Traitement Numérique du Signal IRISA

Module : Traitement du Signal. TD 7 : Filtrage Numérique. 2017-2018. 31. Filtres RIF et RII. Exercice 7.2. On considère un filtre RIF caractérisé par :.

Traitement du signal Exercices supplémentaires pour ceux qui

(c) Préciser le type de filtre : RIF ou IIR. Justifier. Exercice 3. Soit un filtre numérique décrit par la fonction de transfert. H(z) = 1. 4.

Exercices de traitement numérique du signal

Le type de filtre (RIIRIF). 2. La stabilité. 3. Le diagramme de pôle et de zéros. 4. La réponse impulsionnelle. 5. L'allure du module de

Examen Final ( )

__RIF toujours stables pour une entrée bornée__________________________. 3. Faire les exercices suivants (45 pts) : 1. Un filtre RIF possède la fonction de

Traitement Numérique du Signal IRISA — ENSSAT

16 janv. 2015 2.1 Corrigés des TD sur l'échantillonnage. ... 3.3.1 Synthèse de filtre RIF à phase linéaire par fenêtrage . . . . . . . . . . . . . . . 35.

Corrigé de lexamen final

Corrigé de l'examen final Question 1-3 — VRAI Un filtre stable constitue un signal d'énergie. ... 2 Filtres FIR et transformée de Fourier discr`ete.

TD2 : DSP (LES FILTRES NUMERIQUES)

EXERCICE N°2. 1. Calculer les coefficients d'un filtre RIF passe-bas à N=5 coefficients de fréquence de coupure fc=882Hz. La fréquence d'échantillonnage

SAT ENS ENSSAT

19 sept. 2005 1.1.3 Analyse d'un filtre numérique RIF . ... 1.1.6 Filtrage numérique RIF cascade . ... On prendra N = 7 dans la suite de l'exercice.

Analyse de filtres numériques

type de filtrage réalisé valeurs de fréquence de coupure. ? Analyse de filtres Filtres à Réponse Impulsionnelle Finie (filtres RIF).

Untitled

11.4.1 Filtre RIF . 12.6.2 Calcul des coefficients d'un filtre RIF par le calcul des ... EXERCICES ET APPLICATIONS SUR LE FILTRAGE NUMERIQUE.

ÉlectroniqueetInformatiqueIndustrielle2ndeannée-EII2Traitement Numérique du Signal

Fascicule de travaux dirigésOlivier Sentieys

NSSAT - Université de Rennes 1

sentieys@enssat.fr http://www.irisa.fr/cairn

6 Rue de Kerampont - BP 447

22305 LANNION - FranceIRISA - ENSSAT

Institut de Recherche en Informatique et Systèmes Aléatoires École Nationale Supérieure de Sciences Appliquées et de Technologie

Technopôle Anticipa Lannion

ii Table des matières1 Travaux Dirigés en Traitement Numérique du Signal1

1.1 Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .1

1.1.1 Chaîne de TNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.1.2 Échantillonnage d'un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .1

1.2 Analyse et implantation des ltres numériques . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .2

1.2.1 Filtrage numérique RIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .2

1.2.2 Filtrage numérique RIF (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .4

1.2.3 Filtrage numérique RIF (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .4

1.2.4 Filtrage numérique RIF cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .4

1.2.5 Filtrage numérique RII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .5

1.3 Synthèse des ltres RII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .7

1.3.1 Filtre passe bas du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .7

1.3.2 Filtre passe haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .7

1.4 Synthèse des ltres RIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .8

1.4.1 Méthode du fenêtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .8

1.4.2 Méthode de l'échantillonnage fréquentiel . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .9

1.5 Transformée de Fourier Discrète et Rapide (TFD et TFR) . .. . . . . . . . . . . . . .9

1.5.1 TFD bidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .9

1.5.2 Transformée de Fourier Glissante . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .10

1.5.3 Transformée de Fourier en Base 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .10

1.5.4 Optimisation du calcul de la TFR d'une suite de nombresréels . . . . . . . . .10

1.5.5 Optimisation du calcul de la TFR de deux suites de nombres réels . . . . . . .11

1.5.6 Comparaison entre TFSD et TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .11

1.5.7 TFD par convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .11

1.5.8 Bruits dans la TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..12

1.5.9 Étude des bruits de calcul dans la transformée de Fourier Rapide . . . . . . . .12

1.5.10 Calculs de TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..13

1.6 Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .13

1.6.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.6.2 Analyse spectrale d'un signal sinusoïdal . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .14

1.6.3 Analyse spectrale d'un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .14

1.7 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .14

1.7.1 Calcul d'une convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .14

1.7.2 Complexité de calcul d'une convolution . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .14

1.8 Interpolation et décimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .14

1.8.1 Interpolation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .14

1.8.2 Suréchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .15

2 Corrections des Travaux Dirigés en TNS17

2.1 Corrigés des TD sur l'échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .17

2.1.1 Chaîne de TNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.1.2 Échantillonnage d'un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .17

2.2 Analyse des ltres numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .18

2.2.1 Filtrage numérique RIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .18

2.2.2 Filtrage numérique RIF (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .18

2.2.3 Filtrage numérique RIF (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .18

2.2.4 Filtrage Numérique RIF cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .19

2.2.5 Cellule élémentaire du premier ordre RII . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .19

2.2.6 Cellule du second ordre RII purement récursive . . . . . .. . . . . . . . . . .19

2.2.7 Étude des bruits de calcul dans les ltres numériques RII . . . . . . . . . . . .20

2.3 Synthèse des ltres RII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .20

2.3.1 Filtre passe bas du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .20

2.3.2 Filtre passe haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .20

2.4 Synthèse des ltres RIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .20

2.4.1 Méthode du fenêtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .20

2.4.2 Méthode de l'échantillonnage fréquentiel . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .21

2.5 Transformée de Fourier Discrète et Rapide (TFD et TFR) . .. . . . . . . . . . . . . .23

2.5.1 TFD bi-dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .23

2.5.2 Transformée de Fourier Glissante . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .23

2.5.3 Transformée de Fourier en Base 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .23

2.5.4 Optimisation du calcul de la TFR d'une suite de nombresréels . . . . . . . . .23

2.5.5 Optimisation du calcul de la TFR de deux suites de nombres réels . . . . . . .23

2.5.6 Comparaison TFTD et TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..23

2.5.7 TFD par convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .24

2.5.8 Calculs de TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

2.6 Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .26

2.6.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

2.6.2 Analyse spectrale d'un signal sinusoïdal . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .26

2.6.3 Analyse spectrale d'un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .26

2.7 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .26

2.7.1 Calcul d'une convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .26

2.7.2 Complexité de calcul d'une convolution . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .26

2.8 Interpolation et décimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .26

2.8.1 Interpolation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .26

2.8.2 Suréchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .27

3 Problèmes29

3.1 Etude des ltres CIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .29

3.1.1 Intégrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .29

3.1.2 Filtre en peigne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .30

3.1.3 Mise en cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..30

3.1.4 Association de plusieurs étages . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .30

3.2 Etude d'un système DTMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .31

3.2.1 Solution à base d'un ltre RIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .31

3.2.2 Solution à base d'une transformée de Fourier . . . . . . . .. . . . . . . . . .32

3.2.3 Solution à base d'un ltre RII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .32

3.2.4 Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

3.3 Synthèse de ltres numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .35

3.3.1 Synthèse de ltre RIF à phase linéaire par fenêtrage . .. . . . . . . . . . . . .35

3.3.2 Synthèse de ltre RII par la méthode bilinéaire . . . . . .. . . . . . . . . . .35

3.4 Etude d'un ltre en treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .35

3.4.1 Détermination de la fonction de transfert . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .36

2 3

3.4.2 Complexité et développement du code C . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .36

3.4.3 Implantation en virgule xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .36

3.4.4 Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

Chapitre 1Travaux Dirigés en TraitementNumérique du Signal1.1 Echantillonnage1.1.1 Chaîne de TNSOn s"intéresse à une chaîne de TNS du type de la figure 1.1

Figure1.1 - Chaîne de TNS

Le signalx(t) =A.e-at.sin(ω0.t).u(t)correspondant à une réponse transitoire d"un système oscil-

lant amorti est échantillonné à une période Te qui permette de limiter le recouvrement spectral.

1. Calculer la TF X(f) de ce signal.

2. Tracer le module du spectre|X(f)|de ce signal, et précisez le lieu du maximumFmax, ainsi

que sa valeur (A.N.ω0= 2π4rad/s;a= 7;A= 20).

3. Ce spectre présente un support de durée infinie (à démontrer). Calculer et dessiner le spectre

dex?(t)pour une périodeTequelconque.

4. Pour limiter l"effet de recouvrement spectral, on choisitde considérer la partie utile dex(t)

sur un support borné. Ainsi, toute composante spectrale dont l"amplitude ne dépasse pas

1% de l"amplitude maximaleFmaxdu spectre sera considérée comme négligeable. Calculer

la fréquenceFMau delà de laquelle l"amplitude des raies devient négligeable.

5. CalculerFetelle que le recouvrement n"entraîne une erreur sur le spectre initial ne dépassant

pas 1% de l"amplitude du spectre enFM.

6. Existe-t-il d"autres solutions qui permettent de limiter le recouvrement spectral.

1.1.2 Échantillonnage d'un signal

1. Soit le signalx(t) =e-at.u(t), calculez et dessinez sa transformée de FourierX(ω). On

donnera les valeurs du modules enω= 0, a,10a.

2. Calculez l"énergie du signalx(t).

3. On échantillonnex(t)à une périodeT. Calculez la transformée de FourierXe(ω)du signal

échantillonnéxe(nT).

2Travaux Dirigés en Traitement Numérique du Signal

4. Dessinez approximativement le module du spectre lorsqueT=π/10a. Expliquez quels

problèmes peuvent survenir lors de l"échantillonnage du signalx(t).

5. Donner l"expression de l"énergie en fonction de la bande de fréquence[-B,...+B]consi-

dérée. On rappelle que la primitive de1/(1 +x2)estarctg(x). TrouverBdonnant90%

de l"énergie totale du signal. Proposez, à partir de ces résultats, une solution pour limiter

l"effet de l"échantillonnage en considérant qu"une bande defréquence représentant90%de l"énergie du signal suffit à caractériser le signal.

1.2 Analyse et implantation des filtres numériques

Pour les différents exercices de cette partie concernant l"implantation des filtres nous considérons

un calculateur de type DSP (spécialisé dans le traitement dusignal) dont les caractéristiques sont

les suivantes : - le cycle d"horloge est de100ns - l"opération de base est du typey=a×x+b; - les opérations d"accumulation, ou de multiplication/addition sont exécutées en un cycle; - les calculs sont réalisés en simple précision; - les données en entrée et en sortie du multiplieur sont codées surbbits; - les données en entrée et en sortie de l"additionneur sont codées surbbits; - les données sont stockées en mémoire surbbits; - le bit de signe redondant issu de la multiplication n"est pas automatiquement éliminé; - la loi de quantification utilisée est l"arrondi.

1.2.1 Filtrage numérique RIF

Soit un filtre à réponse impulsionnelle finie dont le schéma defonctionnement dans le domaine

temporel est donné figure 1.2. SoitTela période d"échantillonnage du système numérique, (Te= 1).

xy h0 h2 h3 h4 h6T TTTTT T T T T

Figure1.2 - Filtre FIR

1.2.1.1 Etude de la réponse fréquentielle

1. Donner les expressions de l"équation aux différences finies ainsi que la fonction de transfert

enZ.

2. Déterminer et tracer la réponse impulsionnelleh(n)du filtre, lorsqueh0=h6= 0.1,

2=h4=-0.3,h3= 0.4.

1.2 Analyse et implantation des filtres numériques3

3. Calculer la réponse fréquentielleH(ejΩ)du filtre. Déterminer son module et sa phase.

Déterminer la valeur maximale du module.

On note que :

e -jΩ1+e-jΩ2= 2×e-j(Ω1+Ω2)

2×cos(Ω2-Ω12)

4. Donner les valeurs du module enΩ = 0, π/4, π/2,3π/4,π ,2π.

5. Tracer approximativement son module. De quel type de filtre s"agit-il?

1.2.1.2 Complexité de l"implantation du filtre

1. Quelle est la complexité du filtre tel que réalisé figure 1.2en nombre de multiplications et

d"additions. Quel est le nombre de mots mémoires nécessaires à l"exécution du calcul. (on

considérera une complexité pourNpoints du signal d"entrée traités).

2. Quelle est dans ce cas la fréquence d"échantillonnage maximale du signal?

3. Donner un schéma de principe de réalisation du filtre dans le domaine fréquentiel. Quelle

est la complexité algorithmique de cette nouvelle solution(opérations et mots mémoire)? Comparer les deux approches, la méthode fréquentielle est-elle exacte?

4. Donner le code C de l"application utilisant l"arithmétique virgule flottante.

1.2.1.3 Étude de l"implantation du filtre en virgule fixe

Les données d"entrée et de sortie sont stockées en mémoire. Nous considérons que l"entrée du filtre

est comprise dans l"intervalle]-1,1[.

1. Déterminer la dynamique de la sortie du filtrey(n)à partir de la norme de Chebychev. En

déduire le codage de la sortie.

2. Déterminer la position de la virgule des variables intermédiaires et des coefficients.

3. Déterminer le codage des variables intermédiaires et descoefficients.

4. Identifier les sources de bruits liées à la quantification d"un signal au sein du filtre. Rappeler

brièvement le modèle de quantification d"un signal numérique.

5. Le bruit engendré par le signal en entrée du filtre est négligé. Donner la puissance de bruit

2fen sortie du filtre.

6. Maintenant, le signal d"entrée est bruité par l"opération de quantification (on note la puis-

sance de ce bruitσ2e). Quelle est dans ce cas la puissance du bruit en sortie? Que conclure?

7. Le signal d"entrée est une signal sinusoïdal de1Vcrête. Quel est la puissance de ce signal?

Déterminer le rapport signal à bruit en entrée et en sortie dufiltre.

8. Quel serait le nombre de bits pour obtenir un RSB en sortie supérieure à40dB?

On rappelle que le rapport signal à bruit est donné par la relation :

RSB=Puissance du signal

Puissance du bruit=σ2xσ2b

RSB dB= 10log?σ2x

σ2b?

4Travaux Dirigés en Traitement Numérique du Signal

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