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Sch´ema de H¨orner
1 Le sch´ema de H¨orner pour le calcul de valeurs
1.1 Un exemple
Soit la fonction polynˆomePd´efinie parP(x) = 2x3-7x2+ 4x-1.On souhaite calculerP(a) poura= 5.
Le calcul deP(5) n´ecessite 6 multiplications et 3 "additions-soustractions" :P(5) = 2
×5×5×5-7×5×5+4×5-1 = 94
Si on utilise l"´ecriture suivanteP(x) = ((2x-7)x+ 4)x-1, le calcul de l"image de 5 n´ecessite 3 multi-
plications et 3 "additions-soustractions" :P(5) = ((2
×5-7)×5+4)×5-1 = 94
On admet que l"´ecriture pr´ec´edente deP(x), nomm´ee sch´ema de H¨orner, se g´en´eralise `a un pˆolynome de
d´egr´e quelconque.1.2 Pr´esentation pratique
En pratique, on peut pr´esenter le calcul pr´ec´edent deP(a) `a l"aide du tableau suivant :2-74-1
a= 5101595231994
construit selon la m´ethode d´ecrite ci-dessous :P(a) =
2a3-7a2+ 4a-1
= ((2a-7)a+ 4)a-12-74-1
a= 5101595231994
×a+
2 Le sch´ema de H¨orner pour la division parx-a
La derni`ere ligne du tableau pr´ec´edent ne nous livre pas seulement la valeur deP(a).En effet, si construit en utilisant les trois premiers coefficients de cette ligne, le polynˆomeQde degr´e 2
de la mani`ere suivante :231994
Q(x) =2x2+3x+19
on remarque que : Q(x)(x-a) = (2x2+3x+19)(x-5) = 2x3-7x2+4x-95 = (2x3-7x2+4x-1)-94 =P(x)-P(a). On admet que ce r´esultat se g´en´eralise `a un polynˆomePde d´egr´e quelconque.Dans le cas particulier o`uaest une racine deP(c.a.d.P(a) = 0), le tableau de H¨orner nous donne la
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