CCP 2011. Option MP. Mathématiques 2. EXERCICE Commutant d
EXERCICE. Commutant d'une matrice. 1. C(A) est clairement stable par addition et multiplication externe donc constitue un sous-espace de Mn(R). ?.
Exercice : Commutant dune matrice
13 avr. 2020 Exercice : Commutant d'une matrice. ET-TAHRI FOUAD. Ecole Royale de l'Air Marrakech. Koutoubia Prépas Marrakech.
Fiche aide-mémoire 7 : Commutant dune matrice. 1 Des remarques
Définition : Soit A une matrice carrée d'ordre n. On appelle commutant de A l'ensemble des matrices M qui commutent avec A c'est-à-dire telles que AM =.
Commutant d’une matrice
4. Soit M une matrice commutant avec toutes les matrices orthogonales de Mn(IK). On veut l`a encore montrer que M est une matrice
Devoir surveillé du 23/01/15
Partie III : Étude du commutant. Pour toute matrice B ? Mn(R) on note C(B) l'ensemble des matrices qui commutent avec B (appelé.
calcul-matriciel.pdf
(b) Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de GLn(K). Exercice 10 [ 02689 ] [Correction]. Soient n ? N? ?1
Mathématiques 2 TSI
Page 2/5. I Commutant d'une matrice. I.A –. Propriétés générales. Soit une matrice de ? (?) et une matrice inversible de ? (?).
Feuille dexercices n°7 Équation matricielle Commutant dune matrice
Montrer que toute matrice non nulle M appartenant à ? est inversible et que M?1 ? ?. Que peut-on en déduire pour ? ? Exercice 8. Commutant d'une matrice.
Séance de soutien PCSI2 numéro 7 : Calcul matriciel - Correction
Exercice 3 : Que peut-on dire d'une matrice qui vérifie Tr(AAT )=0? triangulaire supérieure commutant avec sa transposée. Nous avons.
Petit bestiaire dexo pour les agregs
conviennent. Á Pour n > 3 il suffit de border les matrices précédentes par des zéros. K. Exercice 6 (Autour du commutant ) [10]-(1998).
Exercice : Commutant d'une matrice
ET-TAHRI FOUAD Exercice : Commutant d’une matrice Correction de la question 1 Montrons que C(A) est une sous alg ebre de M n(K) Soit M;N 2C(A) et 2K Il est clair
Feuille d'exercices n 11 : Matrices - normale sup
(a) Déterminer les matrices qui commutent avec la matrice Dobtenue à la question 2 (b) Montrer que en posant N= P 1MP Mcommute avec Asi et seulement si Ncommute avec D (c) En déduire les matrices commutant avec A(on essaiera de les exprimer comme combinai-sons linéaires de certaines matrices xées quelque chose du genre M= aM 1 +bM 2 +:::
MATRICES - Unisciel
Partie C : Commutant de la matrice A On appelle commutant d’une matrice A l’ensemble des matrices M qui commutent avec la matrice A : C(A) = {M ?M3 / AM = MA} 1) Démontrer que si M et M ' sont deux éléments de C(A) alors M + M ' et MM ' appartiennent aussi à C(A) 2) Soit M une matrice carrée d’ordre 3 et Q = P?1MP
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Matrices Pascal Lainé 1 Matrices Exercice 1 Pour une matrice à une ligne et une colonne de ?1(?)on posera (????)=???? Soit =( 1 2 3)??31(?) soient ????= 1 3 (6 ?2 2 ?2 5 0 2 0 7)et ????=1 3 (2 ?1 2 2 2 ?1 ?1 2 2) 1 Calculer ???? ???????? en déduire que ???? est inversible et donner ?????1 2
Qu'est-ce que le commutant d'une matrice ?
Le commutant d’une matrice est l’ensemble des matrices de même taille qui commutent avec : C’est un sous-espace vectoriel de ; il s’agit d’ailleurs du noyau de l’endomorphisme de . Les exercices portant sur le commutant demandent souvent de le déterminer explicitement pour une matrice précise, souvent diagonalisable.
Comment calculer le commutant d’une matrice?
ET-TAHRI FOUAD Exercice : Commutant d’une matrice Enonce Soit n 2 et A 2M n(K). On appelle commuatant de A, note C(A) l’ensemble des matrices de M n(K) qui commutent avec A : C(A) = fM 2M
Comment déterminer la forme d'une matrice ?
Pour déterminer la forme d'une matrice on peut alors utiliser shape: Soit une matrice input_x de dimension 1 ou 2. Transposer la matrice input_x, si la matrice input_x est de dimension 2 et que le nombre de colonnes > nombre de lignes:
Comment calculer l'inverse d'une matrice ?
Montrer que I Aest inversible et que son inverse s'écrit sous la forme I+A+A2+ +Ak. En déduire l'inverse de la matrice A= 0 @ 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 Aet celui de la matrice B= 0 B B B B @ 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 C C C C A .
PCSI5Lycee Saint Louis
Devoir surveille du 23/01/15DS5
La calculatrice est interdite. Duree: 3h
La qualite de la redaction, la clarte et la precision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l'appreciation des copies. Les resultats doivent ^etre encadres.Exercice 1
SoitEun ensemble ni de cardinaln2N. CalculerX
X2P(E)5
Card(X):Exercice 2
Soitn2.
1.Mon trerque :
pgcd(28n32n+ 13;24n3n) =pgcd(24n3n;13): 2.Mon trerque 13 divise 2
4n3n. 3.En d eduirela v aleurd e:
pgcd(28n32n+ 13;24n3n):Exercice 3SoitEun ensemble ni de cardinaln2N. Soita2E.
Determiner le nombre de couples (X;Y)2 P(E)2tels queXY[ fag.Exercice 4 On va repondre au probleme suivant :Combien y-a-t-il de facons de monter un escalier denmarches en faisant des pas qui montent de1ou2marches de facon aleatoire. On appelleTnce nombre. On convient queT0= 1. 1.Etudier les casn= 1;2;3;4.
On se propose d'etudier le cas general de deux manieres dierentes. 2.On note ile nombre de pas de 2 marches.
(a)Expliquer p ourquoi0 i bn2
c,b cdesignant la partie entiere. (b)ietant xe. Combien y-a-t-il de pas a une marche ? combien y-a-t-il de pas en tout ? (c) Com bieny-a-t-il de fa conde mon terl'escalier de nmarches sachant que l'on faitipas de2 marches ?
(d)Mon trerque p ourtout n2N,Tn=b
n2 cX i=0 ni i 3. (a) En consid erantla nature d upremier pas, mon trer:8n2N; Tn+2=Tn+1+Tn:
(b)Calculer Tnen fonction den.1
PCSI5Lycee Saint Louis
Exercice 5
Tout au long de ce probleme,Adesigne la matrice carree d'ordre 3 a coecients reels denir par : A=0 @7 08 4 1 44 0 51
A Partie I : Une premiere methode de calcul des puissances deM.On pose :
J=14 (A+ 3I3): 1.Calculer J2. En deduireJnpour toutn2N.
2. Soit nun entier naturel non nul. Determiner une expression matricielle deAnen fonction den, I 3etJ. 3. P ourtout nappartenant aN, en deduire une ecriture matricielle deAnne faisant intervenir que l'entiern. Partie II : Une seconde methode de calcul des puissances deA. 1.On p ose:
P=0 @2 0 1 1 1 0 1 011 AMontrer quePest inversible et determinerP1.
2.Mon trerque P1AP=DavecD=0
@3 0 0 0 1 00 0 11
A 3. Calculer, p ourtout n2N,Dn. En deduire une ecriture matricielle deAnne faisant intervenir que l'entiern.Partie III :
Etude du commutant.
Pour toute matriceB2 Mn(R), on noteC(B) l'ensemble des matrices qui commutent avecB(appele le commutant de la matriceB. Autrement dit :C(B) =fM2 Mn(R)jBM=MBg
1. Soit B2 Mn(R). On desire prouver quelques proprietes surC(B). (a)Donner deux elements evidentsde C(B).
(b) Mon trerq ue,si MetM0sont dansC(B), et,des reels, alorsM+M0est encore un element deC(B). On dit que l'ensembleC(B) est stable par combinaison lineaire. (c) Mon trerque, si MetM0sont dansC(B), alors le produitMM0est encore un element de C(B). On dit que l'ensembleC(B) est stable par produit matriciel. (d) D eduiredes questions pr ecedentesque tout p olyn^omeen B, c'est a dire toute matrice de la forme kX i=0a iBiaveck0 eta0;:::;ak2R, est un element deC(B). (e) Mon trerque, si Mest dansC(B), etMinversible, alors son inverseM1est encore un element deC(B). On dit que l'ensembleC(B) est stable par passage a l'inverse. (f)Comparer
tBBetBtBpourB=1 2 3 4L'ensembleC(B) est-il stable par transposition ?
Quelle hypothese peut-on faire surBpour que cette propriete soit satisfaite ? 2PCSI5Lycee Saint Louis
2. Soit Dune matrice diagonale deMn(R) dont les coecients diagonauxisont supposes distincts deux a deux, et soitM2C(D). (a) In terpreterles pro duitsDMetMDen termes d'operations elementaires sur les lignes et les colonnes de la matriceM. (b) Mon trerque Mest necessairement une matrice diagonale. (c) Conclure que C(D) est l'ensemble des matrices diagonales. 3. On s'in teressed esormaisau comm utantde la matrice Adenie au tout debut du probleme et on utilisera les notations de la partie II. (a) Prouv erque p ourtoute matrice M2 M3(R), on a l'equivalence suivante :M2C(A)()P1MP2C(D)
(b) Mon trerque les elementsde C(D) sont exactement les matrices de la forme0 @a0 0 0b c 0d e1 A ou a,b,c,detesont des reels. (c) En d eduireC(A) comme combinaison lineaire de cinq matrices que l'on determinera.Exercice 6 1.Etude def.
On considere la fonctionf:x7!1x bxc.
(a)D eterminerl'ensem blede d enitionde f.
Montrer quefest periodique de periode 1.
(b) Etudierf: on donnera en particulier une expression simpliee defsur tout intervalle de la forme ]k;k+ 1[ aveckentier puis on precisera ses variations, son ensemble image et on tracera son graphe dans un repere orthonorme. (c) D emontrerque p ourtout nom brexirrationnel (resp. rationnel non entier)f(x) est irra- tionnel (resp. rationnel).2.Une suite recurrente.
On posex02Rtel quex0>0 et on s'interesse lorsque cela est possible a la suite (xn)n2Ndenie par la relation de recurrence8n2N; xn+1=f(xn):
(a)On supp osedans cette question que x02RnQ.
Demontrer que pour tout entier natureln,xnest bien deni. (b) On supp osedans cette question que x02Qet que pour tout entier natureln,xnest bien deni. On considereu0etv0deux entiers (u02N,v02N) tels quex0=u0v 0. i. D emontrerque p ourtout en tiernatu reln,xn2Qet que pourn1,xn>1. ii. On d enitpar r ecurrencedeux suites d'en tiers( un)n2Net (vn)n2Nen posant, pour tout n0,un+1=vnetvn+1egal au reste de la division euclidienne deunparvnlorsque v nest non nul et 0 sinon. Demontrer que l'on a, pour tout entier natureln,vn>0 etxn=unv n. iii. D emontrerque la suite ( vn) est strictement decroissante.L'hypothese de 3.b est-elle possible?
Que peut-on en conclure?
3PCSI5Lycee Saint Louis
(c) Enoncer une condition necessaire et susante surx0pour que, pour tout entier natureln, x nsoit bien deni.3.Le cas irrationnel.
On xe dans toute cette partiex02RnQtel quex0>0. On considere la suite (xn)n2Ndenie dans la partie precedente. (a)On p osedans cette question x0=p2.
i.Calculer x0,x1etx2.
ii.Mon trerque ( xn) est stationnaire.
(b)On p osedans cette question x0=p3.
i.Calculer x0,x1,x2,x3etx4.
ii. Mon trerque ( x2n) et (x2n+1) sont stationnaires.4quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36[PDF] matrice scalaire
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