléments propres de?A.1 La partie I étudie la diagonalisabilité de l"endomorphisme?Adans un cas particulier. Les parties II et III étudient les sous-espaces propres de?A. La partie IV étudie la diagonalisabilité de?Adans le cas général. Enfin, la partie V compare les valeurs propres deAet celles de?Adans le casn= 2. Les quatre premières parties de ce problème sont dans une large mesure indépendantes.

Préliminaire

1.

Mon trerque ?Aest un endomorphisme deMn(R).

2. Mon trerque l"application Trest une forme linéaire surjective deMn(R). En déduire que son noyau, notéT,est un hyperplan deMn(R). 3. Mon trerque p ourtoutes matrices MetNdeMn(R), on a :Tr(MN) =Tr(NM). En déduire que deux matrices semblables deMn(R)ont la même trace. 4. Mon trerque : Im(?A)? T, oùIm(?A)désigne l"image de l"endomorphisme?A. Existe-t-il une matriceBdeMn(R)telle que?A(B) =In?

Partie I : Etude d"un cas particulier

Dans cette partie seulement, on suppose quen= 2et queA=?1 2 2 1? 1. Déterminer les v aleurspropres et les sous-espaces p ropresde la ma triceA.

La matriceAest-elle diagonalisable?

2. Expliciter la matrice Cassociée à l"endomorphisme?Arelativement à la base canonique de M 2(R). 3. Déterminer le rang de C, puis expliciter une base de Ker(?A). 4. Déterminer les v aleurspropres et les sous-espaces propres de ?A.

L"endomorphisme?Aest-il diagonalisable?2

Partie II : Etude des vecteurs propres de?Aassociés à une valeur propre non nulle Dans cette partie, on suppose queλest une valeur propre non nulle de?A. On note alorsBun vecteur propre de?Aassocié à la valeur propreλ. 1.

Rapp elerla dimension de Mn(R).

2.

Mon trerque, p ourtout en tiernaturel k, on a :

A(Bk) =λkBk.

On pourra procéder par récurrence.

3. En déduire qu"il existe un en tiernaturel dtel queBd= 0n. Partie III : Etude des vecteurs propres de?Aassociés à la valeur propre 0 Dans cette partie, on désigne parul"endomorphisme deRncanoniquement associé à la matrice

A. On note Ker(?A)le noyau de l"application?A.

1.

Mon trerque 0 est v aleurpropre de ?A.

2. Soit Bune matrice deMn(R). On notevl"endomorphisme deRncanoniquement associé àB.

Montrer l"équivalence :

B?Ker(?A)??u◦v=v◦u.

3. a) Mon trerque toute matrice de Mn(R)admet un polynôme annulateur non nul. Dans la suite de cette question, II désigne un polynôme annulateur non nul deAet degré minimal, on notedle degré de II. b) P ourtout p olynômePdeR[X], montrer qu"il existe un unique couple(Q,R)de polynômes deR[X]tel que

P=II.Q+Retdeg(R)< d.

c) En déduire que (In,A,...,Ad-1)est une base deR[A], puis montrer queR[A]?Ker(?A). d) Mon trerque si un"est pas une homothétie, alorsIm(?A)?=T, le sous-espaceTayant été défini dans le préliminaire. 4. Un cas d"égalité On suppose dans cette question que la matriceAest nilpotente d"ordren: A n= 0netAn-1?= 0n.3 On considère un vecteurxdeRntel queun-1(x)?= 0Rn, où0Rndésigne le vecteur nul deRn.

Et on pose, pour tout entierideJ1,nK:

e i=un-i(x). a) Mon trerque la famille (e1,e2,...,en)est une base deRn. b) Soit B?Ker(?A). On notevl"endomorphisme deRncanoniquement associé àB. Montrer qu"il existenréelsα1,...,αntels que v(x) =n i=1α iei, puis montrer que v=n? i=1α iun-i c) En déduire Ker (?A), puis la dimension de Ker(?A)dans ce cas. 5. Cas particulier où Ker (?A) =Mn(R)a)Mon trerque si uest une homothétie, alors Ker(?A) =Mn(R). b) i. Mon trerque uest une homothétie si, et seulement si, pour tout vecteurxdeRn, la famille(x,u(x))est liée.

On pourra considérer la base canonique deRn.

ii. Mon trerque si K er(?A) =Mn(R), alorsuest une homothétie. Pour tout vecteur non nulxdeRn, en notantHxun supplémentaire deVect(x)dans R n, on pourra considérer la projection surVect(x)parallèlement àHx. 6. Cas où uest diagonalisableOn suppose dans cette question que l"endomorphismeuest diagonalisable. kdeJ1,pK, on noteEu(λk)le sous-espace propre deuassocié à la valeur propreλk, etmkla dimension de cet espace propre. Pour tout entierkdeJ1,pK, on noteBkune base du sous-espace propreEu(λk). Et on désigne parBla famille obtenue en réunissant successivement les vecteurs des familles B

1,...,Bp.

a)

Justifier que Best une base deRn.4

b)Soien tBune matrice deMn(R), etvl"endomorphisme deRncanoniquement associé àB. Montrer queB?Ker(?A)si, et seulement si, pour tout entierkdeJ1,pK,Eu(λk)est stable parv. c) Soien tBune matrice deMn(R), etvl"endomorphisme deRncanoniquement associé àB. Montrer queBest un vecteur de Ker(?A)si, et seulement si, la matrice devdans la base

Ba une forme que l"on précisera.

d) En déduire la dimension de Ker (?A)en fonction dem1,m2,...,mp.

Partie IV : Etude de la diagonalisabilité de?A

Nous allons montrer dans cette partie l"équivalence :Aest diagonalisable si, et seulement si,?A est diagonalisable. 1. On supp osedans cette question que la matrice Aest diagonale : A=(

10...0

0 ..................0

0...0λn)

a) Exprimer, p ourtout (i,j)deJ1,nK2, la matriceAEi,j-Ei,jAen fonction de la matrice E i,jet des réelsλietλj. b)

En déduire que ?Aest diagonalisable.

2. On supp osedans cette question que la matrice Aest diagonalisable. Il existe ainsi une matrice inversiblePdeMn(R)et une matrice diagonale D=(

10...0

0 ..................0

0...0λn)

)))))deMn(R) telles que P -1AP=D. En considérant les matricesBi,jdéfinies pour tout couple d"entiers(i,j)deJ1,nKpar B i,j=PEi,jP-1, démontrer alors que?Aest diagonalisable.5

3.On supp osedans cette question que ?Aest diagonalisable en tant qu"endomorphisme de

M n(R). valeur propre de?Aassocié au vecteur proprePi,j. a) Dans cette question, on considère Acomme une matrice à coefficients complexes (A? Mn(R)? Mn(C))et?Acomme un endomorphisme deMn(C) (défini par?A:M? Mn(C)?→AM-MA). i. Justifier que toutes les v aleurspropres de ?Asont réelles. ii.

Soit z?C.

Montrer que sizest valeur propre deA, alorszest également valeur propre detA,où tAdésigne la transposée de la matriceA. iii.

Soit z?C.

Montrer que sizest valeur propre deA, alorszest également valeur propre deA. iv.

Soit z?C. On suppose quezest valeur propre deA.

Justifier l"existence de deux matrices-colonnes non nullesXetYdeMn,1(C)telles que

AX=zXettAY=zY.

En calculant?A(XtY),démontrer quez-zest une valeur propre de?A. v. En déduire que toutes les v aleurspropres de Asont réelles. On admet queAadmet au moins une valeur propre complexe. On considère alorsλune valeur propre réelle deA, et on noteXun vecteur propre deAassocié àλ. b) Démon trerque, p ourtout couple d"e ntiers(i,j)deJ1,nK, il existe un réelμi,j, que l"on exprimera en fonction deλet deλi,jtel que AP i,jX=μi,jPi,jX. c) On note Φl"application définie surMn(R)par : ?M? Mn(R),Φ(M) =MX.

Démontrer que l"applicationΦest surjective.

d) Déduire des questions précéden tesque la matrice Aest diagonalisable.6 Partie V : Comparaison des valeurs propres de A et de?Alorsquen= 2

On pourra ici utiliser les résultats montrés dans les parties précédentes en les référençant claire-

ment.

On suppose désormais quen= 2.

On noteul"endomorphisme deR2canoniquement associé à la matriceA. On suppose queun"est pas une homothétie et queuest diagonalisable. 1. Déterminer la dimension de Ker (?A), puis montrer que(I2/,A)est une base de Ker(?A). 2. Mon trerque ?Aest diagonalisable et que?Aadmet trois valeurs propres distinctes :0;λet -λ, oùλdésigne un réel non nul. Dans la suite, on noteBun vecteur propre de?Aassocié à la valeur propreλ, et on notev l"endomorphisme deR2canoniquement associé à la matriceB. 3. La matrice Best-elle inversible? Quelle est la trace deB? En explicitant la matriceB, vérifier queB2= 02. 4. Mon trerqu"il existe un v ecteurxdeR2tel que(x,v(x))est une base deR2. Vérifier que la matrice de l"endomorphismeudans la base(x,v(x))est triangulaire inférieure.

En déduire que les valeurs propres deusont :

Tr(A)-λ2

etTr(A) +λ2 .7

Correction

Corrigé :

Préliminaire

1.

On remarque que ?Ava bien deMn(R)dansMn(R).

SoientMetNdeux matrices deMn(R)etλun réel.

On a :

A(λM+N) =A(λM+N)-(λM+N)A=λAM+AN-(λMA+NA) =λ(AM-MA) + (AN-NA) =λ?A(M) +?A(N)

L"application?Aest donc linéaire.

On en conclut que?Aest un endomorphisme deMn(R).

On a :

Tr(λM+N) =n

i=1(λM+N)i,i=n i=1(λmi,i+ni,i) =λn i=1m i,i+n i=1n i,i =λTr(M) +Tr(N). L"applicationTrest donc linéaire et comme elle est à valeurs dansR,Trest bien une forme linéaire deMn(R). •On sait queIm(Tr)est un sous-espace vectoriel deR.

On remarque queTr(In) =n?= 0.8

D"où

Im(Tr)?={0}et doncdim(Im(Tr))≥1.

On en déduit queIm(Tr)est un sous-espace vectoriel deRde même dimension 1.

D"oùIm(Tr) =RetTrest surjective.RemarqueCeux qui ont fait le sujet de l"EDHEC 2005 sur la trace se souviennent que

l"on pouvait traiter cette question par d"autres méthodes : en procédant par double inclusion ou en revenant à l"expression de l"image à l"aide de la base deMnR. •D"après le théorème du rang, on a : dimKer(Tr) = dimMn(R)-dimIm(Tr) =n2-1. Par conséquent,T=Ker(Tr)est bien un hyperplan deTr. 3.

Soien tM= (mi,j)? Mn(R)etN= (ni,j)? Mn(R).

On pose

MN=C= (ci,j)etNM=D= (di,j).

Pour tout(i,j)?J1,nK2, on a :

c i,j=n k=1m i,knk,jetdi,j=n k=1n i,kmk,j.

Alors :

Tr(MN) =Tr(C) =n

i=1c i,i=n i=1n k=1m i,knk,i et :

Tr(NM) =n?

i=1n k=1n i,kmk,i=n? k=1n i=1m k,ini,k n? k ?=1n i ?=1m k?,i?ni?,k? n i=1n k=1m i,knk,ien posanti?=ketk?=i =Tr(MN) Supposons queMetNsont deux matrices semblables deMn(R).9

Il existe une matricePinversible deMn(R)telle que

P -1MP=N.

Alors :

Tr(N) =Tr(P-1(MP)) =Tr((MP).P-1) =Tr(M).

Deux matrices semblables ont donc la même trace. 4.

Soit M?Im(?A). Il existeN? Mn(R)telle queM=?A(N).

Par linéarité de la trace, et d"après la question précédente, on obtient :

Tr(M) =Tr(?A(N)) =Tr(AN-NA) =Tr(AN)-Tr(NA) = 0.

On en déduit queM?Ker(Tr) =T.

On a bien montré l"inclusion :Im(?A)? T.

Supposons qu"il existe une matriceBdeMn(R)telle que?A(B) =In.

On en déduit queIn?Im(?A), et doncIn? T.

OrTr(In) =n?= 0.Il y a donc contradiction.

Par conséquent,In??Im(?A) :il n"existe pas de matriceBdeMn(R)telle que?A(B) =In.

Partie I

1. Un p etitp ointmétho dologiques"imp ose!On a ici plusieurs méthodes possibles. La méthode la plus conforme à l"exercice consiste à chercher par le cal- cul les valeurs deλtelles queA-λI2ne soit pas inversible. Plus rapide, une méthode à la limite du programme consiste à utiliser le cours sur le déterminant d"une matrice carré d"ordre 2. Enfin, une dernière méthode n"est pas adaptée à l"énoncé mais est très intéressante : elle consiste à utiliser le fait que la matrice est symétrique puis à utiliser les propriétés de la trace... Voyons voir!Point méthodologique 1. 10

Première méthode :Soitλ?R.On a :

λest valeur propre deAsi, et seulement si,A-λI2n"est pas inversible si, et seulement si,det(A-λI2) = 0 si, et seulement si,(1-λ)2-4 = 0 si, et seulement si,1-λ= 2ou1-λ=-2 si, et seulement si,λ=-1ouλ= 3 La matriceAadmet deux valeurs propres distinctes : -1 et 3. CommeAest une matrice carrée d"ordre 2,Aest diagonalisable.

SoitX=?x

y? ? M 2(R).

On a :

AX=-X???x+ 2y=-x

2x+y=-y???x+y= 0

x+y= 0??X=x?1 -1?

On en déduit que

??1 -1?? est une base du sous-espace propreE-1deAassocié à la valeur propre -1. Et :

AX= 3X???x+ 2y= 3x

2x+y= 3y???-x+y= 0

x-y= 0??X=x?1 1?

On en déduit que

??1 1?? est une base du sous-espace propreE3deAassocié à la valeur propre 3. Deuxième méthode :Aest symétrique réelle donc diagonalisable et donc semblable à une matrice diagonaleD. OrAn"est pas une matrice scalaire donc nécessairementAadmet

2 valeurs propres distinctes.

De plus, on remarque classiquement que :

A ?1 1? =?3 3? = 3?1 1?11

3est donc valeur propre deAet comme son sous-espace propre associéE3est nécessairement

de dimension1, on a comme précédemment??1 1?? est une base du sous-espace propre E

3deAassocié à la valeur propre 3. En notantλla valeur propre restante, on utilise

astucieusement une propriété de la trace qui nous dit que :

Tr(A) =Tr(D) = 2 = 3 +λ

Ce qui donne directement :

λ=-1

On trouve alors par le calcul le sous-espace propre restant... 2.

On a :

A(E1,1) =?1 2

2 1?? 1 0 0 0? -?1 0 0 0?? 1 2 2 1? =?1 0 2 0? -?1 2 0 0?quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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