[PDF] Classe : BTS 2 Probabilité conditionnelle Exercice 1 : Dans une

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Classe : BTS 2Probabilité conditionnelle

Exercice 1 :

Dansune usine fabriquantdesperceuses électriques, uneétude statistique permetdeconstater queles perceusesprésentent

principalement deux défauts D

1et D2et conduit à dégager les résultats suivants :

La probabilité qu"une perceuse présente le défaut D

1est de 0,005.

La probabilité qu"une perceuse présente le défaut D

2est de 0,01.

Les événements D

1et D2ne sont pas indépendants et la probabilité de D1sachant D2est de 0,25.

On prend une perceuse au hasard. Calculer les probabilités des événements suivants : a)La perceuse présente les deux défauts. b)La perceuse présente au moins un défaut. c)La perceuse ne présente aucun défaut

Exercice 2 :

Une entreprise est spécialisée dans la vente de câbles métalliques. Ces câbles proviennent de deux fournisseurs A et B, dans

les proportions de60% et 40%, qui livrent l"un et l"autre deux catégories de produits désignés par C1et C2. Dans les livraisons

de A figurent 50% de câbles C

1et 50% de câbles C2; dans celles de B figurent 20% de câbles C1et 80% de câbles C2. Sans

distinction de provenances et de catégories, ces câbles sont proposés à la vente.

On désigne parA∩C1l"événement " un câble pris au hasard dans le stock de vente provient de A et il est de la catégorie C1".

a)Calculer la probabilité de cet événementA∩C1puis celle de l"événementB∩C1.

En déduire la probabilité, notéep(C1), qu"un câble pris au hasard dans le stock de vente soit de la catégorie C1?

b)Un câble est pris au hasard; on constate que c"est un câble de la catégorie C1. Quelle est la probabilité qu"il provienne du fournisseur B?

Exercice 3 :

( Bréal p 40 ) Trois usines A, B et C fournissent respectivement 25%, 35% et 40% des carreaux nécessaires à une entreprise de

construction. Dans leurs livraisons, il y a en moyenne 5, 4 et2% de carreaux inutilisables. Un carreau est choisi au hasard dans un stock important, ce carreau est défectueux. a)Quelle est la probabilité qu"il soit défectueux?

b)Quelles sont les probabilités Prob(A/D),Prob(B/D) et Prob(C/D) qu"il provienne des usines A, B ou C?

Exercice 4 :

On a observé que 2% des micros-ordinateurs d"un type donné tombaient en panne par mois d"utilisation. On suppose que

les pannes sont indépendantes.

OnnoteXlavariablealéatoireassociant lenombremensuel depannes prévisibles d"unparcde150 machines. (Onassimilera

les choix des 150 machines à un tirage avec remise ).

1.Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer à 10-3la probabilité des événements suivants :

A : " Le nombre mensuel de pannes est de 5 " B : " Le nombre mensuelde pannes est au plus égal à 3 ".

2.On admet que le la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson. Donner le paramètre de cette loi

a)Calculer à 10-3près la probabilité des événements A et B. de la question 1.

b)DéterminerlenombreminimalNtelquelaprobabilitédel"événement"LenombredepannesestauplusN"soitsupérieur

à 0,99.

Exercice 5 :

Un rayonlaser est dirigé vers une cible difficile à atteindre. D"une statistique préalable, on déduit que la probabilitépour que

ce rayon atteigne la cible est 0,01. On fait l"expérience quiconsiste à émettrenfois le rayon laser, les émissions étant deux à

deux indépendantes et ayant même probabilité d"atteindre la cible.

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où la cible est atteinte par le rayon laser au cours de cette expérience.

1.Déterminer la loi de probabilité suivie par X . Dans le cas oùn=300, calculer l"espérance mathématique et l"écart-type de

cette loi.

2.Pour une expérience avec un nombrend"essais,n≥50 , on admet qu"il est légitime d"approcher la loi de probabilité de X

par une loi de poisson. a)Donner en fonction denle paramètreλde cette loi de poisson.

b)On estime que l"expérience est concluante lorsque le rayon laser atteint au moins 3 fois la cible. Donner les valeurs de X

correspondant à l"événement " expérience non concluante ",et exprimer la probabilité de cet événement en fonction deλ.

c)Soitflafonctiondéfiniepourxpositifounulpar:f(x)=e-x(1+x+x2

2).Etudierlesvariationsdefetcalculerf(6,1);f(6,2);f(6,3).

d)En utilisant les résultats de la question2.c), donner un nombren0d"essais à partir duquel la probabilité de l"événement "

expérience concluante " est strictement supérieure à 0,95.

Classe : BTS 2Corrigé

Exercice1

Les événements D1et D2ne sont pas indépendants doncp(D1∩D2)?=p(D1)×p(D2). Ici on doit calculerp(D1∩D2) à l"aide de la probabilité conditionnellep(D1/D2).

"la perceuse présente les deux défauts " s"écritD1∩D2. On aP(D1∩D2)=p(D1/D2)×p(D2)=0,25×0,01=0,0025.

" la perceuse présente au moins un défaut " s"écritD1?D2. On ap(D1?D2)=p(D1)+p(D2)-p(D1∩D2)=0,005+0,01-0,0025=0,0125.

L"événement " la perceuse ne présente aucun défaut " est le contraire de l"événement " la perceuse présente au moins un

défaut ".

On ap(

D1?D2)=1-p(D1?D2)=1-0,0125=0,9875

Exercice2

On note A " le câble provient du fournisseur A ", B " le câble provient du fournisseur B " Ci" le câble est de la catégorie Ci".

Les données sont alors P(A) = 0,6; P(B) = 0,4; P(C

1/A) = 0,5; P(C2/A) = 0,5; P(C1/B) = 0,2;P(C2/B) = 0,8.

1.On peut écrire : P(A∩C1)= P(A)×P(C1/A) = 0,6×0,5=0,3 et P(B∩C1) = P(B)×P(C1/B) = 0,4×0,2=0,08

d"ou P(C

1) = P(A∩C1) + P(B∩C1) = 0,38.

2.On demande ici P(B/C1) P(B/C1)=P(B/C1)

p(C1)=0,080,38=0,21.

Exercice3

On connaît : P(A) = 0,25; P(B) = 0,35; P(C) = 0,4; P(D/A) =0,05;P(D/B) = 0,04; P(D/C) = 0,02.

alors P(D∩A) = P(D/A)×P(A)= 0,05×0,25 = 0,0125 ; P(D∩B) = P(D/B)×P(B) = 0,04×0,35=0,014;

P(D∩C) = P(D/C)×P(C) = 0,02×0,4=0,008.

On en déduit P(D) = 0,0345 puisp(A/D)=P(A∩D) p(D)=0,01250,0345=125345=0,36 p(B/D)=P(B∩D) p(D)=0,0140,0345=140345=0,41p(C/D)=P(C∩D)p(D)=0,0080,0345=80345=0,23

Exercice4

1.Les tirages étant avec remise, ils sontidentiquesetindépendants.

De plus, l"expérience ne comporte que2issues possibles: Panne (avec la probabilité 0,02) ou non panne.

On en déduit queXsuit la loiB(150; 0.02).

A : "Le nombre mensuel de pannes est égal à 5» :p(X=5)=C5150×0,025×0,98145=0,101 à 10-3près.

2.)Si l"on approche cette loi par une loi de poisson, les deux lois doivent avoir la même espérance doncλ=np=150×0,02=

3.

2.a)A : "Le nombre mensuel de pannes est égal à 5» :p(X=5)=e-3λ5

5!=0,101 à 10-3près.

Exercice5

1.A chaque fois il y a deux éventualités complémentaires, le succès étant " le rayon atteint la cible " avec une probabilité de

0,01. Les émissions sont indépendantes deux à deux.

La variable aléatoire X suit la loi de bernouilliB(300;0,01) donc E(X) =n.p= 3 etσ(X) =? npq?1,72.

2. a)n≥50; on approcheB(n,p) par une loi de poisson P(np) . Iciλ=np=0,01n

b)La probabilité de l"événement " expérience non concluante "estp(X<3)=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)

d"oup(X<3)=e-λ+λe-λ+λ2

2e-λ=e-λ?

1+λ+λ22?

c)f(x)=e-x(1+x+x22) doncf?(x)=-e-x(1+x+x22)+e-x(0+1+x)=-x22e-x.

Commex2≥0 et e-x>0, on en déduit quef?(x)>0 six?=0. La fonctionfest donc strictement croissante.

Calculsf(6,1)?0,0577;f(6,2)?0,0536;f(6,3)?0,0498.

d)La probabilité de l"événement " expérience concluante " est1-f(λ) or 1-f(λ)>0,95 équivaut àf(λ)<0,05

D"après la question2. c)f(λ)<0,05 dès queλ≥6,3 soit 0,01n≥6,3 ce qui donnen≥630.

La probabilité de l"événement " expérience concluante " estdonc strictement supérieure à 0,95 pourn≥630.

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