[PDF] Cours de Calcul Matriciel Cours de Calcul Matriciel 1.





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Cours de Calcul Matriciel

Yann Mor`ere

Mai 2001

Contents

1 G´en´eralit´es

1

1.1 D´efinitions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Exemples

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Op´erations ´el´ementaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3.1

´Egalit´e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.2 Somme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.3 Multiplication par un scalaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.4 Multiplication

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.5 Transpos´ee d"une matrice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.6 D´erivation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.7 Int´egration

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.8 Tranconjug´ee

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.9 Trace d"une matriceA(m£n)= (aij)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.10 Matrice d´ecompos´ees en blocs (ou partitionnement)

. . . . . . . . . . . . 4

2 Op´erations ´el´ementaires, application aux ´equations lin´eaires

7

2.1 Matrices ´echelonn´ees et canonique ligne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Algorithme de passage `a la forme ´echelonn´ee

. . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Algorithme de passage d"une forme echelonn´ee `a une forme canonique ligne

8

2.2 Syst`eme d"´equations lin´eaires et matrices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Espaces vectoriels

13

3.1 D´ependance et Ind´ependance Lin´eaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 ´Equation lin´eaire, matrices et espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 i

4 Matrices Carr´ees17

4.1 Matrices carr´ees

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Matrices particuli`eres

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.1 Matrice Unit´e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.2 Matrice diagonale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.3 Puissance et polynˆome de matrices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.4 Matrices inversibles ou non singuli`eres

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.5 Matrice triangulaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.6 Matrice sym´etrique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.7 Matrice anti-sym´etrique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.8 Matrice orthogonale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.9 Matrice normale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.10 Matrice hermitienne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.11 Matrice anti-hermitienne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2.12 Matrice unitaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2.13 Matrice normale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 Matrices ´el´ementaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.4 Equivalence entre matrices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4.1 Equivalence entre deux matrices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 D´eterminants

25

5.1 Propri´et´es

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Applications

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.2.1 Inverse d"une matrice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.2.2 R´esolution d"un syst`eme d"´equations lin´eaires

. . . . . . . . . . . . . . . 28

6 Inversions Matricielles

31

6.1 D´efinitions et Propri´et´es

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 7

´Equation caract´eristique d"une matrice

35

7.1 D´efinitions, propri´et´es

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

8 Matrices semblables

39

8.1 D´efinitions et Propri´et´es

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8.2 Matrices diagonales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8.3 Matrices sym´etriques r´eelles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ii

9 Formes quadratiques43

9.1 D´efinition et propri´et´es

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

9.2 Forme quadratique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

10 Syst`emes diff´erenciels

49

10.1 Propri´et´es et D´efinitions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

10.2 Cas scalaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

10.3 Cas matriciel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 10.4

´Evaluation deeAt

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

10.4.1 Calcul num´erique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

10.4.2Adiagonale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

10.4.3 Utilisation de la formule de Sylverster

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

11 Quelques extras

53

11.1 Forme de Jordan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

11.2 Matrice compagne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 iii 1 /55

Chapter1

G´en´eralit´es

1.1 D´efinitions

D´efinition 1.1.1.une matrice sur le corpsKest un tableau rectangulaire de scalairesaijde la forme : A=0 B

BBBBBBBBB@a

11a12::: a1n

a 21
a m1::: ::: amn1 C

CCCCCCCCCA; A(m£n) = (aij)

avecaij2R;C;Rh¸ipolynˆome en¸.... Lesm n-uplets(ai1::: ain)i2 f1:::mgsont appel´eslignesdeA.

Lesn m-uplets0

B

BBBBB@a

1j a mj1 C

CCCCCAj2 f1:::ngsont appel´escolonnesdeA.

Le couple(m;n)est appel´e ladimensionde la matrice.

C"est un formalisme simple qui permet de g´en´eraliser les manipulations des scalaires (Attention :

avec la perte de la commutativit´e) et de manipuler avec un seul langage des scalaires, des vecteurs et des tableaux.

1.2 Exemples

1. Soitfune fonction r´eelle de plusieurs variablesf(x1;:::;xn) (x= (x1:::xn))on d´efinit

le gradient : f x=@f @x =µ@f @x

1;:::;@f

@x

2 /55Chapitre 1 : G´en´eralit´es

matrice ligne du vecteur des d´eriv´ees partielles. Le Hessien ou matrice Hessienne est d´efinie par : H x=0 B

BBBBB@@

2f

2x1¢¢¢@2f

@x 1@xn 2f @x m@x1¢¢¢@2f 2xn1 C

CCCCCA

matrice carr´ee sym´etrique des d´eriv´ees secondes.

2. Soitfune fonction vectorielles de plusieurs variablesf(x1;:::;xn)0

B

BBBBB@f

1(x1;:::;xn)

f m(x1;:::;xn)1 C

CCCCCA

on peut alors d´efinir le Jacobien ou matrice Jacobienne : F x=0 B

BBBBB@@f

1 @x

1¢¢¢@f1

@x n @f m @x

1¢¢¢@fm

@x n1 C

CCCCCA:

1.3 Op´erations ´el´ementaires

1.3.1

´Egalit´e

A=B, 8(i;j)aij=bij:

1.3.2 Somme

A+B= (aij+bij)

avecAetBde mˆeme dimension.

1.3.3 Multiplication par un scalaire

kA= (kaij)

Yann MOR

`ERE

1.3 Op´erations ´el´ementaires 3 /55

1.3.4 Multiplication

A(m£p) = (aik)B(p£n) = (bkj)

A¢B(m£n) = (cij)

aveccij=Pp k=1aikbkj.

Propri´et´es :

1.3.5 Transpos´ee d"une matrice

A T=A

Les lignes deAsont les colonnes deAT.

0 B

BBBBBBBBB@a

11a12::: a1n

a

21......

a m1::: ::: amn1 C

CCCCCCCCCAT

=0 B

BBBBBBBBB@a

11a21::: a1m

a

12......

a

1n::: ::: amn1

C

CCCCCCCCCA:

A (m£n)= (aij)!AT(n£m)=¡aTij¢avecaTij=aji.

Pour les vecteurs :

(x1::: xn)T=0 B

BBBBB@x

1 x n1 C

CCCCCA

Propri´et´es :

Cours de Calcul Matriciel

4 /55Chapitre 1 : G´en´eralit´es

1.3.6 D´erivation

A (m£n)= (aij)avecaijd´ependant de®.

A(®) = (aij(®))dA(®)

d® =µdaij(®) d®

1.3.7 Int´egration

Z ®2

1A(®)d®=µ

Z®2

1a

1.3.8 Tranconjug´ee

SiAest une matrice d´efinie dans un corps op´erant surC: A H= A

Ttranspose de la conjuge;

avecA(m£n)= (aij), A (m£n)= ( a ij)etAH(m£n)=¡ a

Tij¢=¡aHij¢avecaHij=

a ij.

Propri´et´es :

A

1.3.9 Trace d"une matriceA(m£n)= (aij)

trace(A) =min(m;n)X i=1a ii

Propri´et´es :

trace(A)

1.3.10 Matrice d´ecompos´ees en blocs (ou partitionnement)

A (m£n)=³ A ij(m£n)´ avecPI i=1mi=metPI i=1ni=nce qui est int´eressant lorsque la matrice contient des blocs nuls. 0 B

BBBBBBBBB@1 2j3 5

3 4j2 2

1 1j0 21

C

CCCCCCCCCA=0

B

BBBBBBBBB@1j2j3 5

3j4j2 2

¡ j ¡ j ¡ ¡

1j1j0 21

C

CCCCCCCCCA

Yann MOR

`ERE

1.3 Op´erations ´el´ementaires 5 /55

Exemple de partitionnement important :

A (m£n)= (aij) = (a1;a2;:::;an)avecaicolonnes de A=0 B

BBBBB@®

T1 Tn1 C

CCCCCA; ®

Tjlignes deA

La transpos´ee est utile dans le sens o`u un vecteur est une matrice colonne, donc une ligne est un covecteur et A (m£p)¢B(p£n)=0 B

BBBBB@®

T1£b1®T1£b2::: ®T1£bn

Tm£b1®Tm£b2::: ®Tm£bn1

C

CCCCCA=¡®Tibj¢

L"int´erˆet est quie si l"on dispose de 2 matricesAetBpartitionn´ees telles que les sommes et les

produits aient un sens : k=1AikBkjavecºle nombre de blocs en ligne deAet le nombre de blocs en ligne deB

Exemples :

A (4£5)=0 B

BBBBBBBBB@1 2 0 0 0

3 4 0 0 0

0 0 5 1 2

0 0 3 4 11

C

CCCCCCCCCA; B

(5£4)=0 B

BBBBBBBBBBBBB@3¡2 0 0

2 4 0 0

0 0 1 2

0 0 2¡1

0 0¡4 11

C

CCCCCCCCCCCCCA

AB (4£4)=0 B

BBBBBBBBBBBBB@0

B B@1 2 3 41 C CA0 B

B@3¡2

2 41 C

CA0(2£2)

0 (2£2)0 B

B@5 1 2

3 4 11

C CA0 B

BBBBB@1 2

2¡1

¡4 11

C

CCCCCA1

C

CCCCCCCCCCCCCA=0

B

BBBBBBBBB@7 6 0 0

17 2 0 0

0 0¡1 11

0 0 7 31

C

CCCCCCCCCA

trace(A) =Pmin(4;5) i=1aii= 1 + 4 + 5 + 4 = 14,trace(B) =Pmin(4;5) i=1aii= 3 + 4 + 1¡1 = 7

Cours de Calcul Matriciel

6 /55Chapitre 1 : G´en´eralit´es

AB (5£5)=0 B

BBBBBBBBBBBBB@0

B

B@3¡2

2 41 C CA0 B B@1 2 3 41 C

CA0(2£2)

0 (2£2)0 B

BBBBB@1 2

2¡1

¡4 11

C

CCCCCA0

B

B@5 1 2

3 4 11

C CA1 C

CCCCCCCCCCCCCA

AB (5£5)=0 B

BBBBBBBBBBBBB@¡3¡2 0 0 0

14 20 0 0 0

0 0 11¡9 4

0 0 7¡2 3

0 0¡17 0¡71

C

CCCCCCCCCCCCCA

Montrer que siAposs`ede une ligne nulle, alorsABposs`ede une ligne nulle aussi : A (m£p)= (a1;:::;ap) =0quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32
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