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+ 45x. 1) Résoudre l'équation f(x) = 0. 2) Calculer l'abscisse du sommet de la parabole.

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MATHEMATIQUES

A L"USAGE DE

L"ETUDIANT DE

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Chercherx.

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x "En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s"y habitue." John Von Neumann (Mathématicien, physicien 1903-1957) "Il n"y a pas de problème, il n"y a que des professeurs."

Jacques Prévert (Poète 1900-1977)

Sommaire

1 Calculs dans l"ensemble des réels3

1.1 Calculs de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Les fractions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Les puissances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Les racines carrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Développer - Factoriser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Développement d"une expression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Factorisation d"une expression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Résolution d"équations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Équations du premier degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Équation produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.3 Résolution des systèmes de deux équations à deux inconnues : méthode par addition8

2 Les fonctions affines10

3 Trigonométrie13

3.1 L"essentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.2 cosinus et sinus d"un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Le second degré18

4.1 Équations et factorisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2.1 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Dérivation et étude de fonction21

5.1 L"essentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.1 Nombre dérivé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.2 Tableaux des dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.3 Lien avec le sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Chapitre 1

Calculs dans l"ensemble des réels

1.1Calculs de base

1.1.1Les fractions

Chaque dénominateur étant non nuls, on peut écrire : a a b±cd=ad±bcbdexemple=?23+54=2×4 + 5×33×4=8 + 1512=2312 a a bc d= ab×dc=adbcexemple=?1 47
9= 1

4×97=928

Propriété 1.

Exercice 1

Donner l"écriture des nombres suivants sous la forme d"un entier ou d"une fraction irréductible.

A=1

2+13-14

B=? 1-7 3?

3 +52?

C= 2×?1

3-34? +?45-53?

Solutions :

A=712,B=256,C=-1710

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1.1.2Les puissances

Pour tous réelsaetbnon nuls,metnentiers, on peut écrire : a n×am=an+mexemple=?23×25= 23+5= 28 a n am=an-mexemple=?7572= 75-2= 73 (a×b)n=an×bnexemple=?(2×5)3= 23×53 (an)m=an×nexemple=?(72)5= 72×5= 710

Propriété 2.

Exercice 2

Simplifier les nombres suivants :

A= 33×3-2×3×35

B=2×23×24

23×26C= (32×33)2

D=22×34×5352×32×2

Solutions :

A= 37,B= 2-1=12,C= 310,D= 2×32×5

1.1.3Les racines carrées

Pour tous réelsaetbpositifs, on peut écrire : a)2=⎷a2=aexemple=?(⎷3)2=⎷9 = 3 a×b=⎷a×⎷bexemple=?⎷4×3 =⎷4×⎷3 = 2⎷3 a b=⎷ a⎷bexemple=?? 5

4=⎷

5⎷4=⎷

5 2 ?⎷a+b?=⎷a+⎷bcontrexemple=?⎷9 + 16 =⎷25 = 5⎷

9 +⎷16 = 3 + 4 = 7

Propriété 3.

Exercice 3

Simplifier l"écriture des nombres suivants :

Geneviève MAZE 4/

25Lycée VAUBAN BREST

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A=⎷81

B=⎷

8C=⎷

D=⎷

36 + 64E=⎷

2 + 5⎷2-3⎷2

F= (2-⎷

3)2

Solutions :

A= 9,B= 2⎷2,C= 2⎷3,D= 10,E= 3⎷2,F= 7-4⎷3.

1.2Développer - Factoriser

On souhaite transformer des expressions algébriques pour les mettre sous différentes formes : ?Développer, c"est transformer un produit de facteurs en une somme de facteurs. ?Factoriser, c"est transformer une somme de facteurs en un produit de facteurs.

Définition 1.

Exemple 1

Expressions sous forme développée :

A(x) =x-2-14x+ 5

B(t) = 3t2-4t+ 1

C(α) =α3+ 6α-4Expressions sous forme factorisée :D(x) =-5(x+ 1)

E(z) = (4z+ 1)(z+ 3)

F(t) = (2t-3)2

Afin de factoriser ou développer des expressions, on utiliseles propriétés de développement, ou très

régulièrement les identités remarquables vues au collège : ?k(a+b) =ka+kb ?(a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd?(a+b)2=a2+ 2ab+b2 ?(a-b)2=a2-2ab+b2 ?(a+b)(a-b) =a2-b2

Propriété 4.

1.2.1Développement d"une expression

Dans les trois exercices de cette section, il s"agit de développer, réduire et ordonner les expressions

données.

Exercice 4

Utilisation de la distributivité

A(x) =-2(3x+ 1)

B(x) = (2x+ 3)-(3x+ 2)

C(x) = 4(3x-2)D(x) = (2-5x)(x-3)

E(x) = (x+ 3)(x-2)

F(x) = (-2x+ 3)(x-1)

Solutions :

D(x) =-5x2+ 17x-6,E(x) =x2+x-6,F(x) =-2x2+ 5x-3A(x) =-6x-2,B(x) =-x+ 1,C(x) = 12x-8,

Geneviève MAZE 5/25Lycée VAUBAN BREST

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Exercice 5

Utilisation des identités remarquables

A(x) = (3x+ 4)2

B(x) = (2x-3)2C(x) = (5x-2)(5x+ 2)

D(x) = (-2x-4)2

Solutions :

A(x) = 9x2+ 24x+ 16,B(x) = 4x2-12x+ 9,C(x) = 25x2-4,D(x) = 4x2+ 16x+ 16

Exercice 6

Certaines expressions sont plus complexes à développer carelles contiennent à la fois des distributivités et des

identités remarquables:A(x) = 4(2x+ 5) + (x-3)(5x-7) B(x) = (2x-3)2-(4x+ 1)(x-3)C(x) = (x-3)(x+ 5)-(-3x+ 2)(x-5)

Solutions :

A(x) = 5x2-14x+ 41,B(x) = 12-x,C(x) = 4x2-15x-5

1.2.2Factorisation d"une expression

Dans les trois exercices de cette section, il s"agit de factoriser au maximum les expressions données.

Exercice 7

Utilisation d"un facteur commun

Cette technique consiste à mettre en évidence un facteur commun dans la "somme" : on décompose en produit

chaque terme de façon à trouver un facteur en commun le plus grand possible.

A(x) = 15x-12

B(x) = 5x-5

C(x) = 6x2+ 10xD(x) = (3x+ 2)(4x-1) + (3x+ 2)(-6x+ 8)

E(x) = (3x-4)2-(2x-5)(3x-4)

F(x) = (2x-3)2-(2x-3)

Solutions :

D(x) = (3x+ 2)(-2x+ 7),E(x) = (3x-4)(x+ 1),F(x) = (2x-3)(2x-4).A(x) = 3(5x-4),B(x) = 5(x-1),C(x) = 2x(3x+ 5),

Exercice 8

Utilisation des identités remarquables

On tente de "comparer" notre expression à l"une des identités remarquables : - S"il y a trois termes, ils peuvent être de la formea2+ 2ab+b2oua2-2ab+b2, - s"il y a deux termes, ils peuvent être de la forme :a2-b2.

A(x) = 9x2+ 42x+ 49

B(x) = 25x2-60x+ 36C(x) =x2-16

D(x) = 9x2-64

Solutions :

A(x) = (3x+ 7)2,B(x) = (5x-6)2,C(x) = (x-4)(x+ 4),D(x) = (3x-8)(3x+ 8).

Exercice 9

Si vous avez un moment de libre, ou une envie d"approfondir ...

Il arrive pourtant qu"un facteur commun ne saute pas aux yeux, tout comme une identité remarquable. Dans

ce cas, on examine chaque terme de la somme et on essaye de le factoriser.

A(x) = (2x-5)(7 + 3x)-(4x2-20x+ 25)

B(x) = (x-3)(3x+ 5) + (9x2+ 30x+ 25)C(x) = 3(x+ 3)(2x+ 3)-(4x2-9)

D(x) = (2x-1)2-(3-5x)2

Solutions :

A(x) = (2x-5)(x+ 12),B(x) = (3x+ 5)(4x+ 2),C(x) = (2x+ 3)(x+ 12),D(x) = (7x-4)(-3x+ 2).

Geneviève MAZE 6/25Lycée VAUBAN BREST

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1.3Résolution d"équations

1.3.1Équations du premier degré

Uneéquation du premier degréest une équation de la formeax+b= 0 aveca?= 0 où

xest l"inconnue. Résoudre une telle équation consiste à " trouver le nombrex» pour lequel

ax+b= 0.

Définition 2.

La théorie :

ax+b= 0??ax=-b??x=-b adonc :S=? -ba?

La pratique :

-2x+ 4 = 0on ajoute-4des deux côtés de l"égalité ?? -2x=-4on divise par-2qui est non nul des deux côtés de l"égalité ??x=-4 -2on simplifie ??x= 2 On peut vérifier que lorsque l"on remplacexpar 2 dans-2x+ 4, on obtient-2×2 + 4 = 0.

Exercice 10

Parmi la liste de nombres

0;1;3 2;4? lesquels sont solutions des équations suivantes :

1.-x+ 1 = 0.

2. 3x+ 4 = 6x-8.

3.x(2x-3) = 0.

Solutions :

1)x= 1 2)x= 8 3)x= 0 oux=32.

Exercice 11

Résoudre les équations suivantes.

1.x-9 =-4.

2.-x+ 5 = 12.

3. 3x=-24.

4. 3,7x= 0.

5. 1

4x= 16.6. 5x-9 = 3x+ 4.

7.x-2 3=34. 8. 3x 4=23.

Solutions :

6)x=1327)x=17128)x=89.1)x= 5 2)x=-7 3)x=-8 4)x= 0 5)x= 64

Exercice 12

Pour approfondir ...

Développer chaque membre, puis résoudre les équations obtenues.

1. 4x-5(3-2x) = 4-(2x-7).

2. 9x-3(4-3x) = 2-[35-3(4-2x)].

3. 7-3(4-2x)-5[2-3(x-5)] = 4-3(x-4).

4. 4(x-2)-3[6-2(3-4x)] + 3(7-2x) = 0.

Solutions :

1)1382)-383)53124)12

Geneviève MAZE 7/25Lycée VAUBAN BREST

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1.3.2Équation produit

Lorsque l"on a un produit de plusieurs facteurs qui doit êtreégal à 0, on utilise le théorème

important suivant : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l"un des facteurs est nul:

A×B= 0??A= 0 ouB= 0.

Théorème 1.

Exemple :

(x+ 1)(x+ 11) = 0 ??x+ 1 = 0 oux+ 11 = 0 ??x=-1 oux=-11 ?? S={-11;-1}.

Exercice 13

Résoudre les équations suivantes.

1. (x-1)(x+ 2) = 0.

2. (2x+ 4)(3x-1) = 0.

3. (2 +x)(2-3x) = 0.

4.-3(x-1) = 0.

5. (x+ 1)(3x-4)(2x-3) = 0.

6.⎷

2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) = 0.

Solutions :

5)x=-1 oux=43oux=326)x= 1 oux= 2 oux= 3 oux= 4 oux= 5.1)x= 1 oux=-2 2)x=-2 oux=1

33)x=-2 oux=234)x= 1

Exercice 14

Pour approfondir ...

Factoriser, puis résoudre les équations.

1. (5x-2)(x+ 7) + (5x-2)2= 0.

2. 2(3x+ 5) + (x+ 7)(3x+ 5) = 0.

3. (2x+ 3)2-(x+ 5)(2x+ 3) = 0.

4. (3x-2)2-81 = 0.

Solutions :(a)-5

6ou25(b)-9 ou53(c)-32ou 2 (d)-73ou113

1.3.3Résolution des systèmes de deux équations à deux inconnues :méthode par addition

Exemple 1 :Résoudre le système :?2x-3y= 7L1

x+ 5y=-3L2 DansL1on a 2xet dansL2on ax; pour éliminer lesxon va donc multiplier la ligneL2par-2 avant d"ajouter les deux lignes.

Geneviève MAZE 8/

25Lycée VAUBAN BREST

Juin 2018MathématiquesBTS

?2x-3y= 7 x+ 5y=-3

×(-2)-→?2x-3y= 7

-2x-10y= 6 Ce qui donne par addition des deux lignes :-13y= 13 c"est à direy=-1. Puis on remplaceypar-1 dans l"équation la plus simple, iciL2, et on obtient :x-5 =-3 donc x= 2.

La solution est doncx= 2 ety=-1.

Exemple 2 :Résoudre le système :?3x+ 4y= 32L1

7x+ 6y= 58L2

DansL1on a 3xet dansL2on a 7x; pour éliminer lesxon va donc multiplier la ligneL1par 7 et la ligneL2par-3 avant d"ajouter les deux lignes. ?3x+ 4y= 32 ×7

7x+ 6y= 58×(-3)-→?21x+ 28y= 224

-21x-18y=-174 Ce qui donne par addition des deux lignes : 10y= 50 c"est à direy= 5. Puis on remplaceypar 5 dans l"équation la plus simple, iciL1, et on obtient : 3x+ 20 = 32 donc x= 4.quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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MATHEMATIQUES

A L"USAGE DE

L"ETUDIANT DE

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Chercherx.

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Jacques Prévert (Poète 1900-1977)

Sommaire

1 Calculs dans l"ensemble des réels3

1.1 Calculs de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Les fractions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Les puissances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Les racines carrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Développer - Factoriser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Développement d"une expression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Factorisation d"une expression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Résolution d"équations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Équations du premier degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Équation produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.3 Résolution des systèmes de deux équations à deux inconnues : méthode par addition8

2 Les fonctions affines10

3 Trigonométrie13

3.1 L"essentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.2 cosinus et sinus d"un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Le second degré18

4.1 Équations et factorisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2.1 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Dérivation et étude de fonction21

5.1 L"essentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.1 Nombre dérivé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.2 Tableaux des dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.3 Lien avec le sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Chapitre 1

Calculs dans l"ensemble des réels

1.1Calculs de base

1.1.1Les fractions

4×97=928

Propriété 1.

Exercice 1

2+13-14

3 +52?

C= 2×?1

Solutions :

A=712,B=256,C=-1710

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1.1.2Les puissances

Propriété 2.

Exercice 2

Simplifier les nombres suivants :

A= 33×3-2×3×35

B=2×23×24

23×26C= (32×33)2

D=22×34×5352×32×2

Solutions :

A= 37,B= 2-1=12,C= 310,D= 2×32×5

1.1.3Les racines carrées

4=⎷

5⎷4=⎷

9 +⎷16 = 3 + 4 = 7

Propriété 3.

Exercice 3

Simplifier l"écriture des nombres suivants :

Geneviève MAZE 4/

25Lycée VAUBAN BREST

Juin 2018MathématiquesBTS

A=⎷81

B=⎷

8C=⎷

D=⎷

36 + 64E=⎷

2 + 5⎷2-3⎷2

F= (2-⎷

Solutions :

1.2Développer - Factoriser

Définition 1.

Exemple 1

Expressions sous forme développée :