[PDF] Cours de mathématiques - Exo7

View - Download Cours de mathématiques - Exo7

Previous PDF

Next PDF

Valeurs propres,

vecteurs propresDans ce chapitre, nous allons définir et étudier les valeurs propres et les vecteurs propres d"une matrice.

Ce chapitre peut être vu comme un cours minimal pour comprendre la diagonalisation ou comme une introduction à la théorie de la réduction des endomorphismes.

Notations.

K

est un corps. Dans les exemples de ce chapitre,KseraRouC. Les matrices seront des éléments deMn(K),

c"est-à-dire des matrices carrées, de taillenn, à coefficients dansK.

1. Valeurs propres et vecteurs propres

1.1. Motivation

Voici deux transformations simples définies par une matrice : 1. h:x y 7!2 0 0 2 x y =2x 2y

L"applicationhest une homothétie deR2(centrée à l"origine). SiDest une droite passant par l"origine,

alors elle est globalement invariante par cette transformation, c"est-à-dire siP2Dalorsh(P)2D(mais

on n"a pash(P) =P). On retient ici que n"importe quel vecteurxyest envoyé sur son double 2xy. 2. k:x y 7!2 0 0 3 x y =2x 3y L"applicationkn"est plus une homothétie. Cependant l"axe(Ox)est globalement invariant park; de

même, l"axe(Oy)est globalement invariant. On retient qu"un vecteur du type(x0)est envoyé sur son

double 2(x0), alors qu"un vecteur du type0yest envoyé sur son triple 30y.

Pour une matrice quelconque, il s"agit de voir comment on se ramène à ces situations géométriques simples.

C"est ce qui nous amène à la notion de vecteurs propres et valeurs propres.

1.2. DéfinitionsDéfinition 1.

SoitA2Mn(K).

est ditevaleur proprede la matriceAs"il existe un vecteur non nulX2Kntel queAX=X.• Le vecteurXest alors appelévecteur propredeAassocié à la valeur propre. VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES1. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES2

1.3. Exemples

Exemple 1.

SoitA2M3(R)la matrice

A=0 @1 3 3 2 112 87 61
A

Vérifions queX1=0

@1 0 11 A est vecteur propre deA.

En effet,

AX 1=0 @1 3 3 2 112 87 61
A0 @1 0 11 A =0 @2 0 21
A =20 @1 0 11 A =2X1. DoncX1est un vecteur propre deAassocié à la valeur propre1=2.

Vérifions queX2=0

@0 1 11 A est vecteur propre deA.

On calculeAX2et on vérifie que :

AX

2=13X2

DoncX2est un vecteur propre deAassocié à la valeur propre2=13.

Vérifions que3=7 est valeur propre deA.

Il s"agit donc de trouver un vecteurX3=0

@x 1 x 2 x 31
A tel queAX3=7X3. AX

3=7X3()0

@1 3 3 2 112 87 61
A0 @x 1 x 2 x 31
A =70 @x 1 x 2 x 31
A 0 @x

1+3x2+3x3

2x1+11x22x3

8x17x2+6x31

A =0 @7x1 7x2 7x31 A 8 :6x1+3x2+3x3=0

2x1+4x22x3=0

8x17x2x3=0On résout ce système linéaire et on trouve comme ensemble de solutions :

¦€tttŠ

jt2R© . Autrement dit, les solutions sont engendrées par le vecteurX3=0 @1 1 11 A On vient de calculer queAX3=7X3. AinsiX3est un vecteur propre deAassocié à la valeur propre 3=7.

Exemple 2.

Soit A=0 1 1 1

Le réel=1+p5

2 est une valeur propre deA. En effet : A1 =1 VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES1. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES3

Exemple 3.

Soit A =0 @cossin0 sincos0

0 0 11

Ala matrice de la rotation de l"espace d"angleet d"axe(Oz). SoitX3=

€001Š

. AlorsAX3=X3. DoncX3est un vecteur propre deAet la valeur propre associée est 1.

Exemple 4.

Soit A=0 1 11

Le complexej=12

+ip3 2 =ei23 est une valeur propre deA. En effet : A1 j =j1 j

1.4. Cas d"une matrice diagonale

Le cas idéal est celui d"une matrice diagonale. Il est en effet très facile de lui trouver des valeurs propres et

des vecteurs propres. C"est le but de la " diagonalisation » de se ramener à ce cas!

Exemple 5(Cas d"une matrice diagonale).

SoitAla matrice diagonale

A=0 B BBBB@ 10 0 0200
00n10 0 0n1 C

CCCCA.

Alors les scalaires1,...,nsont des valeurs propres deA, admettant respectivement comme vecteurs propres associés : X 1=0 B BB@1 0 01 C

CCAXn=0

B BB@0 0 11 C CCA.

La preuve est immédiate. Le vecteurXi=

0 B ..010...1 C A (où toutes les coordonnées sont nulles, sauf1en positioni) vérifie en effet AX i=0 B BBBB@ 10 0 0200
00n10

0... 0n1

C

CCCCA0

B

BBBBB@.

0 1 0 ...1 C

CCCCCA=0

B

BBBBB@.

0 i 0 ...1 C

CCCCCA=iXi.

Conclusion : les éléments diagonaux sont des valeurs propres deA! On verra plus loin dans ce chapitre qu"il

n"y a pas d"autres valeurs propres. VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES1. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES4

1.5. Les vecteurs propres forment une famille libreThéorème 1.SoitA2Mn(K). Soient1,2,...,rdes valeurs propres distinctes deA, et soitXiun vecteur propre associé

ài(pour16i6r). Alors les vecteurs X1,X2,...,Xrsont linéairement indépendants.Démonstration.Raisonnons par récurrence surr, le nombre de valeurs propres.

Initialisation.

Pourr=1, la famille constituée du seul vecteurfX1gest toujours une famille libre, car

X1est non nul.

Hérédité.

Supposons queX1,X2,...,Xr1soient des vecteurs propres linéairement indépendants (oùr>2est fixé). Soitrune autre valeur propre, et soitXrun vecteur propre associé. Soient

1,2,...,r1,r2Ktels que

1X1+2X2++r1Xr1+rXr=0. (1)

Ainsi

A1X1+2X2++r1Xr1+rXr=0

donc

1AX1+2AX2++r1AXr1+rAXr=0.

Comme lesXisont des vecteurs propres, alors

11X1+22X2++r1r1Xr1+rrXr=0. (2)

À partir des équations (

1 ) et ( 2 ), on calcule l"expression(2)r(1):

1(1r)X1+2(2r)X2++r1(r1r)Xr1=0 (3)

(le vecteurXrn"apparaît plus dans cette identité). Comme la famillefX1,X2,...,Xr1gest une famille

libre, alors la combinaison linéaire nulle ( 3 ) implique que tous ses coefficients sont nuls :

1(1r) =02(2r) =0r1(r1r) =0

Mais comme les valeurs propres sont distinctes alorsir6=0 (pouri=1,...,r1). Ainsi

1=02=0r1=0.

En se souvenant qu"un vecteur propre n"est pas le vecteur nul, alors l"équation ( 1 ) implique en plus r=0. Bilan : on vient de prouver que la famillefX1,X2,...,Xrgest une famille libre.

Conclusion.

Par le principe de récurrence, des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes

sont linéairement indépendants.Mini-exercices. 1. SoitA=2 53 4. Montrer queX1=11etX2=53sont des vecteurs propres deA. Quelles sont les valeurs propres associées? Même question avecA=211 3,X1=2p51,X2=2 p51. 2.

SoitA=

€11 002 01 0 0Š

. Montrer que1=2,2=1et3=0sont valeurs propres deA. Pour chaque valeur propre, trouver un vecteur propre associé. 3.

Quelles sont les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice identitéIn? Et de la matrice

nulle 0n? 4. Montrer qu"une matriceA2Mn(K)a au plusnvaleurs propres distinctes (utiliser un résultat du cours). 5.

SoitA=

€57 70 5 00 72Š

. Montrer que les vecteursX1=

€311Š

,X2=

€022Š

,X3=

€511Š

sont vecteurs propres de A. Montrer quefX1,X2,X3gne forme pasune famille libre. Est-ce que cela contredit un résultat du VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES2. POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE5cours?

2. Polynôme caractéristique

Comment trouver les valeurs propres d"une matrice parmi tous les éléments deK?

2.1. Caractérisation des valeurs propres

Voici le résultat fondamental pour déterminer les valeurs propres.Proposition 1.

Soient A2Mn(K)et2K. Alors :

est une valeur propre de A()det(AIn) =0.Rappel :Inest la matrice identité de taillenn; quel que soit le vecteurX2Kn,InX=X.

Démonstration.

est une valeur propre deA() 9X2Knnf0g,AX=X () 9X2Knnf0g,(AIn)X=0 ()Ker(AIn)6=f0g ()AInn"est pas injective ()AInn"est pas inversible ()det(AIn) =0.2.2. Polynôme caractéristique Nous transformons la caractérisation précédente en un outil pratique :Définition 2. SoitA2Mn(K). Lepolynôme caractéristiquedeAest

A(X) =det(AXIn).La proposition1 devient alors :

valeur propre deA()A() =0Remarque.quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36

[PDF] cours determinant d'une matrice

[PDF] résumé sur les matrices pdf

[PDF] matrice deisenhower excel

[PDF] matrice deisenhower vierge

[PDF] télécharger matrice eisenhower excel

[PDF] matrice eisenhower vierge

[PDF] fichier excel matrice eisenhower

[PDF] matrice eisenhower exemple

[PDF] commandabilité définition

[PDF] exercice corrigé commandabilité et observabilité

[PDF] forme canonique commandable

[PDF] observabilité définition

[PDF] matrice de trace nulle probleme

[PDF] querelle des anciens et des modernes jean de la fontaine

[PDF] anecdote sur anne frank