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Cours de Calcul Matriciel
Yann Mor`ere
Mai 2001
Contents
1 G´en´eralit´es
11.1 D´efinitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Exemples
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Op´erations ´el´ementaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3.1´Egalit´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.2 Somme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.3 Multiplication par un scalaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.4 Multiplication
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.5 Transpos´ee d"une matrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.6 D´erivation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.7 Int´egration
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.8 Tranconjug´ee
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.9 Trace d"une matriceA(m£n)= (aij)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.10 Matrice d´ecompos´ees en blocs (ou partitionnement)
. . . . . . . . . . . . 42 Op´erations ´el´ementaires, application aux ´equations lin´eaires
72.1 Matrices ´echelonn´ees et canonique ligne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.1 Algorithme de passage `a la forme ´echelonn´ee
. . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Algorithme de passage d"une forme echelonn´ee `a une forme canonique ligne
82.2 Syst`eme d"´equations lin´eaires et matrices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Espaces vectoriels
133.1 D´ependance et Ind´ependance Lin´eaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 ´Equation lin´eaire, matrices et espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 i4 Matrices Carr´ees17
4.1 Matrices carr´ees
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Matrices particuli`eres
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.1 Matrice Unit´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.2 Matrice diagonale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.3 Puissance et polynˆome de matrices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.4 Matrices inversibles ou non singuli`eres
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.5 Matrice triangulaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.6 Matrice sym´etrique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.7 Matrice anti-sym´etrique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.8 Matrice orthogonale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.9 Matrice normale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.10 Matrice hermitienne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.11 Matrice anti-hermitienne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2.12 Matrice unitaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2.13 Matrice normale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Matrices ´el´ementaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4 Equivalence entre matrices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4.1 Equivalence entre deux matrices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 D´eterminants
255.1 Propri´et´es
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Applications
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2.1 Inverse d"une matrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2.2 R´esolution d"un syst`eme d"´equations lin´eaires
. . . . . . . . . . . . . . . 286 Inversions Matricielles
316.1 D´efinitions et Propri´et´es
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 7´Equation caract´eristique d"une matrice
357.1 D´efinitions, propri´et´es
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 Matrices semblables
398.1 D´efinitions et Propri´et´es
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.2 Matrices diagonales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.3 Matrices sym´etriques r´eelles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ii9 Formes quadratiques43
9.1 D´efinition et propri´et´es
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.2 Forme quadratique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310 Syst`emes diff´erenciels
4910.1 Propri´et´es et D´efinitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.2 Cas scalaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.3 Cas matriciel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 10.4´Evaluation deeAt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5010.4.1 Calcul num´erique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5010.4.2Adiagonale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5010.4.3 Utilisation de la formule de Sylverster
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011 Quelques extras
5311.1 Forme de Jordan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5311.2 Matrice compagne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 iii 1 /55Chapter1
G´en´eralit´es
1.1 D´efinitions
D´efinition 1.1.1.une matrice sur le corpsKest un tableau rectangulaire de scalairesaijde la forme : A=0 BBBBBBBBBB@a
11a12::: a1n
a 21a m1::: ::: amn1 C
CCCCCCCCCA; A(m£n) = (aij)
avecaij2R;C;Rh¸ipolynˆome en¸.... Lesm n-uplets(ai1::: ain)i2 f1:::mgsont appel´eslignesdeA.Lesn m-uplets0
BBBBBB@a
1j a mj1 CCCCCCAj2 f1:::ngsont appel´escolonnesdeA.
Le couple(m;n)est appel´e ladimensionde la matrice.C"est un formalisme simple qui permet de g´en´eraliser les manipulations des scalaires (Attention :
avec la perte de la commutativit´e) et de manipuler avec un seul langage des scalaires, des vecteurs et des tableaux.1.2 Exemples
1. Soitfune fonction r´eelle de plusieurs variablesf(x1;:::;xn) (x= (x1:::xn))on d´efinit
le gradient : f x=@f @x =µ@f @x1;:::;@f
@x2 /55Chapitre 1 : G´en´eralit´es
matrice ligne du vecteur des d´eriv´ees partielles. Le Hessien ou matrice Hessienne est d´efinie par : H x=0 BBBBBB@@
2f2x1¢¢¢@2f
@x 1@xn 2f @x m@x1¢¢¢@2f 2xn1 CCCCCCA
matrice carr´ee sym´etrique des d´eriv´ees secondes.2. Soitfune fonction vectorielles de plusieurs variablesf(x1;:::;xn)0
BBBBBB@f
1(x1;:::;xn)
f m(x1;:::;xn)1 CCCCCCA
on peut alors d´efinir le Jacobien ou matrice Jacobienne : F x=0 BBBBBB@@f
1 @x1¢¢¢@f1
@x n @f m @x1¢¢¢@fm
@x n1 CCCCCCA:
1.3 Op´erations ´el´ementaires
1.3.1´Egalit´e
A=B, 8(i;j)aij=bij:
1.3.2 Somme
A+B= (aij+bij)
avecAetBde mˆeme dimension.1.3.3 Multiplication par un scalaire
kA= (kaij)Yann MOR
`ERE1.3 Op´erations ´el´ementaires 3 /55
1.3.4 Multiplication
A(m£p) = (aik)B(p£n) = (bkj)
A¢B(m£n) = (cij)
aveccij=Pp k=1aikbkj.Propri´et´es :
1.3.5 Transpos´ee d"une matrice
A T=ALes lignes deAsont les colonnes deAT.
0 BBBBBBBBBB@a
11a12::: a1n
a21......
a m1::: ::: amn1 CCCCCCCCCCAT
=0 BBBBBBBBBB@a
11a21::: a1m
a12......
a1n::: ::: amn1
CCCCCCCCCCA:
A (m£n)= (aij)!AT(n£m)=¡aTij¢avecaTij=aji.Pour les vecteurs :
(x1::: xn)T=0 BBBBBB@x
1 x n1 CCCCCCA
Propri´et´es :
Cours de Calcul Matriciel
4 /55Chapitre 1 : G´en´eralit´es
1.3.6 D´erivation
A (m£n)= (aij)avecaijd´ependant de®.A(®) = (aij(®))dA(®)
d® =µdaij(®) d®1.3.7 Int´egration
Z ®21A(®)d®=µ
Z®2
1a1.3.8 Tranconjug´ee
SiAest une matrice d´efinie dans un corps op´erant surC: A H= ATtranspose de la conjuge;
avecA(m£n)= (aij), A (m£n)= ( a ij)etAH(m£n)=¡ aTij¢=¡aHij¢avecaHij=
a ij.Propri´et´es :
A1.3.9 Trace d"une matriceA(m£n)= (aij)
trace(A) =min(m;n)X i=1a iiPropri´et´es :
trace(A)1.3.10 Matrice d´ecompos´ees en blocs (ou partitionnement)
A (m£n)=³ A ij(m£n)´ avecPI i=1mi=metPI i=1ni=nce qui est int´eressant lorsque la matrice contient des blocs nuls. 0 BBBBBBBBBB@1 2j3 5
3 4j2 2
1 1j0 21
CCCCCCCCCCA=0
BBBBBBBBBB@1j2j3 5
3j4j2 2
¡ j ¡ j ¡ ¡
1j1j0 21
CCCCCCCCCCA
Yann MOR
`ERE1.3 Op´erations ´el´ementaires 5 /55
Exemple de partitionnement important :
A (m£n)= (aij) = (a1;a2;:::;an)avecaicolonnes de A=0 BBBBBB@®
T1 Tn1 CCCCCCA; ®
Tjlignes deA
La transpos´ee est utile dans le sens o`u un vecteur est une matrice colonne, donc une ligne est un covecteur et A (m£p)¢B(p£n)=0 BBBBBB@®
T1£b1®T1£b2::: ®T1£bn
Tm£b1®Tm£b2::: ®Tm£bn1
CCCCCCA=¡®Tibj¢
L"int´erˆet est quie si l"on dispose de 2 matricesAetBpartitionn´ees telles que les sommes et les
produits aient un sens : k=1AikBkjavecºle nombre de blocs en ligne deAet le nombre de blocs en ligne deBExemples :
A (4£5)=0 BBBBBBBBBB@1 2 0 0 0
3 4 0 0 0
0 0 5 1 2
0 0 3 4 11
CCCCCCCCCCA; B
(5£4)=0 BBBBBBBBBBBBBB@3¡2 0 0
2 4 0 0
0 0 1 2
0 0 2¡1
0 0¡4 11
CCCCCCCCCCCCCCA
AB (4£4)=0 BBBBBBBBBBBBBB@0
B B@1 2 3 41 C CA0 BB@3¡2
2 41 CCA0(2£2)
0 (2£2)0 BB@5 1 2
3 4 11
C CA0 BBBBBB@1 2
2¡1
¡4 11
CCCCCCA1
CCCCCCCCCCCCCCA=0
BBBBBBBBBB@7 6 0 0
17 2 0 0
0 0¡1 11
0 0 7 31
CCCCCCCCCCA
trace(A) =Pmin(4;5) i=1aii= 1 + 4 + 5 + 4 = 14,trace(B) =Pmin(4;5) i=1aii= 3 + 4 + 1¡1 = 7Cours de Calcul Matriciel
6 /55Chapitre 1 : G´en´eralit´es
AB (5£5)=0 BBBBBBBBBBBBBB@0
BB@3¡2
2 41 C CA0 B B@1 2 3 41 CCA0(2£2)
0 (2£2)0 BBBBBB@1 2
2¡1
¡4 11
CCCCCCA0
BB@5 1 2
3 4 11
C CA1 CCCCCCCCCCCCCCA
AB (5£5)=0 BBBBBBBBBBBBBB@¡3¡2 0 0 0
14 20 0 0 0
0 0 11¡9 4
0 0 7¡2 3
0 0¡17 0¡71
CCCCCCCCCCCCCCA
Montrer que siAposs`ede une ligne nulle, alorsABposs`ede une ligne nulle aussi : A (m£p)= (a1;:::;ap) =0quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] résumé sur les matrices pdf
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