Mécanique Quantique III
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Cours de Mécanique Quantique Avec Exercices corrigés
-Cours de Mécanique Quantique Avec Exercices corrigés-. 3emeAnnée PES Physique Exercices : l'effet photoélectrique. Exercice : expérience de Millikan (1916).
Mecanique quantique. Cours et exercices corriges
Introduction. 1. 1.1 Qu'est-ce que la mécanique quantique ? 1. 1.2 Brèves considérations historiques. 2. 1.3 La structure des théories physiques.
Notes de cours sur la mécanique quantique
2 févr. 2015 ... PDF de C. Cohen-T :[Cla88] ou de Serge Haroche [Har02]. Exemple de ... Exercice 7.3.2. @@ à developper @@ Si le potentiel U ( x) est une ...
Mécanique Quantique 1 —– CORRIGÉ Séance dexercices 1 : États
Mécanique Quantique 1 —– CORRIGÉ. La première partie de ce document donne la correction détaillée de la séance d'exercice 1 sur les états liés du puits carré
Mécanique quantique - 3e édition
2 mars 2022 . Introduction à la mécanique quantique. Cours et exercices corrigés. Dunod (2000). Page 15. 2. 1 • Sources de la mécanique quantique a) Onde ...
Mécanique Quantique 1 CORRIGÉ Séance dexercices 4
Mécanique Quantique 1 CORRIGÉ. Séance d'exercices 4 : oscillateur harmonique opérateurs d'echelle et champ électromagnétique quantifié. Exercice 1 â = 1. /. 2.
Exercices et Contrôles Corrigés de Mécanique Analytique et
Figure 1.1 – Syst`eme de treillis. 1.1.2 Exercice. 3. Page 4. Formalisme lagrangien.
Exercices et problème.s corriges
Pour obtenir en mécanique quantique l'opérateur H'(e) en présence du champ E PROBI.EMES CORRIGES DE PHYSIQUE à un facteur de phase prèM. ♢ La probabililé ...
0〉 = 0
discute aussi de la relation formelle entre la mécanique statistique et la mécanique quantique en L'objet de cet exercice est de démontrer la formule de ...
Mécanique Quantique III
extenso les corrigés des exercices et probl`emes proposés `a la fin de chaque chapitre de l'ouvrage Mécanique Quantique tomes I et II.
Cours de Mécanique Quantique Avec Exercices corrigés
Solution. Il faut qu'il y ait absorption totale du rayonnement pour que la loi décrivant l'intensité du rayonnement émis soit universelle.
Mecanique quantique. Cours et exercices corriges
1.4 Aperçu des postulats de la mécanique quantique. 13. 1.5 Premières conséquences importantes. 16. Annexe 1.A : La physique quantique en quelques dates.
Mécanique Quantique 1 —– CORRIGÉ Séance dexercices 1 : États
PHYSH301/2016-2017. Mécanique Quantique 1 —– CORRIGÉ. La première partie de ce document donne la correction détaillée de la séance d'exercice 1 sur les.
Travaux Dirigés de Mécanique Quantique
? on peut étendre ces expressions au cas o`u la dégénérescence est continue. II. Exercices. A) On consid`ere un syst`eme dont l'espace des états qui est
Travaux dirigés de mécanique quantique – L2 ; 2019
Vous devriez trouver des résultats similaires à l'exercice 33. 35 Valeurs moyennes dans un puits infini. Considérer une particule de masse m dans une potentiel
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Mécanique Quantique 1 CORRIGÉ. Séance d'éxercices 8 : Information Quantique. L'unité de base d'information est le bit qui peut prendre deux valeurs
Constantes Physiques
c= 299792458 m=skB= 1:3806581023J=K h= 6:6260761034Js~= 1:0545731034Js0= 8:8541881012F=me= 1:6021771019C
R1= 10973731:534 m
1a0= 0:5291771010m
m e= 9:1093901031kgmp= 1:6726217771027kg m n= 1:6749273511027kgNA= 6:0221371023mol12=(2mea20) =e2=(80
a0) = 13:61 eV2 - Les échecs de la physique classiques
1 Rayonnement du corps noir
a) On considère la loi de déplacement de Wien et on étudie un corps noir maintenu à la température de 2500
K. Calculer, en nanomètres, la longueur d"onde pour laquelle l"émission est maximale d"après la loi de Wien.
Cette longueur appartient-elle au visible?
b) Démontrer la loi de déplacement de Wien à partir de la formule de Planck : (;T) =8hc 5 1exp( hck BT)1;où(;T)est la densité d"énergie électromagnétique du rayonnement de corps noir par unité d"intervalle de
longueur d"onde, pour la longueur d"ondeet la températureT.c) D"après la loi de Planck, montrer que la puissance totale émise par un corps noir (c"est-à-dire pour toutes
les longueurs d"onde) est proportionnelle à la puissance quatrième de la températureT.2 Effet photoélectrique
On envoie sur une photocathode en potassium une radiation ultraviolette= 253;7nm (raie du mercure); on
constate que l"énergie maximale des photoélectrons éjectés est 3,14 eV. Si on envoie une raie visible= 589;5
nm (raie jaune du sodium), l"énergie maximale est alors 0,36 eV. a) Retrouver la valeur de la constante de Planck. b) Calculer l"énergie d"extraction minimale des électrons du potassium.c) Calculer la longueur d"onde maximale des radiations pouvant produire un effet photoélectrique sur le potas-
sium. 13 L"atome d"hydrogène de Bohr
Selon le modèle de Bohr de l"atome d"hydrogène, l"électron tourne autour du proton sur des orbites circulaires.
a) Considérant un référentiel dont l"origine est au centre du proton, écrire l"équation fondamentale de la dy-
namique pour le mouvement de l"électron sur une orbite circulaire. En déduire la vitessevde l"électron en
fonction de la distancerentre l"électron et le proton.b) Bohr postule que seules certaines trajectoires circulaires privilégiées, appeléesorbites stationnaires, peuvent
être suivies par l"électron. Pour quantifier ces orbites, Bohr reprend une condition établie antérieurement
partant de l"idée que toute grandeur d"un système quantique qui s"exprime en joules secondes, comme la
constante de Planck, est égale à un multiple entier de cette constante. Montrer que l"intégrale de la quantité
de mouvementpd"une particule le long d"une trajectoire quelconque, à savoir : S=Z ~pd~la bien les mêmes dimensions que la constante de Planck. Dans le cas de la trajectoire circulaire d"un électron,
déterminer la condition de quantification en intégrant sur un cercle. Cette condition de quantification a été
interprétée par Louis de Broglie comme une condition derésonancede l"onde associée à l"électron.
c) Calculer l"expression des rayonsrndes orbites stationnaires.d) Calculer numériquement le rayona0de la plus petite orbite stationnaire, appelérayon de Bohr.
e) Calculer l"énergieEnde l"électron lorsqu"il circule sur une orbite stationnaire.4 Temperature des étoiles
a) Comme=c, la loi de déplacement de Wien peut être mise sous la forme maxT= const;oùmaxest la longueur d"onde à laquelle le rayonnement spectral est maximum pour une températureT
donnée. La valeur déterminée expérimentalement pour la constante de Wien est 2.898103m K. Si on
assume que la surface d"une étoile se comporte comme un corps noir, nous pouvons obtenir une bonne
estimation de leur température par une mesure demax. Pour le Soleil,max= 510nm, alors que, pour l"étoile polaire,max= 350nm. Trouver les températures de surface de ces deux étoiles.b) En utilisant la loi de Stefan et les températures obtenues, déterminer la puissance émise par 1 cm
2de surface
stellaire.5 Travail d"extraction
La figure ci-dessous montre le résultat d"une expérience ou une photocathode du sodium a été illuminée par de
la lumière. L"énergie cinétique des électrons éjecté a été mesurée en fonction de la fréquence de la lumière :a) Calculer le travail d"extraction pour le sodium
b) Quelle longueur d"onde de la lumière est nécessaire pour obtenir des électrons d"énergie 51019J?
26 Modèle de Bohr
a) Calculez (en nm) la longueur d"onde de la lumière émise quand un atome d"hydrogène subit une transition
du 2 emeétat excité vers le 1erétat excité.b) Sans calcul numérique, comment se compare-t-elle à la longueur d"onde de la lumière émise dans une tran-
sition de 1 erétat excité vers l"état fondamental?7 Séries de Rydberg
a) Utiliser la formule de Rydberg pour calculer les longueurs d"ondes pour les trois premières raies dans la
première série de Rydberg (la série de Lyman), en nm. b) Avec la même formule, estimer l"énergie d"ionisation pour l"hydrogène. 33 - Dualité onde - particule
8 Diffraction des particules quantiques
Outre les phénomènes de diffraction des électrons ou des neutrons thermiques, diverses expériences d"inter-
férences, du type fentes d"Young, ont également permis de vérifier l"expression de la longueur d"onde de de
Broglie. Les particules utilisées ont été des électrons, des neutrons, des ions, et, plus récemment, des molécules.
Les longueurs d"onde mises en jeu sont cependant bien inférieures à celles de la lumière ainsi que nous allons le
voir.a) Déterminer l"expression de la longueur de l"onde associée à un faisceau monocinétique d"électrons accélérés
sous une différence de potentielV. Calculer cette longueur d"onde pourV= 10kV.Des molécules de fullerène C
60ont été utilisées pour effectuer une expérience d"interférences. Ces molécules
comportent 60 atomes de carbone situés aux sommets d"un icosaèdre tronqué (voir figure), polyèdre ayant la
structure d"un ballon de football.b) Les molécules sortent d"un four à environ 1000 K à une vitesse la plus probable de 220 m/s. Calculer la
longueur d"onde de de Broglie des ondes associées à ces molécules. c) Un faisceau collimaté de ces molécules traverse un réseau nanogravé de SiN xcomposé de fentes de largeurnominale 50 nm et dont la période est de 100 nm. La figure d"interférence est mesurée à une distanceDdu
réseau avec une résolution de l"ordre du micromètre (voir figure de droite). Les premiers minima bordant la
frange centrale sont bien visibles. EstimerDà partir des données du problème.9 Diffraction d"électrons
a) On envoie sur un cristal métallique, où deux atomes voisins sont distants dea= 200pm, un faisceau
d"électrons d"énergie cinétiqueEc= 20eV. Évaluer la longueur d"onde de de Broglie,dB, caractéristique
des électrons. b) Est-ce qu"on peut prévoir un phénomène de diffraction? Pourquoi?10 Recul dû à des photons
a) Un faisceau de lumière infrarouge a une longueur d"onde de 852 nm. Quelle est la quantité de mouvement
d"un seul photon de ce faisceau? b) Si un atome de césium (avec massemCs= 133u) absorbe des photons avec un tauxdN=dt= 1:6107s1, quelle est l"accélération de l"atome, exprimée eng?11 Déplacement de recul
Un système atomique dans un état excité d"énergieE1revient dans son état fondamental d"énergieE0en
émettant un photon qui emporte la différence d"énergie rendue disponible.On suppose le système, de massem, initialement au repos. Montrer que la conservation de la quantité de
mouvement lui communique un certain recul et qu"il emporte, en conséquence, une fractionEde la différence
d"énergieEa=E1E0, laissant au photon l"énergieEaE. Montrer que dans les conditions courantes non
relativistes oùEamc2, on aE'E2a=(2mc2). 412 Effet Compton
La figure suivante illustre l"effet Compton. En physique quantique, un faisceau de radiation électromagnétique,
de fréquence, est considéré comme un flux de photons qui ont des caractéristiques de particules. Chacune de
ces particules a une énergieE=het une quantité de mouvementp=h=, oùest la longueur d"onde. La
diffusion de ces particules sur des particules chargées peut alors être vue comme une collision.
On suppose qu"un photon se déplaçant le long de l"axe desxsubit une collision avec une particule de masse
m0. Suite à la collision, le photon est diffusé suivant un angleet sa fréquence est changée.
Trouver l"augmentation de la longueur d"onde du photon en fonction de l"angle de déflection.xyh!h/!E
0 xyAvant la collisionAprès la collisionp,Eh!
h/! !!13 Pression de radiationOn considère un faisceau de lumière monochromatique d"intensitéI(unité W/m2) et de fréquencefrappant
une surface totalement absorbante. On suppose que la lumière est incidente suivant la normale à la surface. En
utilisant la théorie électromagnétique classique, on peut montrer qu"il y a une pression sur la surface, appelée
la pression de radiation, qui est reliée à l"intensité de la source parP=I=c.a) Cette pression de radiation est-elle présente dans la description quantique en terme de photons?
b) Quelle est la pression de radiation en fonction du flux de photonsN? 54 - La fonction d"onde
14 Amplitude de probabilité
Une particule peut suivre deux trajectoire différentes et indiscernables, vers un détecteur. Les deux différentes
fonctions d"ondes qui correspondent aux trajectoires sont : A1(x) =Beikx
A2(x) =Dei(kx+'):
Les quantitésBetDsont réelles et'représente une différence de phase. a) Quelle est la probabilité que la particule prenne la trajectoire 1? b) Quelle est la probabilité que la particule prenne la trajectoire 2? c) Quelle est la probabilité totale de détecter la particule par le détecteur? d) Supposons queB=D. Calculez les probabilités totales pour les deux cas'= 0et'=.15 Fonction d"onde et probabilités
Au tempst= 0, une particule est représentée par la fonction d"onde : (x;0) =8 >:A xa ;si 0xa; A (bx)(ba);siaxb;0;ailleurs;
oùA,aetbsont des constantes. a) Normaliser(c"est-à-dire, exprimerAen fonction deaetb). b) Tracer(x;0)en fonction dex. c) Où est-il plus probable de trouver la particule àt= 0?d) Quelle est la probabilité de trouver la particule à gauche dea? Contrôlez votre résultat pour les cas limites
b=aetb= 2a.16 Dérivés partielles
Considérons la fonction d"onde :
(x;t) = sin2 (xvt) Pour cette fonction, calculer les quatre dérivés partielles suivantes : @(x;t)@x ;@(x;t)@t ;@2(x;t)@x2;@2(x;t)@t
2:17 Valeur absolue d"une fonction d"onde
Montrer que la fonction(x;t)(x;t)est forcement réelle et positive (ou zéro).18 Normalisation
Normaliser la fonction :
(x;t) =Ae(pCm=2~)x2e(i=2)pC=mt C"est à dire, trouver la constanteAexprimée en fonction deC,met~. On donne queR+11exp(x2)dx=p.
619 Fonction d"onde exponentielle
Une fonction d"onde est de la forme (x) =Aejxj=a.
a) Normaliser la fonction d"onde et préciser la valeur deAen fonction dea. b) Tracer la densité de probabilitéj (x)j2en fonction dex.c) Quelle est la probabilitéP(b)de trouver la particule entrebet+b. TracerP(b)en fonction deb. Evaluer
la valeurb99debpour laquelleP(b) = 0:99.20 Densité en parabole inversée
Une fonction d"onde est de la forme (x) =Ap1x2=a2pourax+aet zéro en dehors. a) Normaliser la fonction d"onde et préciser la valeur deAen fonction dea. b) Tracer la densité de probabilitéj (x)j2. Quelle est la position la plus probable? c) Calculer les valeurs moyennes de la positionhxiet de la quantité de mouvementhpi.d) Calculer la valeur de moyenne de la position au carréhx2i. En déduire l"écart quadratique moyenx=phx2i hxi2
21 Interféromètre de Mach-Zender
Dans un interféromètre de Mach-Zender, les photons émis par une source traverse une lame séparatrice qui leur
fait suivre deux chemins possibles de même longueur. Sur chaque chemin, les photons sont réfléchis sur des
miroirs puis envoyés sur deux détecteurs par une seconde lame séparatrice. On a 4 amplitudes de probabilités
possibles de modules identiquesA. On noteAb1etAb2les amplitudes pour passer par le chemin du bas etarriver sur les détecteur1et2.Ah1etAh2sont celles pour passer par le chemin du haut et arriver sur les
détecteurs 1 et 2. Sur le chemin du haut, on place un appareil qui donne un déphasageà la lumière. Pour le
moment = 0.Miroir Lame séparatrice Lame séparatriceDétecteur 1Détecteur 2
Miroir
Chemin BasChemin Hauta) A chaque fois qu"un photon subit une réflexion sur un miroir ou une réflexion directe sur une lame, il subit
un changement de phase de. A chaque fois qu"un photon traverse une lame ou subit une réflexion après
avoir traversé l"épaisseur de la lame, il ne subit pas de changement de phase. Trouver les expressions des
amplitudes de probabilité. b) En déduire les probabilitésP1etP2d"arriver aux détecteurs 1 et 2.c) On applique maintenant une phase supplémentairesur le chemin du haut. Retrouver les amplitudes de
probabilité et les probabilités. 75 - Opérateurs
22 Valeurs moyennes
Considérons la fonction d"onde normée :
(x;0) =8 :q2 a sinkx;si 0xa;0;ailleurs;
oùk=n=aetnest un nombre entier (n= 1;2;3;4). a) Pourn= 1, 2 et 3, déterminer quelles valeurs dexsont les plus probables dans une observation. b) Déterminer les valeurs moyennes de la position pour les même trois valeurs den. c) Déterminer aussi les valeurs moyennes de la quantité de mouvement.23 Largeur de bande d"une émission de télévision
Le signal émis par une station de télévision contient des impulsions de largeur totalet106s. Expliquer
pourquoi ce n"est pas possible de transmettre le signal dans la bande AM (0.5 MHz -1.5 MHz).24 Transitions atomiques et nucléaires
Revenir à exercice 11, où nous avons calculé le déplacement de recul pour un système atomique qui émet un
photon. On a observé une petite différence entre l"énergie du photon émis et l"énergie de l"état excité de l"atome
due à ce recul.a) Supposons maintenante que le niveau excité d"énergieE2possède une durée de vie. En déduire qu"il a une
largeur en énergieE2. Qu"en est-il, à cet égard, de l"état fondamental? A quelle condition un photon émis
comme indiqué plus haut peut-il être réabsorbé par un autre système de la même espèce, supposé au repos
dans son état fondamental? b) Appliquer ces résultats aux deux exemples suivants : - raie lumineuse visible du mercure :Ea= 4;86eV,= 108s,m= 3;41025kg; - émission du noyau de nickel :Ea= 1;33MeV,= 1014s,m=1,01025kg.25 L"oscillateur harmonique quantique
On considère un oscillateur mécanique, de massem, à une dimension, soumis au potentiel harmoniqueV(x) =
12kx2. L"énergie mécanique totale de cet oscillateur en fonction de sa positionxet de sa quantité de mouvement
ps"écrit :E=p2x2m+V(x):
a) Rappeler brièvement en quoi consiste le mouvement d"un tel oscillateur six(t= 0) =x0etpx(t= 0) = 0.
Préciser son énergie mécanique en fonction dex0.b) Dans une approche quantique, on se propose de voir comment les inégalités de Heisenberg permettent de
prévoir l"existence d"un état fondamental. On rappelle que la dispersionad"une grandeuraest donnée
par : (a)2=h(a hai)2i; oùh:::isymbolise la valeur moyenne au sens quantique pour un état du système. i : Donner un argument classique de plausibilité pour l"hypothèse suivante :hxi= 0ethpxi= 0. ii : Montrer que(x)2=hx2iet que(px)2=hp2xi.iii : Utiliser l"inégalité de Heisenbergxpx~=2pour borner inférieurement l"énergiehEide l"oscillateur
par une fonction dehp2xiuniquement. iv : Montrer que cette fonctionhEipossède un minimum absolu que l"on exprimera en fonction de la pulsation caractéristique du système!=pk=m. 826 Vitesse d"un virus
Considérons un virus de taille 1 nm. Supposons que sa densité est égale à celle de l"eau et que le virus est localisé
dans une région environ égale à sa taille. Quelle est la vitesse minimale du virus?27 Commutateurs
Prouver que, pour des opérateursA,BandC, les identités suivantes sont vraies : a)[B;A] =[A;B] b)[A+B;C] = [A;C] + [B;C] c)[A;BC] = [A;B]C+B[A;C]28 Incertitudes de la position et de la quantité de mouvement
Une particule est décrite par la fonction d"onde suivante (x) =a1=4eax2=2:
Calculerxetpet vérifier la relation d"incertitude. On donne +1Z 1 x nexp(x2)dx= ((n+ 1)=2) pourn0 où(n+ 1) =n(n),(1=2) =pet(1) = 1.29 La position d"un positron
La vitesse d"un positron est mesurée à :vx= (4:000:18)105m/s,vy= (0:350:12)105m/s,vz=(1:410:08)105m/s. Dans quel volume minimal était positionné le positron au moment de la mesure?
30 Interaction forte
En physique nucléaire, l"interaction forte entre deux protons (ou neutrons) est due à une particule qu"on appelle
le pion (noté). La particule est émise par un des protons puis absorbée par l"autre, ce qui transmet l"interaction.
Pendant que la particule existe, l"énergie du système est augmentée de son énergie de massemc2'139MeV. La
création de la particule est possible car l"énergie du système n"a pas une valeur fixe mais une certaine dispersion
E.a) Trouver pendant quel temps typiquele pion peut vivre, par utilisation de la relation d"incertitude de
Heisenberg.
b) En déduire quelle distancedle pion peut parcourir au maximum durant sa vie. Cette distance est la portée
des forces nucléaire. Comparer là à la taille typique d"un noyau.c) On reprend le calcul mais en supposant que la masse du pion tend vers zéro. Comment évoluerait la distance
d"interaction? Comparer au cas du photon, particule de masse nulle qui transmet l"interaction électroma-
gnétique. 931 Atome d"hydrogène
Un atome d"hydrogène est composé d"un proton de chargeeet d"un électron de chargeeet de masseme. Le
proton peut être supposé fixe et l"électron se déplace autour du proton dans un potentiel Coulombien
V(r) =e2401r
oùrest la distance proton-électron.a) On suppose que l"incertitude sur la position de l"électron estret que la valeur moyenne de l"impulsionp
est nulle. En utilisant la relation d"incertitude, trouver que l"énergiehEidoit être supérieure à une certaine
expression dépendant uniquement der.b) Chercher la valeur minimale possible de l"énergieEminet trouver pour quelle distancerminelle est obtenue.
c) Calculer les valeurs numériques deEminetrminet comparer aux énergies et tailles connues pour l"atome
d"hydrogène. On rappellee= 1:61019C,~= 1:051034kg m2s1,0= 8:851012C2m3kg1s2 etme= 9:11031kg.32 Relation de Heisenberg
Une fonction d"onde normée est de la forme
(x) =1pa cosx2a poura < x < a et zéro sinon. a) Expliquer pourquoihxi= 0ethpxi= 0. b) Calculerx. c) Calculerpx. d) Vérifier la relation d"incertitude de Heisenberg.On donne les relations suivantes :
=2Z =2cos2(x)dx=2
;=2Z =2x2cos2(x)dx=3624
'0:5605 107 - Le puits infini quantique
33 Particule quantique dans un puits rectangulaire infini
On considère une particule piégée dans un puits de potentiel. On suppose que le potentiel est nul pour0xa
et infini (très grand), pourx <0et pourx > a. Une particule n"allant jamais dans une région de potentiel infini,
x 0a ~22md2 (x)dx2=E (x);
dont une solution générale s"écrit : (x) =Asinkx+Bcoskx:quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23[PDF] exercice corrigé méthode de newton
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