T. D. n 10 Correction de Régression linéaire multiple PDF

Régression linéaire

Exercice 1.10 (Régression simple) Cet exercice est corrigé en annexe sujet de décembre 2010. Exercice 1.11 (Forces de frottement et vitesse) Cet exercice

Corrections des exercices

En conclusion effectuer une régression multiple sur des variables orthogonales revient à effectuer p régressions simples. Exercice 2.8 (Centrage

Modèles de régression linéaire

Apr 1 2010 Exercice 6 : Modèle de régression linéaire simple sans constante. On ... sujet d'examen

Modèle de régression linéaire multiple

corrigé. Page 17. Econométrie. Pr. Moad El kharrim. 3. Les tests statistiques. 3.1 Exercice 3: Tests statistiques sur les coefficients et la variance de l ...

Exercices : Mod`ele de régression linéaire simple et multiple

Quelle est la variable explicative ? (b) Donner les estimations des coefficients de la régression et préciser leur interprétation. (c) Donner l'équation de la

T. D. n 7 Correction de Régression linéaire multiple

Exercice 1 Dans cet exercice nous n'utiliserons que le logiciel R pour faire les calculs des valeurs critiques des quantiles de Fisher. Question 1. La somme

Corrigé - Série 3 Régression linéaire simple Exercice 1 - Densité

Corrigé - Série 3. Régression linéaire simple. Exercice 1 - Densité européenne a) y = 00001x + 1

Exercices sur le modèle de régression linéaire simple

Exercices sur le modèle de régression linéaire simple. Exercice 1. Le tableau ci-dessous représente l'évolution du revenu disponible brut et de la

Série Corrigée N°2 Modèle de Régression Linéaire Multiple

Jun 4 2015 fois plus élevé que celui des précipitations. Énoncé de l'Exercice 2 :(ISG SP2008). On considère le modèle de régression multiple : ...

T. D. n 10 Correction de Régression linéaire multiple

Exercice 1. Dans cet exercice nous n'utiliserons que le logiciel R pour faire les calculs des valeurs critiques des quantiles de Fisher. Question 1

Régression linéaire

Figure 1.11 – Droites de régression et points aberrants. Exercice 1.6 (La hauteur des eucalyptus) Cet exercice est corrigé en annexe (décembre 2009).

Série Corrigée N°2 Modèle de Régression Linéaire Multiple

4 juin 2015 fois plus élevé que celui des précipitations. Énoncé de l'Exercice 2 :(ISG SP2008). On considère le modèle de régression multiple : ...

Modèle de régression linéaire multiple

Le meilleur modèle est celui qui a le S le plus petit. Page 16. Econométrie. Pr. Moad El kharrim. Exercice 1:.

TD de régression linéaire multiple

Donner une estimation de ?2 la variance de ?. 1. Page 2. Exercice 3 : Production industrielle. On étudie l'influence

Corrigé - Série 3 Régression linéaire simple Exercice 1 - Densité

STT-2902. Automne 2012. Emmanuelle Reny-Nolin. Corrigé - Série 3. Régression linéaire simple. Exercice 1 - Densité européenne a) y = 00001x + 1

Corrections des exercices

Exercice 1.3 (Variance des estimateurs) Exercice 1.7 (Estimateur de la variance du bruit) ... En conclusion effectuer une régression multiple sur.

T. P. n 6 Correction de Régression linéaire multiple

Exercice 1 Dans cet exercice nous n'utiliserons que le logiciel R pour faire les calculs des valeurs critiques des quantiles de Fisher. Question 1. La somme

Modèles de régression linéaire

1 avr. 2010 Exercices. Déterminer les valeurs des estimateurs des moindres carrés ordinaires des cœfficients de régression de l'estimateur sans biais ...

T. D. n 2 Régression linéaire multiple

Les exercices 12

Frédéric Bertrand4ème année - ESIEA - 2009/2010T. D. n o10

Correction de Régression linéairemultiple

Exercice 1.

Dans cet exercice, nous n"utiliserons que le logiciel Rpour faire les calculs des valeurs critiques des quantiles de Fisher. Question 1.La somme des carrés dûe à la régression pour l"ensemble des trois variables est égale à :

981;326 + 190;232 + 129;431 = 1300;989:

Nous pouvons également calculer la somme ainsi :

1743;281442;292 = 1300;989:

Question 2.La proportion de la variation dans le niveau d"anxiété est égale à : R

2=SCregSC

tot=1300;9891743;281= 0;746; ou encore74;60%. Question 3. Pour répondre à cette question, il faudrait s"assurer que les trois hypothèses du modèle sont vérifiées. Malheureusement nous ne pourrons pas le faire ici puisque nous ne connaissons pas les valeurs des observations. Donc nous allons supposer que les trois hypothèses sont vérifiées mais dans la pratique il faudrait les vérifier ABSOLUMENT. Pour conclure que dans l"ensemble les trois variables ont un effet significatif sur le niveau d"anxiété, il faut faireun test de Fisher. Le modèle est :

Y=0+1X1+2X2+3X3+";

où"est la variable résiduelle sur laquelle les trois hypothèses sont faites.

L"hypothèse nulle :

0:1=2=3= 0

contre l"hypothèse alternative : H

1:9j= 1;2;ou3; j6= 0:

Calculons la statistique du test de Fisher observée qui est égale à : F obs=SCreg=ddlSC res=ddl=1300;989=3442;292=(2231 = 18)'17;649: Le quantile de la loi de Fisher critique lu dans la table des quantiles de la loi de

Fisher à95%est égal à :

F c;3;18= 3;159908: La statistique du test de Fisher observée est plus grande que le quantile de la loi de Fisher critique, à95%.Donc nous sommes dans la zone de rejet1

Frédéric Bertrand4ème année - ESIEA - 2009/2010de l"hypothèse nulleH0. Donc nous décidons de refuser l"hypothèse nulleH0et par

conséquent d"accepter l"hypothèse alternativeH1, c"est-à-dire :

9j= 1;2;ou3; j6= 0:

Question 4.Source de variationSomme des carrésddl

Régression due àX1981;3261

Résiduelle761;95520

Totale1743;28121

Question 5. Même remarque qu"à la question 3 de cet exercice. a) Le modèle est :

Y=0+1X1+":

L"hypothèse nulle

0:1= 0

contre l"hypothèse alternative H

1:16= 0:

Calculons la statistique du test de Fisher observée qui est égale à : F obs=SCreg=ddlSC res=ddl=981;326=1761;955=(2211 = 20)= 25;758: Le quantile de la loi de Fisher critique lu dans la table des quantiles de la loi de

Fisher à95%est égal à :

F c;1;20= 4;351244: La statistique du test de Fisher observée est plus grande que le quantile de la loi de Fisher critique.Donc nous sommes dans la zone de rejet de l"hypothèse nulleH0. Donc nous décidons de refuser l"hypothèse nulleH0et par conséquent d"accepter l"hypothèse alternativeH1, c"est-à-dire :

16= 0:

b) Le modèle est :

Y=0+1X1+2X2+":

L"hypothèse nulle

0:2= 0

contre l"hypothèse alternative H

1:26= 0:

Calculons la statistique du test de Fisher observée qui est égale à : F obs=SCreg=ddlSC res=ddl=190;232=1571;723=(2221 = 19)= 6;332: Le quantile de la loi de Fisher critique lu dans la table des quantiles de la loi de

Fisher à95%est égal à :

F c;1;19= 4;38075:2

Frédéric Bertrand4ème année - ESIEA - 2009/2010La statistique du test de Fisher observée est plus grande que le quantile de

la loi de Fisher critique.Donc nous sommes dans la zone de rejet de l"hypothèse nulleH0. Donc nous décidons de refuser l"hypothèse nulleH0et par conséquent d"accepter l"hypothèse alternativeH1, c"est-à-dire :

26= 0:

c) Le modèle est :

Y=0+1X1+2X2+3X3+":

L"hypothèse nulle

0:3= 0

contre l"hypothèse alternative H

1:36= 0:

Calculons la statistique du test de Fisher observée qui est égale à : F obs=SCreg=ddlSC res=ddl=129;431=1442;292=(2231 = 18)'5;267: Le quantile de la loi de Fisher critique lu dans la table des quantiles de la loi de

Fisher à95%est égal à :

F c;1;18= 4;413873: La statistique du test de Fisher observée est plus grande que le quantile de la loi de Fisher critique.Donc nous sommes dans la zone de rejet de l"hypothèse nulleH0. Donc nous décidons de refuser l"hypothèse nulleH0et par conséquent d"accepter l"hypothèse alternativeH1, c"est-à-dire :

36= 0:

Question 6.La valeur du coefficientR2associée à l"estimation du modèle spécifié en 5.a) est égale à : R

2=SCregSC

tot=981;3261743;281= 0;563: La valeur du coefficientR2associée à l"estimation du modèle spécifié en 5.b) est

égale à :

2=SCregSC

tot=1171;5581743;281= 0;672: La valeur du coefficientR2associée à l"estimation du modèle spécifié en 5.c) est

égale à :

2=SCregSC

tot=1300;9891743;281= 0;746: Question 7.Le modèle qui semble le mieux adapté est le modèle 5.c) car ce modèle a le plus grand coefficient de déterminationR2. Remarque :Pour l"instant à cette étape, le cours de choix du modèle n"a pas été fait, donc nous ne calculons pas leR2adjusté pour voir quel serait le modèle le mieux approprié. Et si nous appliquions le cours du choix de modèle, nous calculerions le3

Frédéric Bertrand4ème année - ESIEA - 2009/2010coefficientR2ajusté du second modèle, c"est-à-dire celui en 5.b) et le coefficientR2

ajusté du troisième modèle, c"est-à-dire celui en 5.c) 4

Frédéric Bertrand4ème année - ESIEA - 2009/2010Exercice 2.A vantde lire le corrigé d ecet exercice, il serait préférable de

vérifier toutes les hypothèses du modèle, à savoir les trois hypothèses du modèles linéaire gaussien. Question 1.Quel pourcentage de variation dans la résistance à la rupture est ex- pliquée par chacune des régressions? Pour la régression de la résistance à la rupture (Y) en fonction de l"épaisseur (X1) : R 2Y;X

1=SCregSC

tot=980;641420;67= 0;6903: Pour la régression de la résistance à la rupture (Y) en fonction de la densité (X2) : R 2Y;X

2=SCregSC

tot=643;571420;67= 0;453: Pour la régression de la résistance à la rupture (Y) en fonction de l"épaisseur (X1) et de la densité (X2) : R 2Y;X

1;X2=SCregSC

tot=1204;861420;67= 0;8481:

Question 2.Pour chaque régression, le tableau est le suivant :Carré moyen résiduelÉcart-type des résidus

Régression avecX144;0036;633Régression avecX277;7108;815Régression avecX1;X223;9794;897Question 3.Le tableau d"analyse de variance pour la régression comportant les

deux variables explicatives est le suivant :Source deddlSomme desCarrés moyensF obsvariationcarrés

Régression(X1;X2)21204;86602;4325;123Résiduelle9215;8123;979Totale111420;67Question 4.Tester au seuil de signification= 5%, l"hypothèse nulleH0:1=

2= 0contre l"hypothèse alternativeH1: au moins un des6= 0. Quelle est votre

conclusion? C"est pour cette question qu"il est important de regarder si les hypo- thèses sont vérifiées. > model12<-lm(YX1+X2,data=Exo2TD8) > shapiro.test(residuals(model12))

Shapiro-Wilk normality test

data: residuals(model12)

W = 0.9408, p-value = 0.50825

Frédéric Bertrand4ème année - ESIEA - 2009/2010Calculons la statistique du test de Fisher observée qui est égale à :

F obs=SCreg=ddlSC res=ddl=1204;86=2215;81=(1221 = 9)'25;123: Le quantile de loi de Fisher critique lu dans la table des quantiles de la loi de

Fisher à95%est égal à :

F c;2;9= 4;256495: La statistique du test de Fisher observée est plus grande que le quantile de loi de Fisher critique.Donc nous sommes dans la zone de rejet de l"hypothèse nulleH0. Donc nous décidons de refuser l"hypothèse nulleH0et par conséquent d"accepter l"hypothèse alternativeH1, c"est-à-dire :

9j= 1;ou2; j6= 0:

Question 5.Dans le cas du modèle de régression ne comportant que l"épaisseur du matériau comme variable explicative, déterminer un intervalle de confiance à95% pour1. C"est également pour cette question qu"il est important de regarder si les hypothèses sont vérifiées. > model1<-lm(YX1,data=Exo2TD8) > shapiro.test(residuals(model1))

Shapiro-Wilk normality test

data: residuals(model1)

W = 0.9219, p-value = 0.3019

Un intervalle de confiance à95%pour1, d"après le complément du cours 8 est égal à : [6;0362;2281;279;6;036 + 2;2281;279] = [3;187;8;885]; où le quantile de la loi de Student critique lu dans une table des quantiles de la loi de Student à95%est égal à : t c;95%= 2;228: Remarque :Le logicielRnous donne également un intervalle de confiance pour

1en tapant les lignes suivantes :

> model1<-lm(YX1,data=Exo2TD8) > confint(model1)

2.5 % 97.5 %

(Intercept) -6.242858 13.28806 X

13.187036 8.88479

Question 6.Avec l"intervalle de confiance calculé à la question 5.), pouvons-nous affirmer, au seuil de signification= 5%, que la régression est significative entre la résistance à la rupture et l"épaisseur du matériau? Justifier votre conclusion? C"est aussi pour cette question qu"il est important de regarder si les hypothèses sont vérifiées.6

Frédéric Bertrand4ème année - ESIEA - 2009/2010La régression est significative entre la résistance à la rupture et l"épais-

seur du matériau si le test de Student qui teste si1= 0n"est pas vérifié. Calculons la statistique du test de Student observée : t obs=6;0361;279= 4;721: Le quantile de la loi de Student critique lu dans une table des quantiles de la loi de Student à95%est égal à : t c;95%= 2;228: La statistique du test de Student observée est plus grande que le quantile de la loi de Student critique. Par conséquent nous sommes dans la zone de rejet de l"hypothèse nulleH0. Donc nous décidons de refuser l"hypothèse nulleH0et par conséquent d"accepter l"hypothèse alternativeH1.Donc la régression est significative entre la résistance à la rupture et l"épaisseur du matériau. Remarque :Nous pouvons répondre plus rapidement en disant que l"intervalle de confiance calculé à la question précédente ne contient pas0. Par conséquentla régression est significative entre la résistance à la rupture et l"épaisseur du matériau. Remarque :Si nous avons les sorties deRà notre disposition, nous pouvons conclure directement en regardant lapvaleur deX1. > model1<-lm(YX1,data=Exo2TD8) > summary(model1) Call: lm(formula = YX1, data = Exo2TD8)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-8.266 -4.887 -1.209 3.232 10.770

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 3.523 4.383 0.804 0.440237 X

16.036 1.279 4.721 0.000816 ***

Residual standard error: 6.633 on 10 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.6903, Adjusted R-squared: 0.6593 F-statistic: 22.29 on 1 and 10 DF, p-value: 0.0008155 Cettepvaleur est égale à0.000816, qui est inférieur à5%. Donc même conclusion qu"en faisant les calculs à la main précédents. Question 7.Quel est l"apport marginal deX2lorsqu"elle est introduite à la suite deX1? L"apport marginal de la variable explicativeX2lorsqu"elle est introduite à la suite de la variable explicativeX1est égal à :

1204;858980;635 = 224;223:

Remarque :Nous retrouvons cette valeur en utilisant le logicielR: > model12<-lm(YX1+X2,data=Exo2TD8)7 Frédéric Bertrand4ème année - ESIEA - 2009/2010> anova(model12)

Analysis of Variance Table

Response: Y

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

11 980.63 980.63 40.8959 0.000126 ***

21 224.22 224.22 9.3509 0.013617 *

Residuals 9 215.81 23.98 --

Question 8.Est-ce que la contribution marginale de la variable " densité du maté- riau », lorsqu"elle est introduite à la suite de la variable " épaisseur du maté- riau » est significative au seuil= 5%? Utiliser les deux façons équivalentesquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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Correction de Régression linéairemultiple

Exercice 1.

981;326 + 190;232 + 129;431 = 1300;989:

1743;281442;292 = 1300;989:

2=SCregSC

Y=0+1X1+2X2+3X3+";

L"hypothèse nulle :

0:1=2=3= 0

1:9j= 1;2;ou3; j6= 0:

Fisher à95%est égal à :

9j= 1;2;ou3; j6= 0:

Régression due àX1981;3261

Résiduelle761;95520

Totale1743;28121

Y=0+1X1+":

L"hypothèse nulle

0:1= 0

1:16= 0:

Fisher à95%est égal à :

16= 0:

Y=0+1X1+2X2+":

L"hypothèse nulle

0:2= 0

1:26= 0:

Fisher à95%est égal à :

26= 0:

Y=0+1X1+2X2+3X3+":

L"hypothèse nulle

0:3= 0

1:36= 0:

Fisher à95%est égal à :

36= 0:

2=SCregSC

égale à :

2=SCregSC

égale à :

2=SCregSC

1=SCregSC

2=SCregSC

1;X2=SCregSC

2= 0contre l"hypothèse alternativeH1: au moins un des6= 0. Quelle est votre

Shapiro-Wilk normality test

W = 0.9408, p-value = 0.50825

Fisher à95%est égal à :

9j= 1;ou2; j6= 0:

Shapiro-Wilk normality test

W = 0.9219, p-value = 0.3019

1en tapant les lignes suivantes :

2.5 % 97.5 %

13.187036 8.88479

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

16.036 1.279 4.721 0.000816 ***

1204;858980;635 = 224;223:

Analysis of Variance Table

Response: Y

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

11 980.63 980.63 40.8959 0.000126 ***

21 224.22 224.22 9.3509 0.013617 *

Residuals 9 215.81 23.98 --