[PDF] Feuille dexercices n°7 Équation matricielle Commutant dune matrice

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S a i n t e - M a r i eFeuille d"exercices n°7

H y p o k h â g n e B LMatrices et matrices d"applications linéaires

Exercice 1

?et?sont des matrices de taille4×5(4lignes et5colonnes);?,?,?sont des matrices respectivement

5×2,4×2,5×4. Parmi les expressions suivantes, dire celles qui ont un sens et indiquer alors le format de la

matrice obtenue :

Exercice 2

Soient les matrices?=(0 00 1)

et?=(0 01 0) Calculer?2,?2,??,??,?2-?2,(?+?)(?-?),(?+?)2,?2+ 2??+?2. Vos réflexions?

Exercice 3

Effectuer le produit des matrices suivantes :

(2 13 2)

×(1-1

1 1) ;(1 2 03 1 4) -1-1 0 1 4-1

2 1 2⎞⎠

1 1 1⎞⎠

1? ? 1? ?

1? ?⎞⎠

Exercice 4Équation matricielle

On se propose de résoudre l"équation matricielle d"inconnue?: (3 1 -2 2) ?-?(1 42 0) =(1 0 -2-3)

Montrer que le format de la matrice?est entièrement déterminé. Montrer alors que l"équation seramène à un

système linéaire que l"on résoudra.

Exercice 5

Trouver toutes les matrices?telles que??=?, avec?=(2 12 1) . (quelle doit être la taille de??)

Exercice 6

Montrer que, dansℳ2(ℝ), les matrices de la forme(?2?+ 8? ?-?3?+?) (avec(?,?)∈ℝ2) constituent un sev deℳ2(ℝ).

En déterminer la dimension ainsi qu"une base.

Exercice 7

Soitℳle sous-espace des matrices réelle de taille2×2engendré par{?,?}où?=(1 00 1) et?=(0 1 -5 2)

1.Montrer que?2∈ ℳ. En déduire queℳest stable pour le produit matriciel.

2.Montrer que toute matricenon nulle?appartenant àℳest inversible et que?-1∈ ℳ.

Que peut-on en déduire pourℳ?

Exercice 8Commutant d"une matrice

1.On pose?=(0 11 1)

et on note?={?∈ ℳ2,2(ℝ);??=??}. a.Montrer que?est un sev de ... b.Déterminer une CNS (condition nécessaire et suffisante) pour que?=(? ? appartienne à?. c.Donner la dimension de?.

2.Même question avec?=(1 2

-1-1) puis avec?=⎛⎝ 1 0 0 0 1 0

3 1 2⎞⎠

Exercice 9

On considère la matrice deℳ3(ℝ):?=⎛⎝ 2 5 3 1 3 2

1 2 2⎞⎠

1.Calculer?3-7?2+ 4?-?3,?3étant la matrice identité d"ordre 3.

2.Exprimer?4en fonction des seules matrices?2,?et?3.

3.Montrer que?est inversible et donner son inverse en fonction de?,?et?2.

S a i n t e - M a r i eFeuille d"exercices n°7 (suite) H y p o k h â g n e B LMatrices et matrices d"applications linéaires

Exercice 10

1.Pour?∈ℕ∗, calculer(0 10 0)

2.Soit?=(2 10 2)

. Calculer??pour?∈ℕ∗.

Exercice 11Matrices en damier

Soit?= (???)∈ ℳ?(ℝ). On dit que?esten damiersi??,?= 0pour∣?-?∣impair (faire un dessin). On note

?l"ensemble des matrices?×?en damier.

1.Montrer que?est une sous-algèbre deℳ?(ℝ):?est un sev qui est de plus stable par produit et par

passage à l"inverse (sauf pour0bien sûr). On admettra le passage à l"inverse.

2.Quelle est sa dimension (en tant qu"e-v)?

Exercice 12Opérations par blocs

1.Soient?1∈ ℳ?,?1(ℝ),?2∈ ℳ?,?2(ℝ),?1∈ ℳ?1,?(ℝ),?2∈ ℳ?2,?(ℝ).

On pose?=(?1?2)∈ ℳ?,?1+?2(ℝ)et?=(?1 2) ?1+?2,?(ℝ). Montrer que??=?1?1+?2?2.

2.Soit?=(? ?

0?) où?,?,0,?sont des matrices de tailles?×?,?×?,?×?,?×?(matrice triangulaire

par blocs). Montrer que?est inversible si et seulement si?et?le sont. Le cas échéant, donner?-1

sous la même forme.

3.En déduire une démonstration de la propriété :L"inverse d"une matrice triangulaire est triangulaire.

Exercice 13Conjugaison de matrices

Soit?∈???(ℝ). Montrer que l"application??:ℳ?(ℝ)→ ℳ?(ℝ) ??→?-1??est un isomorphisme d"algèbre. C"est à dire que??est un isomorphisme d"espace vectoriel et que de plus ∀(?,?)∈ ℳ?(ℝ)2on a?(??) =?(?)×?(?).

Exercice 14

On considère la matrice suivante :

?=⎛⎜⎜⎝0? ? ?

0 0? ?

0 0 0?

0 0 0 0⎞⎟⎟⎠

Calculer?2,?3,?4,?5.

Exercice 15

1.Soit?=⎛⎝

1 1 0 0 1 1

0 0 1⎞⎠

et soit?=?-?3.

a.Calculer?2,?3en déduire une formule de récurrence que l"on démontrera pour??, pour tout entier

b.Développer(?+?3)?par la formule du binome et simplifier. c.En déduire??Pour tout entier?.

2.Soit?=⎛⎜⎜⎝1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1⎞⎟⎟⎠

.Pour tout entier?,calculer??en utilisant?-?4.

Exercice 16

Calculer le rang des matrices suivantes.

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Exercice 17

Soit?une matrice carrée d"ordre?; on suppose que?2est une combinaison linéaire de?et??:?2=??+???.

1.Montrer que??est également une combinaison linéaire de?et??pour tout?∈ℕ∗.

2.Montrer que si?est non nul, alors?est inversible et que?-1est encore combinaison linéaire de?et??.

3.Application 1 : soit?=??-??,où??est la matrice dont tous les coefficients sont égaux à1, avec?≥1.

Montrer que?2= (?-2)?+ (?-1)??; en déduire que?est inversible, et déterminer son inverse.

4.Application 2 : montrer que si?= 2,?2est toujours une combinaison linéaire de?et?2,et retrouver la

formule donnant?-1en utilisant 2.

Exercice 18

Déterminer deux éléments?et?de?2(ℝ)tels que :??= 0et??∕= 0.

Exercice 19

Soit?∈?2(ℝ).On nomme commutant de?et on note?(?)l"ensemble des?∈?2(ℝ)telles que??=??.

1.Montrer que?(?)et un sous espace vectoriel de?2(ℝ).

2.Montrer que pour tout?∈ℕ,??∈?(?).

Exercice 20

Calculer l"inverse de?=⎛⎝

1 2 1 1 2-1 -2-2-1⎞⎠ . Idem pour?=⎛⎝ 1 1 1 0 1 1

0 0 1⎞⎠

Exercice 21

Calculer l"inverse de :

⎝1... ...1

0 1......

.0 1...

0...0 1⎞⎟⎟⎟⎟⎠

,⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2... ? 0 1 2 .0 1 2

0...0 1⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Exercice 22

Soient(??)?∈ℕet(??)?∈ℕdeux suites réelles, vérifiant la relation de récurrence linéaire suivante :

??+1=-9??-18?? ?+1= 6??+12??

avec?0=-137et?0= 18. On se propose dans ce problème de trouver les termes généraux de ces deux suites.

1.Montrer qu"il existe une matrice?∈?2(ℝ)telle que la relation de récurrence linéaire ci-dessus soit

équivalente à la relation??+1=???, où??=(??

2.Trouver une expression de??en fonction de?et de?0.

3.Trouver le noyau de?, et en donner une base?1. Calculer le rang de?.

4.Montrer que l"ensemble des vecteurs?∈ℝ2tels que??= 3?est un sous-espace vectoriel deℝ2. Quelle

est sa dimension? En donner une base, qu"on notera?2.

5.Montrer que la réunion?1∪?2forme une base?deℝ2. Soit?la matrice formée des composantes des

vecteurs de?relativement à la base canonique deℝ2. Montrer que?est inversible, et que le produit

-1??est une matrice diagonale?qu"on calculera.

6.Montrer que??=????-1. Calculer??, et en déduire??, pour tout?∈ℕ.

7.Donner les termes généraux??et??.

Exercice 23

Soient?un espace vectoriel de dimension?,?une application linéaire de?dans lui-même et?un élément de

?tel que la famille (?(?),...,??(?)) soit libre.

1.Montrer que la famille?,?(?),...,??-1(?)est une base de?. En déduire que?est un isomorphisme.

2.On suppose maintenant que??(?) =?. Déterminer la matrice de?dans la base(?,?(?),...,??-1(?)).

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Exercice 24

Soitℎl"homomorphisme deℝ3dansℝ2défini par rapport à deux bases(?1,?2,?3)et(?1,?2)par la matrice

?=(2-1 1

3 2-3)

1.On prend dansℝ3la nouvelle base :

1=?2+?3, ?′2=?3+?1, ?′3=?1+?2.

Quelle est la nouvelle matrice?1deℎ?

2.On choisit pour base deℝ2les vecteurs :

′1=1

2(?1+?2), ?′2=12(?1-?2)

en conservant la base(?′1,?′2,?′3)deℝ3. Quelle est la nouvelle matrice?2deℎ?

Exercice 25

Soitℝ[?]l"espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Soit?∈ℕfixé,?≥1, on noteℝ?[?], ensemble

des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à?. C"est un sous-espace vectoriel deℝ[?]et la

famille(1,?,...,??)est une base deℝ?[?].

1.Soient?,?etℎles applications deℝ[?]dans lui-même définies par :

ℎ(?(?)) = (?(?))2. Montrer que les applications?et?sont linéaires, mais queℎne l"est pas.

2.On désigne par??et??les restrictions de?et de?àℝ?[?]. Montrer que l"image de??est incluse dans

?[?]et celle de??est incluse dansℝ?+1[?]. Déterminer la matrice de??dans la base(1,?,...,??)de

?[?]. Déterminer la matrice de??de la base(1,?,...,??)dans la base(1,?,...,??+1). Calculer les dimensions respectives des images de??et de??.

3.D"après ce qui précède,?et?sont-elles injectives? Surjectives? Déterminer leurs noyaux respectifs, et

leur dimensions. Déterminer l"image de?, puis de?.

Exercice 26

Soient?un espace vectoriel de dimension3et?une application linéaire de?dans?telle que?2= 0et?∕= 0.

Posons?=rg(?).

2.Soit?1∈?tel que?(?1)∕= 0. Posons?2=?(?1). Montrer qu"il existe?3∈Ker(?)tel que la famille

{?2,?3}soit libre. Montrer que{?1,?2,?3}est une base de?.

3.Déterminer la matrice de?dans la base{?1,?2,?3}.

Exercice 27

Soient?un espace vectoriel et?une application linéaire de?dans lui-même telle que?2=?.

1.Montrer que?=Ker(?)⊕Im(?).

2.Supposons que?est de dimension finie?. Posons?=dim(Ker(?)). Montrer qu"il existe une base

ℬ={?1,...,??}de?telle que :?(?1) =...=?(??) = 0et, pour tout? > ?,?(??) =??. Déterminer la matrice de?dans la baseℬ.

Exercice 28

Soit(?1,?2,?3)une base de l"espace?=ℝ3.??désigne l"application identique de?. On considère l"application

linéaire?de?dans?telle que : ?(?1) = 2?2+ 3?3, ?(?2) = 2?1-5?2-8?3, ?(?3) =-?1+ 4?2+ 6?3.

1.Étudier le sous-espaceker(?-??): dimension, base.

2.Étudier le sous-espaceker(?2+??): dimension, base.

3.Montrer que la réunion des bases précédentes constitue une base de?. Quelle est la matrice de?dans

cette nouvelle base? et celle de?2?quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36

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