Mécanique Quantique III
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Cours de Mécanique Quantique Avec Exercices corrigés
-Cours de Mécanique Quantique Avec Exercices corrigés-. 3emeAnnée PES Physique Exercices : l'effet photoélectrique. Exercice : expérience de Millikan (1916).
Mecanique quantique. Cours et exercices corriges
Introduction. 1. 1.1 Qu'est-ce que la mécanique quantique ? 1. 1.2 Brèves considérations historiques. 2. 1.3 La structure des théories physiques.
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Mécanique quantique - 3e édition
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Mécanique Quantique III
extenso les corrigés des exercices et probl`emes proposés `a la fin de chaque chapitre de l'ouvrage Mécanique Quantique tomes I et II.
Cours de Mécanique Quantique Avec Exercices corrigés
Solution. Il faut qu'il y ait absorption totale du rayonnement pour que la loi décrivant l'intensité du rayonnement émis soit universelle.
Mecanique quantique. Cours et exercices corriges
1.4 Aperçu des postulats de la mécanique quantique. 13. 1.5 Premières conséquences importantes. 16. Annexe 1.A : La physique quantique en quelques dates.
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Travaux Dirigés de Mécanique Quantique
? on peut étendre ces expressions au cas o`u la dégénérescence est continue. II. Exercices. A) On consid`ere un syst`eme dont l'espace des états qui est
Travaux dirigés de mécanique quantique – L2 ; 2019
Vous devriez trouver des résultats similaires à l'exercice 33. 35 Valeurs moyennes dans un puits infini. Considérer une particule de masse m dans une potentiel
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Universit´e Paris-Sud
Licence et Magist`ere de Physique
Travaux Dirig´es
de M´ecanique Quantique
2008-2009
Table des mati`eresTD 1 :´Equation de Schr¨odinger1TD 2 :
´Etats li´es pour un puits quelconque3
TD 3 : Fonction d"onde dans l"espace des impulsions 5TD 4 : Repr´esentation et notation de Dirac8
TD 5 : La mesure10
TD 6 : Sym´etries - Syst`eme `a 2 niveaux13
TD 7 : Oscillateur harmonique - Produit tensoriel 16TD 8 : Moments cin´etiques - spin19
TD 9 : Particules identiques21
TD 10 : Atome d"hydrog`ene23
TD 11 : Composition des moments cin´etiques27
TD 12 : Perturbation ind´ependante du temps30
TD 13 : Perturbation d´ependante du temps33
T.D. no1 :´Equation de Schr¨odinger
A. Etats li´es - Quantification de l"´energie. On consid`ere une particule plong´ee dans un potentielV(x) en forme de puits carr´e, c"est `a dire d´efini par :V(x) =-V0<0 pour-a/2< x < a/2 et nul ailleurs. (Vx) 0x V/2 a-a/21/Quel est le mouvement d"une particule dans ce potentiel en m´ecanique classique?
2/On ´etudie le cas-V0< E <0 (´etats li´es).
a/ Ecrire l"´equation de Schr¨odinger et la r´esoudre s´epar´ement dans chacune des trois zones. On
pourra poser : k 0=? 2mV0 ?2, k=?-2mE?2etK=?2m(E+V0)
?2.(1)b/ On peut montrer que, dans le cas d"une discontinuit´e de potentiel finie, les fonctions d"ondes
restent born´ees, continues et de d´eriv´ee continue. Ecrire les relations qui en d´ecoulent et en
d´eduire que :?k-iK k+ iK?2=e2iKa.(2)
Quelle est la dimension de l"espace vectoriel des solutions, pour une valeur donn´ee de l"´energie?
c/ On peut montrer que l"´equation pr´ec´edente est ´equivalente au syst`eme : |sin(Ka2)|=Kk0lorsque tan(Ka2)<0,(3)
|cos(Ka2)|=Kk0.lorsque tan(Ka2)>0 (4)
Montrer par une m´ethode graphique simple qu"il y a quantification des ´energies. Que se passe-t-il
lorsque le puits devient tr`es profond? B. Etats libres - Courant de probabilit´e - R´eflexion, transmission1/Dans le cas du puits carr´e pr´ec´edent, on ´etudie maintenant le casE >0 (´etats libres).
a/ R´esoudre l"´equation de Schr¨odinger dans chacune des trois zones et ´ecrire les relations de
raccordement. 1 b/ Montrer que pour toute ´energieE, les solutions forment un espace vectoriel de dimension deux. Montrer que toute solution peut se d´ecomposer en deuxondes planes qui se propagent en sens contraire. Peut-on normer ces solutions?2/Soitφ(?r,t) la fonction d"onde d"une particule de massemplac´ee dans un potentielV(?r).
On d´efinit la densit´e de probabilit´e de pr´esence de la particule au point?ret `a l"instantt
par :ρ(?r,t) =|φ(?r,t)|2=
φ(?r,t)φ(?r,t).(5)
a/ Montrer que cette densit´e satisfait `a l"´equation deconservation: ∂t+?? ·?J= 0 (6) o`u lecourant de probabilit´e?Jest donn´e par : J=?2mi?φ(??φ)-(??φ)φ?
.(7) b/ Donner ?Jpour une fonction d"onde de la forme :φ(?r,t) =Aeif(?r,t).(8)
c/ Pr´eciser ?Jdans le cas d"une onde plane,f(?r,t) =?k·?r-ωt.3/On consid`ere une particule de massem, soumise au potentiel `a une dimension suivant :
V(x) =-V0pourx <0 (V0>0),(9)
V(x) = 0 pourx >0.(10)
On s"int´eresse dor´enavant aux ´etats stationnaires d"´energie positive, repr´esentant une onde se
propageant depuis +∞, partiellement r´efl´echie enx= 0 et partiellement transmise. a/ Expliquer bri`evement pourquoi on choisira les fonctions d"onde sous la forme :φ(x) =Ae-iKxpourx <0 (11)
φ(x) =e-ikx+Beikxpourx >0 (12)
o`uK=?2m(E+V0)/?etk=⎷2mE/?.
b/ Ecrire les conditions de raccordement en 0, et calculerAetBen fonction deKetk. c/ Calculer le courant pourx <0 puisx >0. Identifier les courants incidentJi, r´efl´echiJret transmisJt. d/ On d´efinit un coefficient de r´eflexionRet de transmissionTpar :R=????J
rJi????
etT=????J tJi???? .(13)V´erifier queR+T= 1.
e/ Calculer la limite deRet deTpourktendant vers 0 et pourktendant vers l"infini. Comparer avec les r´esultats de la m´ecanique classique. 2 T.D. no2 :´Etats li´es pour un puits quelconque - Origine de la quantification de l"´energieOn consid`ere une particule sans spin plong´ee dans un potentielV(x) et caract´eris´ee par une
fonction d"ondeφ(x) (probl`eme `a une dimension). Le puits de potentielV(x) a l"allure suivante :1/Rappeler l"´equation de Schr¨odinger que v´erifie la fonction d"onde d´ecrivant un ´etat station-
naire d"´energieE. Quelle est a priori la dimension de l"espace vectoriel des solutions?2/Les casE < Vminsont ils physiquement acceptables? Discuter ensuite le casE=Vminet
comparer avec les r´esultats de la m´ecanique classique. Conclure que n´ecessairementE > Vmin.
3/Quel est le comportement `a l"infini deφ(x) selon les cas :Vmin< E < V2;V2< E < V1;
V1< E. Quels sont les ´etats li´es et les ´etats libres?
4/Dans le casVmin< E < V2, on va montrer (de fa¸con intuitive) qu"il y a quantification
des ´etats. Repr´esenter sch´ematiquement la fonction d"onde de l"´etat fondamental. En supposant
arbitrairement que la fonction d"onde s"annule quandx→ -∞, comment se d´eforme la solution
de l"´equation de Schr¨odinger si l"on augmente tr`es l´eg`erementE? Parmi toutes les solutions,
seul un nombre fini d"entre elles v´erifie les conditions du 3). En particulier, remarquer que l"on
peut ici caract´eriser chaque ´etat li´e par le nombre de z´eros de la fonction d"onde. (voir la r´esolution num´erique jointe) 3Pour la figure
4 T.D. no3 : Fonction d"onde dans l"espace des impulsionsA. Fonction d"onde dans l"espace des impulsions
D efinitionsSoitψ(x,t) la fonction d"onde norm´ee `a 1 d"une particule sur un axe etφ(k,t) sa transform´ee
de Fourier (T.F.) :φ(k,t) =1
⎷2π?ψ(x,t)e-ikxdx .
En utilisant la relation de de Broglieλ=h/p??p=?k, on d´efinit la fonction :ψ(p,t) =1
⎷?φ(p/?,t) =1⎷2π??ψ(x,t)exp(-ipx?)dx ,
o`u le facteur 1/⎷?est introduit pour que˜ψ(p,t) soit norm´ee `a l"unit´e)˜ψ(p,t) est la fonction d"onde dans l"espace des impulsions. On admet, ce qui n"est pas ´evident,
que|˜ψ(p,t)|2est la densit´e de probabilit´e dep. Remarques: il est facile de montrer que la fonction d"onde dans l"espace des positions s"obtient `a partir de celle dans l"espace des impulsions par :ψ(x,t) =1
⎷2π?? -∞˜ψ(p,t)exp(ipx?)dp.La fonction d"onde dans l"espace des impulsions
˜ψ(p,t) d´efinit compl`etement `a elle seule l"´etat de la particule, aussi bien queψ(x,t), fonction d"onde dans l"espace des positions, puisqu"on passe de l"une `a l"autre de fa¸con univoque par T.F. ou T.F. inverse.1/ Puits carr´e infini
a/ Calculer les ´energies et les fonctions d"onde stationnaires, norm´ees `a l"unit´e, d"une particule
dans un puits carr´e infini dont les bords sont situ´es en 0 eta. Tracer les fonctions d"onde associ´ees
aux 3 premiers niveaux. b/ Montrer que les fonctions d"onde dans l"espace des impulsions s"´ecrivent :ψ(p) =1
2i? aπ?ei(nπ/2-pa/2?)?
sinc(pa2?-nπ2) + (-1)n+1sinc(pa2?+nπ2)? avec : sinc(u) =sinu u Repr´esenter graphiquement sinc(u), indiquer l"abscisse du premier z´ero de part et d"autre de l"origine. Puis repr´esenter graphiquement sinc( pa2?-nπ2) et sinc(pa2?+nπ2) en fonction dep.
c/ Montrer que pourngrand on a :˜ψ(p)|2?a
4π??
sinc2(pa2?-nπ2) + sinc2(pa2?+nπ2)? d/ Indiquer sur un graphique l"allure de cette courbe. Donner les positions et l"´ecartement desdeux pics principaux, ainsi que leur largeur `a la base. Que deviennent l"´ecartement et la largeur
des deux pics principaux quandntend vers l"infini? 5e/ D´ecrire le mouvement d"une particule de mˆeme ´energieE=n2π2?2/2ma2et de mˆeme masse
dans le mˆeme potentiel en m´ecanique classique et donner lavaleur de son impulsion en fonction
den,?eta.f/ Indiquer, pour l"impulsion, ce qui est semblable et ce quidiff`ere en m´ecanique classique et en
m´ecanique quantique, quandntend vers l"infini.2/ Densit´es de probabilit´e pour les ´etats stationnaires
Montrer que, pour un ´etat stationnaire,|ψ(x,t)|2et|˜ψ(p,t)|2sont ind´ependants du temps.
3/ ´Equation de Schr¨odinger dans l"espace des impulsions(facultatif)En prenant la transform´ee de Fourier des deux membres de l"´equation de Schr¨odinger d´ependant
du temps, indiquer `a quelle ´equation ob´eit˜ψ(p,t).B. Relation d"Heisenberg position-impulsion
1/ Lien avec la transform´ee de Fourier
En utilisant les propri´et´es de la transformation de Fourier indiqu´ees ci-dessous, retrouver la
relation :ΔxΔp??/2.
2/ Exemple : oscillateur harmonique
La fonction d"onde de l"´etat fondamental (´etat stationnaire de plus basse ´energie) de l"oscillateur
harmonique `a une dimension (V(x) = 1/2mΩ2x2), s"´ecrit : mΩπ?)1
4exp(-mΩx22?)exp(-iEt?).
Calculer Δx, Δp, ΔxΔppour toutt.
3/ Exemple : puits carr´e infini(facultatif)
Dans le cas de la particule confin´ee dans un puits carr´e infini situ´e entre 0 eta, calculer Δx,
Δp, ΔxΔp.
Vers quelle valeur tend ΔxΔpquand l"´energie tend vers l"infini? Pr´eciser la signification de ce
comportement en utilisant les r´esultats du A-1).4/ Un argument heuristique pour estimer l"´energie du fondamental.(facultatif)
L"in´egalit´e de Heisenberg montre que lorsqu"une particule est confin´ee dans une r´egion de dimen-
sionL, son ´energie cin´etiqueEc=p2/(2m) est d"ordreEc≂?2/(mL2). Utiliser cette remarque pour trouver l"ordre de grandeur de l"´energie du fondamental de : a/ l"oscillateur harmonique unidimensionnelH=p22m+12mω2x2.
b/ L"atome d"Hydrog`eneH=?p22m-e2r.
6 Propri´et´es de la transformation de Fourier D´efinition :soitψ(x) une fonction complexe de variable r´eelle telle que?+∞ -∞ψ(x)dxexiste (?ψest sommable). Alors l"int´egrale : 1 ⎷2π?ψ(x)e-ikxdx
existe?ket d´efinit une nouvelle fonction˜ψ(k) qui est par d´efinition la transform´ee de
Fourier deψ(x). On a de plus :
ψ(x) =1
⎷2π? -∞˜ψ(k)eikxdk ψ(x) est la transform´ee de Fourier inverse de˜ψ(k). Propri´et´es utiles de la transformation de Fourier :FonctionTransform´ee de Fourier
ψ(x) =1⎷2π?
-∞˜ψ(k)eikxdk˜ψ(k) =1⎷2π? -∞ψ(x)e-ikxdxλψ(x)λ˜ψ(k)
ψ(ax) (ar´eel)1
|a|˜ψ(ka) -ixψ(x)d˜ψ dk dψ dxik˜ψ(k) eik0xψ(x)˜ψ(k-k0)ψ(x+x0)eikx0˜ψ(k)
e-x22e-k22Formule de Parseval-Plancherel :?+∞
ψ?1(x)ψ2(x)dx=?
-∞˜ψ?1(k)˜ψ2(k)dk(conservation du produit scalaire) |ψ(x)|2dx=? |˜ψ(k)|2dk(conservation de la norme)ψ(k)→0 quandk→ ±∞
et :ΔxΔk?1
2avec :
Δx= ´ecart type dex=?
|ψ(x)|2(x-< x >)2dx? 1 2,Δk= ´ecart type dek=?
|˜ψ(k)|2(k-< k >)2dk? 1 2. 7 T.D. no4 : Repr´esentation et notation de DiracA. Calcul formel en notation de Dirac
1/ Associativit´e
Soitλun scalaire,|u>,|v>,|w>des ´etats physiques, on notera : A=|u>2. Donner la nature (scalaire, vecteur ou op´erateur) des objets suivants et les simplifier, le
cas ´ech´eant.C|u>
A
ACλB
3. D"apr`es ce qui pr´ec`ede, justifier que :|u> 2/ Conjugaison
Soitλun scalaire,|u >,|v >,|w >des ´etats physiques,Aun op´erateur. La conjugu´ee hermitique d"une s´equence donn´ee s"obtient en prenant las´equence dansl"ordre inverse, et en
rempla¸cant chaque terme par son conjugu´e, suivant la correspondance suivante : |x >←→< x| A-→A
Calculer la conjugu´ee des objets suivants et pr´eciser leur nature : A|u>
A|u> |u> < x|λi|y >< z|
B. Changement de repr´esentation
Soit|1>,|2>,|3>une base canonique d"un espace `a trois dimension. Dans cette base canonique, la repr´esentation matricielle de ces vecteursest donc : |1>↔((100)) |2>↔((010)) |3>↔((001)) On d´efinit :|u>=|1>
⎷2+|2>⎷2et|v>=|1>2-|2>2+ i|3>⎷2 1. Donner la repr´esentation matricielle de|u>,.
2. Donner la repr´esentation matricielle de|φ >=|u>
2+ i⎷
3 2|v>. 3. Donner la repr´esentation matricielle de|u> 8 C. Commutateurs
Soit deux op´erateursAetBagissant dans un espaceE. On appelle commutateur deAetB l"´op´erateurAB-BAet on le note [A,B]. 1/ R`egles de calculs
On a les propri´et´es suivantes :
[A,B] =-[B,A](1) [λA,B] =λ[A,B](2) [A+B,C] = [A,C] + [B,C] (3) [A,BC] =B[A,C] + [A,B]C(4) D´emontrer ces propri´et´es.
Calculer l"adjoint de l"op´erateur correspondant `a la matrice : (1 0 31 0i 0-1 2))
Un op´erateurAest dit hermitien (ou auto-adjoint) lorsqu"il v´erifieA=A. Lesquelles des
matrices suivantes correspondent `a des op´erateurs hermitiens? (1 0 30 0 23 2i)) ,?1i -i2? Montrer que le produit de deux op´erateurs hermitiens n"esthermitien que si ces deux op´erateurs commutent. Donner des exemples. 2/ Application
Soit une particule de massemdont la fonction d"onde est r´egie par le hamiltonien `a une dimension :ˆH= ˆp2/(2m) +V(ˆx) 1. Montrer que [ˆx,ˆp] =i?
2. Montrer que [ˆxn,ˆp] =ni?xn-1
3. Montrer que [V(ˆx),ˆp] =i?∂V
∂x(ˆx) 4. Montrer que [ˆx,ˆp2] = 2i?ˆp
5. D´eduire de ce qui pr´ec`ede les expressions de [
ˆH,ˆp], [ˆH,ˆx] et [ˆH,ˆxˆp] en fonction de ˆx, ˆp etV(ˆx). 9 T.D. no5 : Probabilit´es des r´esultats d"une mesure : Cas d"une observable de spectre discret ou continu I. Rappel : Les postulats de la mesure
On mesure une grandeur physique repr´esent´ee par l"observableAsur un syst`eme dans l"´etat |ψ >norm´e. 1/Valeurs possibles du r´esultat
Le r´esultat de la mesure ne peut ˆetre qu"une des valeurs propres deA. 2/Probabilit´es des diff´erents r´esultats
Soital"une quelconque des valeurs propres deA.
Dans tous les cas la probabilit´e ou la densit´e de probabilit´e de trouveracomme r´esultat de la
mesure est le carr´e de la norme de la projection de|ψ >sur le sous-espace associ´e `aa. Siaappartient au domaine discret des valeurs propres et n"est pas d´eg´en´er´ee, la probabilit´e
de trouveracomme r´esultat de la mesure est : P(a) =|< a|ψ >|2o`u|a >est l"´etat propre norm´e associ´e `aa Siaappartient au domaine discret des valeurs propres et est d´eg´en´er´ee : P(a) =g?
i=1|< a,i|ψ >|2(gd´eg´en´erescence dea) o`u|a,i >est une base orthonorm´ee quelconque du sous-espace associ´e `aa. Siaappartient au domaine continu et n"est pas d´eg´en´er´ee, la probabilit´e pour que le
r´esultat de la mesure soit compris entreaeta+daest : dP(a) =|< a|ψ >|2da o`u l"ensemble des|a >, ´etats propres du continu, est orthonorm´e au sens large, c"est `a dire
tel que : < a|a?>=δ(a-a?)δ´etant la distribution de Dirac Siaappartient au domaine continu et est d´eg´en´er´ee : dP(a) =g? i=1|< a,i|ψ >|2daavec< a,i|a?,i?>=δ(a-a?)δii? 3/ ´Etat apr`es la mesure
Dans tous les cas l"´etat|ψ?>apr`es la mesure est la projection norm´ee de|ψ >sur le sous-espace
associ´e au r´esultat de la mesure. Dans le cas du spectre discret :
|ψ?>=|a >ou|ψ?>=g i=1|a,i >< a,i|ψ > ?P(a). 10 Dans le cas du spectre continu et lorsqu"on mesureaavec une pr´ecision Δa: a+Δa/2 a-Δa/2|a?>< a?|ψ > da? ?P(a-Δa/2, a+ Δa/2) avec : P(a-Δa/2, a+ Δa/2) =?
a+Δa/2 a-Δa/2|< a?|ψ >|2da? sian"est pas d´eg´en´er´ee et les mˆemes formules avec somme surisiaest d´eg´en´er´ee.
Remarques :
?ces expressions ne sont valables que si|ψ >est norm´e et si les|a >sont orthonorm´es, au sens large s"il s"agit du spectre continu. ?on peut ´etendre ces expressions au cas o`u la d´eg´en´erescence est continue. II. Exercices
A) On consid`ere un syst`eme dont l"espace des ´etats, qui est`a trois dimensions, est rapport´e `a la
base orthonorm´ee form´ee par les trois kets|1>,|2>,|3>. Dans la base de ces trois vecteurs, l"op´erateur hamiltonienHdu syst`eme et deux observablesAetBs"´ecrivent : H=e((1 0 00 2 00 0 2))
, A=a((1 0 00 0 10 1 0)) , B=b((0 1 01 0 00 0 1)) o`ue,aetbsont des constantes r´eelles positives. 1/Indiquer les valeurs propres et les sous espaces propres associ´es de ces trois op´erateurs.
2/Montrer :
a/ aucun des trois op´erateurs n"est un E.C.O.C. `a lui seul. b/HetAforment un E.C.O.C. c/Bne peut former un E.C.O.C. ni avecHni avecA. 3/Mesure deApuisB.Le syst`eme se trouve dans l"´etat|??=|1?. On effectue une mesure de
Apuis une mesure deB. Quels sont les r´esultats de mesure possibles et l"´etat dusyst`eme apr`es
mesure? 4/Reprendre la question pr´ec´edente lorsqu"on mesure d"abordBpuisA.
5/At= 0 on place le syst`eme dans l"´etat :
|ψ(0)?=1 ⎷2|1?+12|2?+12|3?. On mesure l"´energie du syst`eme `at= 0. Quelles valeurs peut-on trouver et avec quelles proba- bilit´es? Calculer, toujours `at= 0 la valeur moyenne< H >|ψ(0)?de l"´energie dans l"´etat|ψ(0)?ainsi
que l"´ecart quadratique moyen ΔH. 6/On mesureA`at= 0. Quels r´esultats peut-on trouver et avec quelles probabilit´es?
Quel est le vecteur d"´etat imm´ediatement apr`es la mesure? 11 7/Mˆeme question en rempla¸cantAparB.
8/Mesure et ´evolution temporelle.Le syst`eme se trouve initialement dans l"´etat|ψ(0)?. Son
´etat quantique ´evolue au cours du temps. Calculer le vecteur d"´etat|ψ(t)?`a l"instantt.
9/Reprendre les questions 7/ et 8/ en se pla¸cant `a un instanttquelconque et non plus `a l"ins-
tantt= 0. 10/Calculer les valeurs moyennes< A >|ψ(t)?et< B >|ψ(t)?deAetB`a l"instantt.
B)Normalisation des bases continues
Calculer les fonctions d"onde propres de l"impulsion norm´ees au sens large par rapport `akpuis par rapport `ap. Facultatif :Calculer les fonctions d"onde propres de l"´energie norm´ees au sens large par rapport
`aEpour une particule libre. C)Facultatif :Une particule est dans un ´etat|ψ?quelconque (norm´e) `at= 0, et son hamilto- nienHest ind´ependant du temps. 1/Montrer que les probabilit´es des diff´erents r´esultats possibles d"une mesure de l"´energie (dis-
tribution statistique de l"´energie), sont ind´ependantes de l"instanttauquel on effectue la mesure.
2/G´en´eraliser ce r´esultat au cas de la mesure d"une observableAcommutant avec le hamilto-
nien : [A,H] = 0. D)Facultatif :Calculer la densit´e de probabilit´e en ´energie `a un instant quelconquetpour un
paquet d"onde gaussien libre dont la fonction d"onde `a l"instantt= 0 est : ψ(x,0) =?2
πa2?
1/4 e ik0xe-x2/a2. E)Facultatif :Montrer que les r`egles ´enonc´ees au I) contiennent en particulier les deux r´esultats
suivants : la densit´e de probabilit´e des positions est le carr´e du module de la fonction d"ondeψ(x).
la densit´e de probabilit´e des impulsions est le carr´e du module de : ψ(p,t) =1
⎷2π?? exp(-ipx?)ψ(x,t)dx F)Facultatif :Une particule a la fonction d"onde quelconqueψ(x) (norm´ee) `a un instant donn´e.
On mesure sa position avec une pr´ecision Δx. Quelle est la probabilit´e d"obtenir le r´esultat dans l"intervalle [x0-Δx/2, x0+ Δx/2]? Quelle est la fonction d"ondeψf(x) apr`es la mesure? Dans le cas o`uψ(x) est r´eelle indiquer comment le graphe deψf(x) se d´eduit de celui deψ(x).
12 T.D. no6 : Sym´etries et loi de conservation - Syst`eme `a 2 niveaux I. Transformations en M´ecanique Quantique
D efinition(A. Messiah, Tome 2 chap. XV) : effectuer une transformationTsur un syst`eme physique, c"est remplacer chacune de ses variables par une nouvelle variable, chacun de ses ´etats
par un nouvel ´etat,tout en conservant les propri´et´es physiques du syst`eme. Soit un syst`eme physique d´ecrit par un vecteur d"´etat|ψ?appartenant `a un espace de Hilbert
H.`A une transformationTdonn´ee correspond un op´erateurˆTagissant dans l"espace de Hilbert.
Effectuer une transformationTdu syst`eme physique consiste `a appliquer l"op´erateurˆTsur l"´etat
|ψ?:|ψ? → |ψ??=ˆT|ψ?. 1. Soit
ˆAune observable.`A quelle condition{ˆA}est-il un E.C.O.C? On supposera cette condition v´erifi´ee par la suite. On notera|?1?,...,|?n?les vecteurs propres deAeta1,...,anles valeurs propres correspondantes. 2. Rappeler l"expression de la probabilit´ePide trouver la valeuraicomme r´esultat de la
mesure deˆA. 3. On note|??i?=ˆT|?i?. Donner l"expression de la probabilit´eP?id"observer le syst`eme
d´ecrit par|ψ??dans l"´etat|??i?. 4. Par d´efinition, une transformationTconserve les propri´et´es physiques du syst`eme. En
d´eduire queˆTest un op´erateur unitaire, c"est `a dire queˆTˆT=I, o`uIest l"op´erateur
identit´e. 5. La transformation agit ´egalement sur les observables. Consid´erons `a pr´esent l"observableˆA
et sa transform´eeˆA?. CommeTconserve les propri´et´es physiques du syst`eme, elle conserve
aussi la valeur moyenne deˆAdans l"´etat|ψ?. En d´eduire queˆA?=ˆTˆAˆT. 6. On dit que l"observable
ˆAest invariante sous la transformationˆTsiˆA?=ˆA. Montrer que dans ce cas [ˆA,ˆT] = 0. 7. On consid`ere le cas particulier du hamiltonien
ˆH. Montrer que siHest invariant sous une
transformationˆTet queˆTne d´epend pas explicitement du temps, alors : dquotesdbs_dbs11.pdfusesText_17
2/ Conjugaison
Soitλun scalaire,|u >,|v >,|w >des ´etats physiques,Aun op´erateur. La conjugu´eehermitique d"une s´equence donn´ee s"obtient en prenant las´equence dansl"ordre inverse, et en
rempla¸cant chaque terme par son conjugu´e, suivant la correspondance suivante : |x >←→< x|A-→A
Calculer la conjugu´ee des objets suivants et pr´eciser leur nature :A|u>
A|u> |u> < x|λi|y >< z|
B. Changement de repr´esentation
Soit|1>,|2>,|3>une base canonique d"un espace `a trois dimension. Dans cette base canonique, la repr´esentation matricielle de ces vecteursest donc : |1>↔((100)) |2>↔((010)) |3>↔((001)) On d´efinit :|u>=|1>
⎷2+|2>⎷2et|v>=|1>2-|2>2+ i|3>⎷2 1. Donner la repr´esentation matricielle de|u>,.
2. Donner la repr´esentation matricielle de|φ >=|u>
2+ i⎷
3 2|v>. 3. Donner la repr´esentation matricielle de|u> 8 C. Commutateurs
Soit deux op´erateursAetBagissant dans un espaceE. On appelle commutateur deAetB l"´op´erateurAB-BAet on le note [A,B]. 1/ R`egles de calculs
On a les propri´et´es suivantes :
[A,B] =-[B,A](1) [λA,B] =λ[A,B](2) [A+B,C] = [A,C] + [B,C] (3) [A,BC] =B[A,C] + [A,B]C(4) D´emontrer ces propri´et´es.
Calculer l"adjoint de l"op´erateur correspondant `a la matrice : (1 0 31 0i 0-1 2))
Un op´erateurAest dit hermitien (ou auto-adjoint) lorsqu"il v´erifieA=A. Lesquelles des
matrices suivantes correspondent `a des op´erateurs hermitiens? (1 0 30 0 23 2i)) ,?1i -i2? Montrer que le produit de deux op´erateurs hermitiens n"esthermitien que si ces deux op´erateurs commutent. Donner des exemples. 2/ Application
Soit une particule de massemdont la fonction d"onde est r´egie par le hamiltonien `a une dimension :ˆH= ˆp2/(2m) +V(ˆx) 1. Montrer que [ˆx,ˆp] =i?
2. Montrer que [ˆxn,ˆp] =ni?xn-1
3. Montrer que [V(ˆx),ˆp] =i?∂V
∂x(ˆx) 4. Montrer que [ˆx,ˆp2] = 2i?ˆp
5. D´eduire de ce qui pr´ec`ede les expressions de [
ˆH,ˆp], [ˆH,ˆx] et [ˆH,ˆxˆp] en fonction de ˆx, ˆp etV(ˆx). 9 T.D. no5 : Probabilit´es des r´esultats d"une mesure : Cas d"une observable de spectre discret ou continu I. Rappel : Les postulats de la mesure
On mesure une grandeur physique repr´esent´ee par l"observableAsur un syst`eme dans l"´etat |ψ >norm´e. 1/Valeurs possibles du r´esultat
Le r´esultat de la mesure ne peut ˆetre qu"une des valeurs propres deA. 2/Probabilit´es des diff´erents r´esultats
Soital"une quelconque des valeurs propres deA.
Dans tous les cas la probabilit´e ou la densit´e de probabilit´e de trouveracomme r´esultat de la
mesure est le carr´e de la norme de la projection de|ψ >sur le sous-espace associ´e `aa. Siaappartient au domaine discret des valeurs propres et n"est pas d´eg´en´er´ee, la probabilit´e
de trouveracomme r´esultat de la mesure est : P(a) =|< a|ψ >|2o`u|a >est l"´etat propre norm´e associ´e `aa Siaappartient au domaine discret des valeurs propres et est d´eg´en´er´ee : P(a) =g?
i=1|< a,i|ψ >|2(gd´eg´en´erescence dea) o`u|a,i >est une base orthonorm´ee quelconque du sous-espace associ´e `aa. Siaappartient au domaine continu et n"est pas d´eg´en´er´ee, la probabilit´e pour que le
r´esultat de la mesure soit compris entreaeta+daest : dP(a) =|< a|ψ >|2da o`u l"ensemble des|a >, ´etats propres du continu, est orthonorm´e au sens large, c"est `a dire
tel que : < a|a?>=δ(a-a?)δ´etant la distribution de Dirac Siaappartient au domaine continu et est d´eg´en´er´ee : dP(a) =g? i=1|< a,i|ψ >|2daavec< a,i|a?,i?>=δ(a-a?)δii? 3/ ´Etat apr`es la mesure
Dans tous les cas l"´etat|ψ?>apr`es la mesure est la projection norm´ee de|ψ >sur le sous-espace
associ´e au r´esultat de la mesure. Dans le cas du spectre discret :
|ψ?>=|a >ou|ψ?>=g i=1|a,i >< a,i|ψ > ?P(a). 10 Dans le cas du spectre continu et lorsqu"on mesureaavec une pr´ecision Δa: a+Δa/2 a-Δa/2|a?>< a?|ψ > da? ?P(a-Δa/2, a+ Δa/2) avec : P(a-Δa/2, a+ Δa/2) =?
a+Δa/2 a-Δa/2|< a?|ψ >|2da? sian"est pas d´eg´en´er´ee et les mˆemes formules avec somme surisiaest d´eg´en´er´ee.
Remarques :
?ces expressions ne sont valables que si|ψ >est norm´e et si les|a >sont orthonorm´es, au sens large s"il s"agit du spectre continu. ?on peut ´etendre ces expressions au cas o`u la d´eg´en´erescence est continue. II. Exercices
A) On consid`ere un syst`eme dont l"espace des ´etats, qui est`a trois dimensions, est rapport´e `a la
base orthonorm´ee form´ee par les trois kets|1>,|2>,|3>. Dans la base de ces trois vecteurs, l"op´erateur hamiltonienHdu syst`eme et deux observablesAetBs"´ecrivent : H=e((1 0 00 2 00 0 2))
, A=a((1 0 00 0 10 1 0)) , B=b((0 1 01 0 00 0 1)) o`ue,aetbsont des constantes r´eelles positives. 1/Indiquer les valeurs propres et les sous espaces propres associ´es de ces trois op´erateurs.
2/Montrer :
a/ aucun des trois op´erateurs n"est un E.C.O.C. `a lui seul. b/HetAforment un E.C.O.C. c/Bne peut former un E.C.O.C. ni avecHni avecA. 3/Mesure deApuisB.Le syst`eme se trouve dans l"´etat|??=|1?. On effectue une mesure de
Apuis une mesure deB. Quels sont les r´esultats de mesure possibles et l"´etat dusyst`eme apr`es
mesure? 4/Reprendre la question pr´ec´edente lorsqu"on mesure d"abordBpuisA.
5/At= 0 on place le syst`eme dans l"´etat :
|ψ(0)?=1 ⎷2|1?+12|2?+12|3?. On mesure l"´energie du syst`eme `at= 0. Quelles valeurs peut-on trouver et avec quelles proba- bilit´es? Calculer, toujours `at= 0 la valeur moyenne< H >|ψ(0)?de l"´energie dans l"´etat|ψ(0)?ainsi
que l"´ecart quadratique moyen ΔH. 6/On mesureA`at= 0. Quels r´esultats peut-on trouver et avec quelles probabilit´es?
Quel est le vecteur d"´etat imm´ediatement apr`es la mesure? 11 7/Mˆeme question en rempla¸cantAparB.
8/Mesure et ´evolution temporelle.Le syst`eme se trouve initialement dans l"´etat|ψ(0)?. Son
´etat quantique ´evolue au cours du temps. Calculer le vecteur d"´etat|ψ(t)?`a l"instantt.
9/Reprendre les questions 7/ et 8/ en se pla¸cant `a un instanttquelconque et non plus `a l"ins-
tantt= 0. 10/Calculer les valeurs moyennes< A >|ψ(t)?et< B >|ψ(t)?deAetB`a l"instantt.
B)Normalisation des bases continues
Calculer les fonctions d"onde propres de l"impulsion norm´ees au sens large par rapport `akpuis par rapport `ap. Facultatif :Calculer les fonctions d"onde propres de l"´energie norm´ees au sens large par rapport
`aEpour une particule libre. C)Facultatif :Une particule est dans un ´etat|ψ?quelconque (norm´e) `at= 0, et son hamilto- nienHest ind´ependant du temps. 1/Montrer que les probabilit´es des diff´erents r´esultats possibles d"une mesure de l"´energie (dis-
tribution statistique de l"´energie), sont ind´ependantes de l"instanttauquel on effectue la mesure.
2/G´en´eraliser ce r´esultat au cas de la mesure d"une observableAcommutant avec le hamilto-
nien : [A,H] = 0. D)Facultatif :Calculer la densit´e de probabilit´e en ´energie `a un instant quelconquetpour un
paquet d"onde gaussien libre dont la fonction d"onde `a l"instantt= 0 est : ψ(x,0) =?2
πa2?
1/4 e ik0xe-x2/a2. E)Facultatif :Montrer que les r`egles ´enonc´ees au I) contiennent en particulier les deux r´esultats
suivants : la densit´e de probabilit´e des positions est le carr´e du module de la fonction d"ondeψ(x).
la densit´e de probabilit´e des impulsions est le carr´e du module de : ψ(p,t) =1
⎷2π?? exp(-ipx?)ψ(x,t)dx F)Facultatif :Une particule a la fonction d"onde quelconqueψ(x) (norm´ee) `a un instant donn´e.
On mesure sa position avec une pr´ecision Δx. Quelle est la probabilit´e d"obtenir le r´esultat dans l"intervalle [x0-Δx/2, x0+ Δx/2]? Quelle est la fonction d"ondeψf(x) apr`es la mesure? Dans le cas o`uψ(x) est r´eelle indiquer comment le graphe deψf(x) se d´eduit de celui deψ(x).
12 T.D. no6 : Sym´etries et loi de conservation - Syst`eme `a 2 niveaux I. Transformations en M´ecanique Quantique
D efinition(A. Messiah, Tome 2 chap. XV) : effectuer une transformationTsur un syst`eme physique, c"est remplacer chacune de ses variables par une nouvelle variable, chacun de ses ´etats
par un nouvel ´etat,tout en conservant les propri´et´es physiques du syst`eme. Soit un syst`eme physique d´ecrit par un vecteur d"´etat|ψ?appartenant `a un espace de Hilbert
H.`A une transformationTdonn´ee correspond un op´erateurˆTagissant dans l"espace de Hilbert.
Effectuer une transformationTdu syst`eme physique consiste `a appliquer l"op´erateurˆTsur l"´etat
|ψ?:|ψ? → |ψ??=ˆT|ψ?. 1. Soit
ˆAune observable.`A quelle condition{ˆA}est-il un E.C.O.C? On supposera cette condition v´erifi´ee par la suite. On notera|?1?,...,|?n?les vecteurs propres deAeta1,...,anles valeurs propres correspondantes. 2. Rappeler l"expression de la probabilit´ePide trouver la valeuraicomme r´esultat de la
mesure deˆA. 3. On note|??i?=ˆT|?i?. Donner l"expression de la probabilit´eP?id"observer le syst`eme
d´ecrit par|ψ??dans l"´etat|??i?. 4. Par d´efinition, une transformationTconserve les propri´et´es physiques du syst`eme. En
d´eduire queˆTest un op´erateur unitaire, c"est `a dire queˆTˆT=I, o`uIest l"op´erateur
identit´e. 5. La transformation agit ´egalement sur les observables. Consid´erons `a pr´esent l"observableˆA
et sa transform´eeˆA?. CommeTconserve les propri´et´es physiques du syst`eme, elle conserve
aussi la valeur moyenne deˆAdans l"´etat|ψ?. En d´eduire queˆA?=ˆTˆAˆT. 6. On dit que l"observable
ˆAest invariante sous la transformationˆTsiˆA?=ˆA. Montrer que dans ce cas [ˆA,ˆT] = 0. 7. On consid`ere le cas particulier du hamiltonien
ˆH. Montrer que siHest invariant sous une
transformationˆTet queˆTne d´epend pas explicitement du temps, alors : dquotesdbs_dbs11.pdfusesText_17
|u> < x|λi|y >< z|
B. Changement de repr´esentation
Soit|1>,|2>,|3>une base canonique d"un espace `a trois dimension. Dans cette base canonique, la repr´esentation matricielle de ces vecteursest donc : |1>↔((100)) |2>↔((010)) |3>↔((001))On d´efinit :|u>=|1>
⎷2+|2>⎷2et|v>=|1>2-|2>2+ i|3>⎷21. Donner la repr´esentation matricielle de|u>,.
2. Donner la repr´esentation matricielle de|φ >=|u>
2+ i⎷
3 2|v>.3. Donner la repr´esentation matricielle de|u> 8 C. Commutateurs
Soit deux op´erateursAetBagissant dans un espaceE. On appelle commutateur deAetB l"´op´erateurAB-BAet on le note [A,B]. 1/ R`egles de calculs
On a les propri´et´es suivantes :
[A,B] =-[B,A](1) [λA,B] =λ[A,B](2) [A+B,C] = [A,C] + [B,C] (3) [A,BC] =B[A,C] + [A,B]C(4) D´emontrer ces propri´et´es.
Calculer l"adjoint de l"op´erateur correspondant `a la matrice : (1 0 31 0i 0-1 2))
Un op´erateurAest dit hermitien (ou auto-adjoint) lorsqu"il v´erifieA=A. Lesquelles des
matrices suivantes correspondent `a des op´erateurs hermitiens? (1 0 30 0 23 2i)) ,?1i -i2? Montrer que le produit de deux op´erateurs hermitiens n"esthermitien que si ces deux op´erateurs commutent. Donner des exemples. 2/ Application
Soit une particule de massemdont la fonction d"onde est r´egie par le hamiltonien `a une dimension :ˆH= ˆp2/(2m) +V(ˆx) 1. Montrer que [ˆx,ˆp] =i?
2. Montrer que [ˆxn,ˆp] =ni?xn-1
3. Montrer que [V(ˆx),ˆp] =i?∂V
∂x(ˆx) 4. Montrer que [ˆx,ˆp2] = 2i?ˆp
5. D´eduire de ce qui pr´ec`ede les expressions de [
ˆH,ˆp], [ˆH,ˆx] et [ˆH,ˆxˆp] en fonction de ˆx, ˆp etV(ˆx). 9 T.D. no5 : Probabilit´es des r´esultats d"une mesure : Cas d"une observable de spectre discret ou continu I. Rappel : Les postulats de la mesure
On mesure une grandeur physique repr´esent´ee par l"observableAsur un syst`eme dans l"´etat |ψ >norm´e. 1/Valeurs possibles du r´esultat
Le r´esultat de la mesure ne peut ˆetre qu"une des valeurs propres deA. 2/Probabilit´es des diff´erents r´esultats
Soital"une quelconque des valeurs propres deA.
Dans tous les cas la probabilit´e ou la densit´e de probabilit´e de trouveracomme r´esultat de la
mesure est le carr´e de la norme de la projection de|ψ >sur le sous-espace associ´e `aa. Siaappartient au domaine discret des valeurs propres et n"est pas d´eg´en´er´ee, la probabilit´e
de trouveracomme r´esultat de la mesure est : P(a) =|< a|ψ >|2o`u|a >est l"´etat propre norm´e associ´e `aa Siaappartient au domaine discret des valeurs propres et est d´eg´en´er´ee : P(a) =g?
i=1|< a,i|ψ >|2(gd´eg´en´erescence dea) o`u|a,i >est une base orthonorm´ee quelconque du sous-espace associ´e `aa. Siaappartient au domaine continu et n"est pas d´eg´en´er´ee, la probabilit´e pour que le
r´esultat de la mesure soit compris entreaeta+daest : dP(a) =|< a|ψ >|2da o`u l"ensemble des|a >, ´etats propres du continu, est orthonorm´e au sens large, c"est `a dire
tel que : < a|a?>=δ(a-a?)δ´etant la distribution de Dirac Siaappartient au domaine continu et est d´eg´en´er´ee : dP(a) =g? i=1|< a,i|ψ >|2daavec< a,i|a?,i?>=δ(a-a?)δii? 3/ ´Etat apr`es la mesure
Dans tous les cas l"´etat|ψ?>apr`es la mesure est la projection norm´ee de|ψ >sur le sous-espace
associ´e au r´esultat de la mesure. Dans le cas du spectre discret :
|ψ?>=|a >ou|ψ?>=g i=1|a,i >< a,i|ψ > ?P(a). 10 Dans le cas du spectre continu et lorsqu"on mesureaavec une pr´ecision Δa: a+Δa/2 a-Δa/2|a?>< a?|ψ > da? ?P(a-Δa/2, a+ Δa/2) avec : P(a-Δa/2, a+ Δa/2) =?
a+Δa/2 a-Δa/2|< a?|ψ >|2da? sian"est pas d´eg´en´er´ee et les mˆemes formules avec somme surisiaest d´eg´en´er´ee.
Remarques :
?ces expressions ne sont valables que si|ψ >est norm´e et si les|a >sont orthonorm´es, au sens large s"il s"agit du spectre continu. ?on peut ´etendre ces expressions au cas o`u la d´eg´en´erescence est continue. II. Exercices
A) On consid`ere un syst`eme dont l"espace des ´etats, qui est`a trois dimensions, est rapport´e `a la
base orthonorm´ee form´ee par les trois kets|1>,|2>,|3>. Dans la base de ces trois vecteurs, l"op´erateur hamiltonienHdu syst`eme et deux observablesAetBs"´ecrivent : H=e((1 0 00 2 00 0 2))
, A=a((1 0 00 0 10 1 0)) , B=b((0 1 01 0 00 0 1)) o`ue,aetbsont des constantes r´eelles positives. 1/Indiquer les valeurs propres et les sous espaces propres associ´es de ces trois op´erateurs.
2/Montrer :
a/ aucun des trois op´erateurs n"est un E.C.O.C. `a lui seul. b/HetAforment un E.C.O.C. c/Bne peut former un E.C.O.C. ni avecHni avecA. 3/Mesure deApuisB.Le syst`eme se trouve dans l"´etat|??=|1?. On effectue une mesure de
Apuis une mesure deB. Quels sont les r´esultats de mesure possibles et l"´etat dusyst`eme apr`es
mesure? 4/Reprendre la question pr´ec´edente lorsqu"on mesure d"abordBpuisA.
5/At= 0 on place le syst`eme dans l"´etat :
|ψ(0)?=1 ⎷2|1?+12|2?+12|3?. On mesure l"´energie du syst`eme `at= 0. Quelles valeurs peut-on trouver et avec quelles proba- bilit´es? Calculer, toujours `at= 0 la valeur moyenne< H >|ψ(0)?de l"´energie dans l"´etat|ψ(0)?ainsi
que l"´ecart quadratique moyen ΔH. 6/On mesureA`at= 0. Quels r´esultats peut-on trouver et avec quelles probabilit´es?
Quel est le vecteur d"´etat imm´ediatement apr`es la mesure? 11 7/Mˆeme question en rempla¸cantAparB.
8/Mesure et ´evolution temporelle.Le syst`eme se trouve initialement dans l"´etat|ψ(0)?. Son
´etat quantique ´evolue au cours du temps. Calculer le vecteur d"´etat|ψ(t)?`a l"instantt.
9/Reprendre les questions 7/ et 8/ en se pla¸cant `a un instanttquelconque et non plus `a l"ins-
tantt= 0. 10/Calculer les valeurs moyennes< A >|ψ(t)?et< B >|ψ(t)?deAetB`a l"instantt.
B)Normalisation des bases continues
Calculer les fonctions d"onde propres de l"impulsion norm´ees au sens large par rapport `akpuis par rapport `ap. Facultatif :Calculer les fonctions d"onde propres de l"´energie norm´ees au sens large par rapport
`aEpour une particule libre. C)Facultatif :Une particule est dans un ´etat|ψ?quelconque (norm´e) `at= 0, et son hamilto- nienHest ind´ependant du temps. 1/Montrer que les probabilit´es des diff´erents r´esultats possibles d"une mesure de l"´energie (dis-
tribution statistique de l"´energie), sont ind´ependantes de l"instanttauquel on effectue la mesure.
2/G´en´eraliser ce r´esultat au cas de la mesure d"une observableAcommutant avec le hamilto-
nien : [A,H] = 0. D)Facultatif :Calculer la densit´e de probabilit´e en ´energie `a un instant quelconquetpour un
paquet d"onde gaussien libre dont la fonction d"onde `a l"instantt= 0 est : ψ(x,0) =?2
πa2?
1/4 e ik0xe-x2/a2. E)Facultatif :Montrer que les r`egles ´enonc´ees au I) contiennent en particulier les deux r´esultats
suivants : la densit´e de probabilit´e des positions est le carr´e du module de la fonction d"ondeψ(x).
la densit´e de probabilit´e des impulsions est le carr´e du module de : ψ(p,t) =1
⎷2π?? exp(-ipx?)ψ(x,t)dx F)Facultatif :Une particule a la fonction d"onde quelconqueψ(x) (norm´ee) `a un instant donn´e.
On mesure sa position avec une pr´ecision Δx. Quelle est la probabilit´e d"obtenir le r´esultat dans l"intervalle [x0-Δx/2, x0+ Δx/2]? Quelle est la fonction d"ondeψf(x) apr`es la mesure? Dans le cas o`uψ(x) est r´eelle indiquer comment le graphe deψf(x) se d´eduit de celui deψ(x).
12 T.D. no6 : Sym´etries et loi de conservation - Syst`eme `a 2 niveaux I. Transformations en M´ecanique Quantique
D efinition(A. Messiah, Tome 2 chap. XV) : effectuer une transformationTsur un syst`eme physique, c"est remplacer chacune de ses variables par une nouvelle variable, chacun de ses ´etats
par un nouvel ´etat,tout en conservant les propri´et´es physiques du syst`eme. Soit un syst`eme physique d´ecrit par un vecteur d"´etat|ψ?appartenant `a un espace de Hilbert
H.`A une transformationTdonn´ee correspond un op´erateurˆTagissant dans l"espace de Hilbert.
Effectuer une transformationTdu syst`eme physique consiste `a appliquer l"op´erateurˆTsur l"´etat
|ψ?:|ψ? → |ψ??=ˆT|ψ?. 1. Soit
ˆAune observable.`A quelle condition{ˆA}est-il un E.C.O.C? On supposera cette condition v´erifi´ee par la suite. On notera|?1?,...,|?n?les vecteurs propres deAeta1,...,anles valeurs propres correspondantes. 2. Rappeler l"expression de la probabilit´ePide trouver la valeuraicomme r´esultat de la
mesure deˆA. 3. On note|??i?=ˆT|?i?. Donner l"expression de la probabilit´eP?id"observer le syst`eme
d´ecrit par|ψ??dans l"´etat|??i?. 4. Par d´efinition, une transformationTconserve les propri´et´es physiques du syst`eme. En
d´eduire queˆTest un op´erateur unitaire, c"est `a dire queˆTˆT=I, o`uIest l"op´erateur
identit´e. 5. La transformation agit ´egalement sur les observables. Consid´erons `a pr´esent l"observableˆA
et sa transform´eeˆA?. CommeTconserve les propri´et´es physiques du syst`eme, elle conserve
aussi la valeur moyenne deˆAdans l"´etat|ψ?. En d´eduire queˆA?=ˆTˆAˆT. 6. On dit que l"observable
ˆAest invariante sous la transformationˆTsiˆA?=ˆA. Montrer que dans ce cas [ˆA,ˆT] = 0. 7. On consid`ere le cas particulier du hamiltonien
ˆH. Montrer que siHest invariant sous une
transformationˆTet queˆTne d´epend pas explicitement du temps, alors : dquotesdbs_dbs11.pdfusesText_17
C. Commutateurs
Soit deux op´erateursAetBagissant dans un espaceE. On appelle commutateur deAetB l"´op´erateurAB-BAet on le note [A,B].1/ R`egles de calculs
On a les propri´et´es suivantes :
[A,B] =-[B,A](1) [λA,B] =λ[A,B](2) [A+B,C] = [A,C] + [B,C] (3) [A,BC] =B[A,C] + [A,B]C(4)D´emontrer ces propri´et´es.
Calculer l"adjoint de l"op´erateur correspondant `a la matrice : (1 0 31 0i0-1 2))
Un op´erateurAest dit hermitien (ou auto-adjoint) lorsqu"il v´erifieA=A. Lesquelles des
matrices suivantes correspondent `a des op´erateurs hermitiens? (1 0 30 0 23 2i)) ,?1i -i2? Montrer que le produit de deux op´erateurs hermitiens n"esthermitien que si ces deux op´erateurs commutent. Donner des exemples.2/ Application
Soit une particule de massemdont la fonction d"onde est r´egie par le hamiltonien `a une dimension :ˆH= ˆp2/(2m) +V(ˆx)1. Montrer que [ˆx,ˆp] =i?
2. Montrer que [ˆxn,ˆp] =ni?xn-1
3. Montrer que [V(ˆx),ˆp] =i?∂V
∂x(ˆx)4. Montrer que [ˆx,ˆp2] = 2i?ˆp
5. D´eduire de ce qui pr´ec`ede les expressions de [
ˆH,ˆp], [ˆH,ˆx] et [ˆH,ˆxˆp] en fonction de ˆx, ˆp etV(ˆx). 9 T.D. no5 : Probabilit´es des r´esultats d"une mesure : Cas d"une observable de spectre discret ou continuI. Rappel : Les postulats de la mesure
On mesure une grandeur physique repr´esent´ee par l"observableAsur un syst`eme dans l"´etat |ψ >norm´e.1/Valeurs possibles du r´esultat
Le r´esultat de la mesure ne peut ˆetre qu"une des valeurs propres deA.2/Probabilit´es des diff´erents r´esultats
Soital"une quelconque des valeurs propres deA.
Dans tous les cas la probabilit´e ou la densit´e de probabilit´e de trouveracomme r´esultat de la
mesure est le carr´e de la norme de la projection de|ψ >sur le sous-espace associ´e `aa.Siaappartient au domaine discret des valeurs propres et n"est pas d´eg´en´er´ee, la probabilit´e
de trouveracomme r´esultat de la mesure est : P(a) =|< a|ψ >|2o`u|a >est l"´etat propre norm´e associ´e `aa Siaappartient au domaine discret des valeurs propres et est d´eg´en´er´ee :P(a) =g?
i=1|< a,i|ψ >|2(gd´eg´en´erescence dea) o`u|a,i >est une base orthonorm´ee quelconque du sous-espace associ´e `aa.Siaappartient au domaine continu et n"est pas d´eg´en´er´ee, la probabilit´e pour que le
r´esultat de la mesure soit compris entreaeta+daest : dP(a) =|< a|ψ >|2dao`u l"ensemble des|a >, ´etats propres du continu, est orthonorm´e au sens large, c"est `a dire
tel que : < a|a?>=δ(a-a?)δ´etant la distribution de Dirac Siaappartient au domaine continu et est d´eg´en´er´ee : dP(a) =g? i=1|< a,i|ψ >|2daavec< a,i|a?,i?>=δ(a-a?)δii? 3/´Etat apr`es la mesure
Dans tous les cas l"´etat|ψ?>apr`es la mesure est la projection norm´ee de|ψ >sur le sous-espace
associ´e au r´esultat de la mesure.Dans le cas du spectre discret :
|ψ?>=|a >ou|ψ?>=g i=1|a,i >< a,i|ψ > ?P(a). 10 Dans le cas du spectre continu et lorsqu"on mesureaavec une pr´ecision Δa: a+Δa/2 a-Δa/2|a?>< a?|ψ > da? ?P(a-Δa/2, a+ Δa/2) avec :P(a-Δa/2, a+ Δa/2) =?
a+Δa/2 a-Δa/2|< a?|ψ >|2da?sian"est pas d´eg´en´er´ee et les mˆemes formules avec somme surisiaest d´eg´en´er´ee.
Remarques :
?ces expressions ne sont valables que si|ψ >est norm´e et si les|a >sont orthonorm´es, au sens large s"il s"agit du spectre continu. ?on peut ´etendre ces expressions au cas o`u la d´eg´en´erescence est continue.II. Exercices
A) On consid`ere un syst`eme dont l"espace des ´etats, qui est`a trois dimensions, est rapport´e `a la
base orthonorm´ee form´ee par les trois kets|1>,|2>,|3>. Dans la base de ces trois vecteurs, l"op´erateur hamiltonienHdu syst`eme et deux observablesAetBs"´ecrivent :H=e((1 0 00 2 00 0 2))
, A=a((1 0 00 0 10 1 0)) , B=b((0 1 01 0 00 0 1)) o`ue,aetbsont des constantes r´eelles positives.1/Indiquer les valeurs propres et les sous espaces propres associ´es de ces trois op´erateurs.
2/Montrer :
a/ aucun des trois op´erateurs n"est un E.C.O.C. `a lui seul. b/HetAforment un E.C.O.C. c/Bne peut former un E.C.O.C. ni avecHni avecA.3/Mesure deApuisB.Le syst`eme se trouve dans l"´etat|??=|1?. On effectue une mesure de
Apuis une mesure deB. Quels sont les r´esultats de mesure possibles et l"´etat dusyst`eme apr`es
mesure?4/Reprendre la question pr´ec´edente lorsqu"on mesure d"abordBpuisA.
5/At= 0 on place le syst`eme dans l"´etat :
|ψ(0)?=1 ⎷2|1?+12|2?+12|3?. On mesure l"´energie du syst`eme `at= 0. Quelles valeurs peut-on trouver et avec quelles proba- bilit´es?Calculer, toujours `at= 0 la valeur moyenne< H >|ψ(0)?de l"´energie dans l"´etat|ψ(0)?ainsi
que l"´ecart quadratique moyen ΔH.6/On mesureA`at= 0. Quels r´esultats peut-on trouver et avec quelles probabilit´es?
Quel est le vecteur d"´etat imm´ediatement apr`es la mesure? 117/Mˆeme question en rempla¸cantAparB.
8/Mesure et ´evolution temporelle.Le syst`eme se trouve initialement dans l"´etat|ψ(0)?. Son
´etat quantique ´evolue au cours du temps. Calculer le vecteur d"´etat|ψ(t)?`a l"instantt.
9/Reprendre les questions 7/ et 8/ en se pla¸cant `a un instanttquelconque et non plus `a l"ins-
tantt= 0.10/Calculer les valeurs moyennes< A >|ψ(t)?et< B >|ψ(t)?deAetB`a l"instantt.
B)Normalisation des bases continues
Calculer les fonctions d"onde propres de l"impulsion norm´ees au sens large par rapport `akpuis par rapport `ap.Facultatif :Calculer les fonctions d"onde propres de l"´energie norm´ees au sens large par rapport
`aEpour une particule libre. C)Facultatif :Une particule est dans un ´etat|ψ?quelconque (norm´e) `at= 0, et son hamilto- nienHest ind´ependant du temps.1/Montrer que les probabilit´es des diff´erents r´esultats possibles d"une mesure de l"´energie (dis-
tribution statistique de l"´energie), sont ind´ependantes de l"instanttauquel on effectue la mesure.
2/G´en´eraliser ce r´esultat au cas de la mesure d"une observableAcommutant avec le hamilto-
nien : [A,H] = 0.D)Facultatif :Calculer la densit´e de probabilit´e en ´energie `a un instant quelconquetpour un
paquet d"onde gaussien libre dont la fonction d"onde `a l"instantt= 0 est :ψ(x,0) =?2
πa2?
1/4 e ik0xe-x2/a2.E)Facultatif :Montrer que les r`egles ´enonc´ees au I) contiennent en particulier les deux r´esultats
suivants :la densit´e de probabilit´e des positions est le carr´e du module de la fonction d"ondeψ(x).
la densit´e de probabilit´e des impulsions est le carr´e du module de :ψ(p,t) =1
⎷2π?? exp(-ipx?)ψ(x,t)dxF)Facultatif :Une particule a la fonction d"onde quelconqueψ(x) (norm´ee) `a un instant donn´e.
On mesure sa position avec une pr´ecision Δx. Quelle est la probabilit´e d"obtenir le r´esultat dans l"intervalle [x0-Δx/2, x0+ Δx/2]? Quelle est la fonction d"ondeψf(x) apr`es la mesure?Dans le cas o`uψ(x) est r´eelle indiquer comment le graphe deψf(x) se d´eduit de celui deψ(x).
12 T.D. no6 : Sym´etries et loi de conservation - Syst`eme `a 2 niveauxI. Transformations en M´ecanique Quantique
D efinition(A. Messiah, Tome 2 chap. XV) : effectuer une transformationTsur un syst`emephysique, c"est remplacer chacune de ses variables par une nouvelle variable, chacun de ses ´etats
par un nouvel ´etat,tout en conservant les propri´et´es physiques du syst`eme.Soit un syst`eme physique d´ecrit par un vecteur d"´etat|ψ?appartenant `a un espace de Hilbert
H.`A une transformationTdonn´ee correspond un op´erateurˆTagissant dans l"espace de Hilbert.
Effectuer une transformationTdu syst`eme physique consiste `a appliquer l"op´erateurˆTsur l"´etat
|ψ?:|ψ? → |ψ??=ˆT|ψ?.1. Soit
ˆAune observable.`A quelle condition{ˆA}est-il un E.C.O.C? On supposera cette condition v´erifi´ee par la suite. On notera|?1?,...,|?n?les vecteurs propres deAeta1,...,anles valeurs propres correspondantes.2. Rappeler l"expression de la probabilit´ePide trouver la valeuraicomme r´esultat de la
mesure deˆA.3. On note|??i?=ˆT|?i?. Donner l"expression de la probabilit´eP?id"observer le syst`eme
d´ecrit par|ψ??dans l"´etat|??i?.4. Par d´efinition, une transformationTconserve les propri´et´es physiques du syst`eme. En
d´eduire queˆTest un op´erateur unitaire, c"est `a dire queˆTˆT=I, o`uIest l"op´erateur
identit´e.5. La transformation agit ´egalement sur les observables. Consid´erons `a pr´esent l"observableˆA
et sa transform´eeˆA?. CommeTconserve les propri´et´es physiques du syst`eme, elle conserve
aussi la valeur moyenne deˆAdans l"´etat|ψ?. En d´eduire queˆA?=ˆTˆAˆT.6. On dit que l"observable
ˆAest invariante sous la transformationˆTsiˆA?=ˆA. Montrer que dans ce cas [ˆA,ˆT] = 0.7. On consid`ere le cas particulier du hamiltonien
ˆH. Montrer que siHest invariant sous une
transformationˆTet queˆTne d´epend pas explicitement du temps, alors : dquotesdbs_dbs11.pdfusesText_17[PDF] exercice corrigé méthode de newton
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