[PDF] Probabilit´es Calculer la probabilité qu'il

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Probabilit

´es

?2006

Tabledesmatieres

Probabilit

´essimples

1.Introduction:lienfr´equence

2.Uned´enitionpratique:lemodeled'urne

3.1Vocabulaire

3.2Situationd'´equiprobabilit´e

3.3Lespremiersth´eoremes

4.D´enombrements

4.1Ensembledesnupletsd'unensemble

4.2Arrangementsd'unensemble-Permutations

4.3Combinaisonsd'unensemble

5.1Arrangementsetcombinaisons

5.2Situationsder´ef´erence

5.2.1Tiragesavecremise

5.2.2Tiragessansremise

5.2.3Tiragessimultan´es

Variablesal´eatoires

1.Variableal´eatoire

2.Sommededeuxvariablesal´eatoires

2.4.1Loisnormales

2.4.2LoisdePoisson

3.1Casd'unevariableXdiscrete

3.2Casd'unevariableXcontinue

Lesloisdeprobabilit´esclassiques

2.LoidePoisson

3.Loinormale(ditedeLaplaceGauss)

3.1Casg´en´eral

3.2Loinormalecentr´eer´eduite

3.3Retouraucasg´en´eral

3.4Quelquesairesremarquables

Exercices

2.Probabilit´esconditionnelles

Variablesal´eatoires

i

Lesloisdeprobabilit´esclassiques

1.Loibinˆomiale

2.LoidePoisson

3.Loinormale

ii

Probabilit´essimples

1.Introduction:lienfr´equence

?probabilit´e publi

´eeen

delaprobabilit´ede A. ?2.Celasignifiequeplus

Pilesoitprochede1

?2. ?stabilisationdelafr´equence?avec l'augmentationdunombred'exp´eriences. 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.51 0.49 pr

´ec´edent):

0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.505 0.495 probable), loifaibledesgrands nombres 1

2.Uned´enitionpratique:lemodeled'urne

probabilit´e: D

´enition:

probabilit´ed'un´ev´enement ???),dans

Alorsla

p=k k+q probl `eme`aunsimplecalculded´enombrement. N

3.1Vocabulaire

Onconsid`ereuneexp´erience

decetteexp´erienceestappel´e universdespossibles;onlenotesouventW.

Onappelle

d'

´ev´enement:

3.2Situationd'´equiprobabilit´e

situationd'´equiprobabilit´e. ?n.End´ecoulelefaitquesi l' ?n,formulequel'on serappellesouventsouslaforme choses l'universdespossibles.

3.3Lespremiersth´eoremes

?B=/0)alors p(A ?B)=p(A)+p(B)? 2 p(A)=1?p(A)? p(A?B)=p(A)+p(B)?p(A?B)?

4.D´enombrements

4.1Ensembledesnupletsd'unensemble

Onconsid`ereunensembleEetunentiern

el´ementsdeE.

Exemple:

SiEestl'ensemble`a3´el´ementsE=

des nfois,l'ensembledesn-listesdeE.

Exemples:

?SiEestl'ensemble`a2´el´ementsE= ?a?b?,alorsE3estl'ensemble E 2= ?(a?a);(a?b);(b?a);(b?b)?? etE3estl'ensemble E 3= ?y)o`uxetysontdes´el´ementsde?.

Card(Ep)=np.

4.2Arrangementsd'unensemble-Permutations

SoitEunensemble.Onappelle

distincts.

SiEestunensemblefinidecardinaln

pfacteurs aveclaconventionA0 n=1

SoitEunensemblefinidecardinaln

appelle n!=An n=n nfacteurs aveclaconvention0!=1?

Onauraainsi

0!=1 ?1!=1?2!=2?3!=6?4!=24?5!=120?etc?????

Apn=n!(n?p)!

3

4.3Combinaisonsd'unensemble

SoitEunensembleetpunentier.Onappelle

Exemple

SiEd´esignel'ensemble

accolade

SiEestunensemblefinidecardinaln

C pncenombre,etonalapropri´et´e: Cpn=n el´ements.

Propri

´et´es

?pourtoutentiern ????,C0n=1,Cnn=1,C1n=1. ?pourtousentiersn?p ????,avec0 ?p ?n,Cn ?pn=Cpn ?pourtousentiersn?p ????,avec1 ?p ?n?1,Cpn=Cp ?1 n ?1+Cp n?1 n p

01234567?????

01 1 11 2 121
3 1331
4 14641
5

15101051

6

1615201561

7

172135352171

1. .1

AinsiC25=10parexemple.

binˆomede

Newton

??.Cetteformuleditquesiaetbsontdeux r (a+b)n=nå p=0Cpnapbn ?p autrementdit: (a+b)n=C0nbn+C1nabn ?1+C2na2bn?2+ ?????+Cn ?1nan?1b+Cnnan

Appliqu

´e`an=4,laformuledubinˆomedonne:

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 4

5.1Arrangementsetcombinaisons

Unp Unep ensemble `ap´el´ements.LenombreCpn=Apn

5.2Situationsder´ef´erence

desortie.

5.2.1Tiragesavecremise

5.2.2Tiragessansremise

5.2.3Tiragessimultan´es

m ?=0(autrementdit, l' pB(A)=p(A ?B) p(B) p(A?B)=p(B)?pB(A)=p(A)?pA(B)? pB(A)=Card(A ?B)

Card(B)

p

B(A)=p(A)).

5

SoitWunensembleetB1

?B)estunepartitiondeW.

Propri

´et´e

Formuledesprobabilit´estotales

l' universassoci´e`al'exp´erience).

Silafamille(B1

p(A)=nå i=1p(A?Bi)=p(A?B1)+p(A?B2)+?????p(A?Bn) p(A)=p(A?B)+p(A?B) p(A) ?pA(B)+p(A)?pA(B)=p(A)soitpA(B)+pA(B)=1 6

Variablesal´eatoires

1.Variableal´eatoire

Onappelle

Onappelle

continue.Danslecas contraire,onditqu'elleest discrete.

Exemples

continue.L'imagedeWparXestl'intervalle[0 ?7?24?60]

WparXestl'ensemble

a: discreteet d´enombrable.

2.Sommededeuxvariablesal´eatoires

?i ?net1 ?j ?p,ona p(X=aietY=bj)=p(X=ai)?p(Y=bj)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

V(X+Y)=V(X)+V(Y)

7

2.4.1Loisnormales

?s1)etN(m2?s2), s2 1+s2 2.

2.4.2LoisdePoisson

l'universdecetteexp´erience.

3.1Casd'unevariableXdiscrete

Onappelle

F(x)=p(X

?x)

3.2Casd'unevariableXcontinue

Onappelle

?[0?+¥[.Alorslafonction der´epartition F(x)= x

0(f(t))dt

a0: p(a ?X ?b)=F(b)?F(a)= b af(t)dt 8 ?i ?n), alorsl'

E(X)=nå

i=1p ixi estlenombred´efinipar E(X)= ?¥xf(x)dx al

´eatoire(X

s(X)=V(X)

Onaalorslapropri´et´e

V(X)=E?X2

??[E(X)]2

V(aX+b)=a2V(X)

9

Lesloisdeprobabilit´esclassiques

A(souventappel´essucceset´echec),

quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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