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Comment faire la méthode de Horner ?
qui est appelée méthode de Horner. Un élément de la ligne inférieure s'obtient en multipliant l'élément qui le préc? par le nombre figurant dans la première colonne, en pla?nt le résultat dans sa colonne et en effectuant la somme de deux premiers nombres de la colonne.Quand utiliser Horner ?
La règle de Horner ne peut être utilisée que lorsque le diviseur est un polynôme du premier degré. Par exemple, divisons 2x4?18x2+2x+5 par x+3.- Il faut construire un tableau de 3 lignes et n colonnes ou n est le degré du polynôme f (donc ici n vaut 4). La colonne 1 ne contient que le réel a = ? 2 a = -2 a=?2 a la 2ème ligne, les autres cases restent vides.
![[PDF] I Méthode Horner](https://pdfprof.com/Listes/17/22861-17Horner.pdf.pdf.jpg "[PDF] I Méthode Horner")
IMéthode Horner
1 Le principe
Prenons l"exemple deP(x) = 3x5-2x4+ 7x3+ 2x2+ 5x-3. Pour calculer P(x) le calcul classique nécessite ......multiplications et ......additions. De même si on généralise Pour calculerP(x) =anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0 il faut ..................multiplications et ...............additions. Dem : On peut faire de nombreuses économies de calcul en suivant leschéma suivant :P(x) =anxn+···+a2x2+a1x?
on metxen facteur+a0 anxn-1+···+a3x+a2? on metxen facteur+a1)) x+a0 = (...(((anx+an-1)x+an-2)x+an-3)...)x+a0Ici cela donneP(x) = 3x5-2x4+ 7x3+ 2x2+ 5x-3
= (3x4-2x3+ 7x2+ 2x+ 5)x-3 Avec cette forme deP(x) il y a ......multiplications et ......additions. Dans le cas généralP(x) = (...(((anx+an-1)x+an-2)x+an-3)...)x+a0Il y a au maximum ............multiplications et ............additions (voir moins avec les zéros).
Appliquer cet algorithme avec les polynômes suivants. f(x) = 4x3-8x2-7x-1g(x) = 4x4-23x2-15x-2Entrées: Les coefficientsaidans l"ordre décroissant des exposants des monômes, le monôme x1
début2 n :=degré du polynôme P.3Q :=an4
pour kallantde1ànfaire5Q:=Q?x+an-k6
fin7 Sorties: Q qui est égal à P(x) sous la forme d"un polynôme de Horner8Algorithme 1: Algorithme de Horner
1Pour faire les calculs "à la main» il est plus facile de le présenter autrement. Par exemple pour
f(x) = 4x3-8x2-7x-14 -8 -7 -1?
???x 4x(4x-8)x((4x-8)x-7)x4 (4x-8) (4x-8)x-7 ((4x-8)x-7)x-1
Par exemple pour calculer f(2). Calculer de même pourf(3),P(2). f4 -8 -7 -1? ???2 8 0-144 0-7-15
Doncf(2) =-15.
f4 -8 -7 -1? ???3 ... ... ...Doncf(3) =......
P3 -2 7 2 5 -3?
???2 ... ... ... ... ...DoncP(2) =......
2 Démonstration
SoitPun polynôme de degrén,x0un réel.
On cherche à déterminer un polynômeQ(x) tel queP(x) = (x-x0)Q(x) +P(x0). Qest forcément un polynôme de degrén-1 et on a : ➔P(x) =anxn+···+a1x+a0 ➔Q(x) =bn-1xn-1+···+b1x+b0. ➔P(x) = (x-x0)Q(x) +P(x0). Exprimer les coefficients deQen fonction des coefficients dePet deP(x0) (x-x0)Q(x) +P(x0) = (x-x0)(bn-1xn-1+bn-2xn-2+···+b1x+b0) =anxn+ ( )xn-1+···+ ( )x2+ ( )x+ ( ) n=...... a n-1=...... a2=......
a1=......
a n-1=...... b n-2=...... b1 =...... b0=......
P(x0) =......
P anan-1...a2a1a0?
???x0... ... ... ... ... bn-1bn-2...b1b0P(x0) coefficient est bienP(x0). On a démontré l"existence et l"unicité du polynômeQ(x).3 Expérimentation avec xcas
Ouvrer xcas et dans un environnement de programme (Alt+p) taper :Horner(C,x):={
localQ,k,n;//les variables locales n:=size(C)-1;// Le degré du polynome PQ:=C[0];
pourkde1jusquenfaireQ:=(Q*x)+C[k];
fpour; retourne(Q) Compiler ce programme (F9) et dans une autre entrée tester leavec :L:=[3,-2,7,2,5,-3]
Horner(L,2)
Horner(L,10000)
Horner(L,x)
24 Utilisation de cet algorithme
Nous avons démontré queP(x) = (x-x0)Q(x) +P(x0) oùQ(x) est le polynôme obtenu avec l"algo-
Six0est une racine dePalors On trouvep(x0) =......et doncP(x) =.........Par exemple calculerf?-1
2? en complétant le tableau ci dessous.4 -8 -7 -1?
-12... ... ...
Donner alors une première factorisation def(x). En déduire une factorisation "complète» def(x).
Nous allons donc modifier le programme précédent pour faire apparaitre tous les coefficientsHorner2(C,x):={
localQ,k,n; n:=size(C)-1;// Le degré du polynome PQ:=[];// on crée une liste vide
Q[0]:=C[0];
pourkde1jusquenfaireQ[k]:=(Q[k-1]*x)+C[k];
fpour; retourne(Q)En utilisant cette fois le programme que nous avons crée calculerg(-2) en déduire une factorisation
deP. CalculerQ? -1 2? . En déduire une factorisation deQ(x) puis deP(x).5 Avec une calculatrice TI
PGRM➔NEW➔HORNER
Pour afficher seulementP(x0).
Prompt X
ClrList L6
Disp ??{AN,...,A0}??
Input L6
dim(L6)-1->NL6(1)->Q
For(K,1,N,1)
Q*X+L6(K+1)->Q
End Disp QPour afficher la liste des coefficients deQetP(x0).
Prompt X
ClrList L6
Disp ??{AN,...,A0}??
Input L6
dim(L6)-1->NFor(K,1,N,1)
L6(K)*X+L6(K+1)->L6(K+1)
EndDisp L6
On écrira seulement le deuxième programmecar il donne la liste des coefficients deQ(x). Pour tester plus facilement le programme écrire dans la listeL1 les coefficients 4-8-7-1.Exécuter le programme par exemple pour-0,5. Horner2➔-0.5➔L1 et vous devez obtenir 0 pour le
premier programme et pour le deuxième la liste qui est enL6 ={4-10-2 0}. On a doncP(-0.5) = 0 etP(x) = (x+ 0,5)(4x2-10x-2). On peut aussi modifier le programme pour faire afficher des fractions.Ce programme fonctionne aussi avec des complexes.
36 Avec python
defHorner(C,x): n=len(C)Q=C[0]
forkinrange(1,n):Q=Q?x+C[k]
returnQP=[4,-8,-7,-1]
print(Horner(P,0)) defHorner(C,x): n=len(C)Q=[0]?n;
Q[0]=C[0];
forkinrange(1,n):Q[k]=Q[k-1]?x+C[k]
returnQP=[4,-8,-7,-1]
print(Horner(P,-0.5))7 Correction de la démonstration
SoitPun polynôme de degrén,x0un réel.
On cherche à déterminer un polynômeQ(x) tel queP(x) = (x-x0)Q(x) +P(x0). Qest forcément un polynôme de degrén-1 et on a : ➔P(x) =anxn+···+a1x+a0 ➔Q(x) =bn-1xn-1+···+b1x+b0. ➔P(x) = (x-x0)Q(x) +P(x0). (x-x0)Q(x) +P(x0) = (x-x0)? b n-1xn-1+···+b1x+b0? +P(x0) =bn-1xn+···+b1x2+b0x-x0bn-1xn-1- ··· -x0b1x-x0b0+P(x0) =bn-1xn+ (bn-2-x0bn-1)n-1+···+ (b1-x0b2)x2+ (b0-x0b1)x-x0b0+P(x0)On a donc par identification
?b n-1=an b n-2-x0bn-1=an-1 b1-x0b2=a2
b0-x0b1=a1
n-1=an b n-2=x0bn-1+an-1 b1=x0b2+a2
b0=x0b1+a1
P(x0) =x0b0+a0
bienP(x0).Pour la programmation nous avons utilisé les listes [anan-1...a1a0] qui sont numérotées [p0p1p2...pn-1pn]
car les listes commencent à 0 (ou 1 pour la TI). 4quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] méthode des couts variables exercices corrigés
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