LIMITES DES FONCTIONS
Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie. C'est le cas des Forme indéterminée : On ne peut pas prévoir la limite éventuelle.
Limites et asymptotes
A Limites et infini. Soit f une fonction. 1- Limite infinie en l'infini Comme x² et x tendent vers +? on a une forme indéterminée du type ? – ?. On.
1.1 LHôpital 3 fois de suite Soit la fonction f(x) suivante CORRECTION
Nous nous retrouvons coincé avec la forme indéterminée infini moins infini. Nous vous proposons de lever l'indétermination en factorisant le dénominateur.
Limites et asymptotes
I. Limites en l'infini. 1) Limite infinie à l'infini. Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type [a;+?[ :.
LIMITES ET CONTINUITE I) Limites de fonctions usuelles Limite
Limite infinie d'une fonction à l'infini Lorsqu'il n'y a pas de conclusion en général on dit alors qu'il y a un cas de forme indéterminée.
CQP 208 - Chapitre 1 Limite et continuité
Sep 18 2015 Évaluation de la limite d'une forme indéterminée ... Nous dirons que L est la limite d'une fonction f(x) lorsque x tend vers moins l'infini.
Fiche technique sur les limites
3 Opération sur les limites et formes indéterminées. 3.1 Somme de fonctions. Si f a pour limite l l l. +? ??. +?. Si g a pour limite.
Limites de fonctions
tend vers l'infini mais verrons également des limites lorsque x Approche d'une limite infinie en l'infini ... Attention à la forme indéterminée.
Formulaire des limites
indique une forme indéterminée ou indique que l'on décide en fonction du l'infini : plus ou moins l'infini selon la règle des signes. Quelques trucs :.
Chapter 1 Limites et Equivalents
Ainsi h(x) tend plus vite vers l'infini que f (x) qui elle même tend plus Numérateur et dénominateur tendent vers 0 c'est donc une forme indéterminée.
[PDF] Limites de fonctions
Dans le cas d'une limite infinie en un point d'abscisse finie on est en présence d'une asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction Exemple :
[PDF] LIMITES DES FONCTIONS - maths et tiques
Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie Forme indéterminée : On ne peut pas prévoir la limite éventuelle PRODUIT
[PDF] Limites et asymptotes
I Limites en l'infini 1) Limite infinie à l'infini Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type [a;+?[ :
Limite de fonction : Lever lindétermination
Infini sur infini : forme indéterminée Comment lever l'indétermination dans le calcul de - Mettre le terme du plus haut degré en facteur ou - Règle de l'
[PDF] Fiche technique sur les limites - Lycée dAdultes
f(x) = ? La droite x = a est asymptote verticale à Cf 3 Opération sur les limites et formes indéterminées 3 1 Somme de fonctions Si f a pour limite
[PDF] FONCTIONS 1) Limites 1-1 méthodes pour lever une
1-1 méthodes pour lever une indétermination au voisinage d'un infini au moins une solution x dans I `a l'équation y = f(x) 2-3 Fonctions réciproques
[PDF] Limites – Corrections des Exercices
Pour lever cette forme indéterminée on factorise l'expression et on utilise les règles de limite d'un produit : x3 + x2 = x3(1 + 1 x ) et puisque lim
Déterminer la limite dune fonction avec une forme indéterminée
12 sept 2016 · Objectifs: - connaitre la technique pour trouver la limite d'une fonction avec une forme Durée : 10:07Postée : 12 sept 2016
Est-ce que l'infini L'infini est une forme indéterminée ?
Ces deux fonctions tendent vers l'infini lorsque �� tend vers l'infini, ce qui signifie que cette limite peut être écrite de manière symbolique + ? ? + ? . C'est une forme indéterminée, ce qui signifie que nous sommes incapables de déterminer la valeur de cette limite sous la forme actuelle.Comment lever l'indétermination infini sur infini ?
Elle consiste à :
1mettre le terme de plus haut degré en facteur.2dans le cas d'une fraction, simplifier au maximum.3l'indétermination devrait avoir disparue et il est possible de calculer la limite à l'aide des règles de calcul usuelles.Quelle sont les forme indéterminée limite ?
Liste des formes indéterminées
Somme de limites : si on a $\\large\\infty-\\infty$, on ne peut pas conclure. Produit de limites : si on a $\\large 0\\times \\infty$, on ne peut pas conclure. Quotient de limites : si on a $\\large\\dfrac{\\infty}{\\infty}$ ou $\\large\\dfrac{0}{0}$, on ne peut pas conclure.- Pour lever une indétermination, il existe de nombreuses techniques, par exemple via des procédés algébriques (factorisation, multiplication par la quantité conjuguée, etc.) ou des procédés analytiques (utilisation de la dérivée, de développements limités, de la règle de L'Hôpital, etc.).
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Chap V :Limites et asymptotes
I. Limites en l"infini
1) Limite infinie à l"infini
Définition 1 :Soitfune fonction définieau moinssur un intervalle du type[a;+∞[: On dit quefa pour limite+∞en+∞et on notelimx→+∞f(x) = +∞sif(x)est aussi grand que l"on veut dès quexest assez grand ( Lorsqu"on dit grand, on sous-entend positif ). faire le lien avec tableau de variationsExemple :limx→+∞x= +∞;limx→+∞x2= +∞;limx→+∞x3= +∞;limx→+∞⎷x= +∞
On définit de mêmelimx→+∞f(x) =-∞parf(x)est aussi grand dans les négatifs que l"on veut dès
quexest assez grand.On définit encore de manière analoguelimx→-∞f(x) = +∞,limx→-∞f(x) =-∞
(attention toutefois à l"ensemble de définition). Exemple :limx→-∞x=-∞;limx→-∞x2= +∞;limx→-∞x3=-∞2) Limite finie à l"infini
Définition 2 :Soitfune fonction définieau moinssur un intervalle du type[a;+∞[: On dit quefa pour limite0en+∞et on notelimx→+∞f(x) = 0sif(x)est aussi petit que l"on veut dès quexest assez grand ( Lorsqu"on dit petit, on sous-entend proche de zéro ). On définira de même :limx→-∞f(x) = 0.Exemple :limx→+∞1
x= 0;limx→+∞1x2= 0;limx→+∞1x3= 0;limx→+∞1⎷x= 0Exemple :limx→-∞1
x= 0;limx→-∞1x2= 0;limx→-∞1x3= 0Page 1/5
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On peut à présent définir une limite quelconque en l"infini : Définition 3 :Soitfune fonction définieau moinssur un intervalle du type[a;+∞[: Avoirlimx→+∞f(x) =lest équivalent à avoirlimx→+∞[f(x)-l] = 0 Remarque :limx→+∞f(x) =l?f(x) =l+ε(x)aveclimx→+∞ε(x) = 0. -→démonstration Remarque :Une fonction n"a pas nécessairement de limite (finie ou infinie) lorsquextend vers fdéfinie surRparf(x) = cos(x)n"a de limite ni en-∞ni en+∞.II. Limite en un pointa
1) Limite en0
Définition 4 :Soitfune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en0: Sif(x)est aussi grand (positif) que l"on veut dès quexest assez proche de0, on dit quefa pour limite+∞en0et on notelimx→0f(x) = +∞. (On définit de mêmelimx→0f(x) =-∞.)Exemple :limx→01
x2= +∞limx→01⎷x= +∞. Remarque :Une fonction peut avoir une limite différente à gauche et à droite de0, on notera alors : lim x→0 x >01 x= +∞etlim x→0 x <01x=-∞ou encorelim x→0 x >01x3= +∞etlim x→0 x <01x3=-∞On note également parfois :lim
x→0+1 x3= +∞. Définition 5 :Soitfune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en0: Sif(x)est aussi petit que l"on veut (proche de0) dès quexest assez proche de0, on dit quefa pour limite0en0et on notelimx→0f(x) = 0. Exemple :limx→0x= 0;limx→0x2= 0;limx→0x3= 0;limx→0⎷ x= 0 Définition 6 :Soitfune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en0: On dit quefa pour limitelen0lorsque la fonctionx?→f(x)-la pour limite0 en0. Remarque :On peut traduire mathématiquement cette définition par lim x→0f(x) =l?limx→0?f(x)-l?= 0Page 2/5
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2) Limites ena?R
Définition 7 :Soitfune fonction définie sur un intervalle ouvert ena, on dit quefa une limite enasi la fonctionh?→f(a+h)a une limite en0et alors : lim x→af(x) = limh→0f(a+h)Exemple :On alimx→1?
1 +1 (x-1)2? = lim h→0?1 +1h2?
Remarque :limx→af(x) =l?f(x) =l+ε(x)aveclimx→aε(x) = 0. Remarque :Sia?Dfet silimx→af(x)existe, alorslimx→af(x) =f(a).Exemple :Sia >0,limx→a⎷
x=⎷a.SiPest un polynôme,limx→aP(x) =P(a).
SiRest une fraction rationnelledéfinie ena,limx→aR(x) =R(a).III. Opérations sur les limites
Dans toute cettte partie les limites des fonctionsfetgsont??aux mêmes points??à savoir+∞, -∞oua?R.1) Somme
On a le tableau récapitulatif suivant :
limf(x) =lll+∞-∞+∞ limg(x) =l?+∞-∞+∞-∞-∞ lim?f(x) +g(x)?=l+l?+∞-∞+∞-∞F.I2) Produit
On a le tableau récapitulatif suivant :
limf(x) =ll >0l <0l >0l <0+∞-∞+∞0 limg(x) =l?+∞-∞+∞-∞-∞+∞ou-∞Page 3/5
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3) Quotient
On a le tableau récapitulatif suivant :
limf(x) =+∞-∞±∞l <0ou-∞l >0ou+∞0 limg(x) =l?>0l?<0l?>0l?<0±∞0+0-0+0-0 lim?f(x)g(x)? Remarque :0+(resp.0+) indique que la limite est nulle et que la fonction reste positive (resp. négative). Il y a quatre formes indéterminées :+∞ - ∞;0× ∞;∞ ∞;00 Remarque :Avec ces régles de calcul et quelques transformations on peut trouver n"importe quelle limite. Exemple :On cherchelimx→+∞?x3-3x2+ 4x+ 1?. Si on voit ce polynôme comme une somme de monômes on obtient une F.I. du type +∞ - ∞mais on peut toujours écrirex3-3x2+ 4x+ 1 =x3? 1-3 x+4x2+1x3? aveclimx→+∞x3= +∞etlimx→+∞? 1-3 x+4x2+1x3? = 1-0 + 0 + 0 = 1par somme des limites. On a donc, par produit des limites,limx→+∞?x3-3x2+ 4x+ 1?= +∞vu comme??1×+∞??. -→A faire en TD : cas des polynômes et des fractions rationnelles.IV. Interprétation graphique et asymptotes
1) Asymptote horizontale
Silimx→+∞f(x) =l,
pourMetPles points d"abscissesx, lorsquexprend des valeurs de plus en plus grandes, la distancePMtend vers0:
On dit alors que la droiteDd"équationy=lest
asymptote horizontaleà la courbeCfau voisinage de+∞. Interprétation graphique pourlimx→-∞f(x) =l 01230 1 2 3 4 5 6 7 8
xyx lD Cf PMRemarque :On peut définir de même l"asymptote d"équationy=len-∞silimx→-∞f(x) =l
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2) Asymptote verticale
Silimx→af(x) =±∞,
on dit que la droiteDd"équationx=aest asymptote verticaleà la courbeCf. PetMsont ici les deux points de même ordonnée et la distancePMtend vers zéro lorsque cette ordonnée dePetMtend vers+∞. Interprétation graphique pourlimx→af(x) =-∞ 012340 1 2 3
xyaD CfP M
3) Asymptote oblique
Définition 8 :Soitfune fonction définie sur un intervalle du type[α;+∞[, s"il existe deux réelsa
etbtels quelimx→+∞[f(x)-(ax+b)] = 0on dira que la droiteDd"équationy=ax+b est asymptote obliqueàCfau voisinage de+∞. Remarque :La méthode de détermination est H.P. On a nécessairementlimx→+∞f(x) = +∞Interprétation graphique, avecPet
Mles deux points d"abscissesx, pour
limx→+∞[f(x)-(ax+b)] = 0 012340 1 2 3 4 5 6 7 8
xyxDCf
PMOn peut de même définir une asymptote oblique au voisinage de-∞silimx→-∞[f(x)-(ax+b)] = 0.
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