1 Polynômes 2 Algorithme de Horner
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2 3 1 2 Evaluation d'un polynôme : algorithme de Hörner 35 On préfère généralement utiliser l'algorithme de Hörner qui repose sur la factorisation
Comment faire la méthode de Horner ?
qui est appelée méthode de Horner. Un élément de la ligne inférieure s'obtient en multipliant l'élément qui le préc? par le nombre figurant dans la première colonne, en pla?nt le résultat dans sa colonne et en effectuant la somme de deux premiers nombres de la colonne.Quand utiliser Horner ?
La règle de Horner ne peut être utilisée que lorsque le diviseur est un polynôme du premier degré. Par exemple, divisons 2x4?18x2+2x+5 par x+3.- Il faut construire un tableau de 3 lignes et n colonnes ou n est le degré du polynôme f (donc ici n vaut 4). La colonne 1 ne contient que le réel a = ? 2 a = -2 a=?2 a la 2ème ligne, les autres cases restent vides.
Chapitre 4
Polyn^omes : evaluation et interpolation
4.1 Evaluation
4.1.1 Evaluation de Horner
Entree:a0;:::;an, coecients du polyn^omeP;t, reel.Sortie:val=P(t)
val an; pouriden1a0faireval ai+tval; fpour retournerval;Algorithme 1:Evaluation de Horner
L'algorithme est de complexite lineaire enn.
Exercice 4.1.1Programmez l'evaluation d'Horner en Python et en xcas, veriez avec la fonction xcas deja programmee.4.1.2 Evaluation de Newton-Horner
Theoreme 4.1.2Soitc0;:::;cn1des reels (distincts ou non). Alors les polyn^omesP0= 1,Pi= (Xc0):::(Xci1)(1in) forment une base deIRn[X]. L'ecriture d'un polyn^ome dans cette base s'appelleforme de Newton. Entree:c0;:::;cn1, centres de Newton;d0;:::;dn, coecients de Newton du polyn^omeP; t, reelSortie:val=P(t)
val dn; pouriden1a0faireval di+ (tci)val; fpour retournerval;4.2 Le polyn^ome d'interpolation
Theoreme 4.2.1Soit(c0;y0);:::;(cn;yn)une suite de points, avec lescideux a deux distincts. Il existe un unique polyn^ome d'interpolation de degre au plusn: L n(x) =n X i=0y i:Q0jn;j6=i(xcj)Q
0jn;j6=i(cicj)
1 Soitfla fonction qu'on cherche a interpoler aux centresc0;c1;:::(yi=f(ci)). Lek-ieme coecient de Newton du polyn^ome d'interpolation est notedk=f[c0;:::;ck], et on l'appelle la dierence divisee relative ac0;:::;ck. L n(x) =n+1X k=0d k:Pk(4.1)Proposition 4.2.2On1af[c0;:::;cn] =X
0inf(ci)Q
0jn;j6=i(cicj)
Corollaire 4.2.3On a :d0=y0,d1=y1y0c
1c0, d k=f[c0;:::;ck] =f[c1;:::;ck]f[c0;:::;ck1]c kc0Determination des dierences divisees
Entree:n, entier;c0;:::;cn, centres distincts;y0;:::;yn, valeurs. Sortie:d= (d0;:::;dn), vecteur des dierences divisees. pouride0anfaired i yi; fpour pouride1anfairepourjdenaifaired j djdj1c jcji; fpour fpourAlgorithme 2:Calcul des dierences divisees
Majoration de l'erreur
Theoreme 4.2.4Soitfune fonctionCn+1sur[a;b], notonsLnle polyn^ome d'interpolation def enn+ 1points distincts(ci)de[a;b]. Alors, pour toutxde[a;b], il existex2[a;b]tel que : jf(x)Ln(x)j f (n+1)(x)(n+ 1)!:Pn+1(x) ouPn+1(x) =n Y i=0(xci). Exercice 4.2.5(Preuve du th). On pose :En=fLn, et pour unxxe distinct des(ci)dans [a;b], on pose aussiG(t) =En(t)Pn+1(t)P n+1(x):En(x). Montrer queGestCn+1sur[a;b]et y possede n+ 2zeros. Deduire le resultat du theoreme des valeurs intermediaires Exercice 4.2.6(Idees de projets) Etudiez l'interpolation avec des points egaux, ou bien etudiez le cas de la dimension 2, ou de l'interpolation par morceaux. Splines.Reference : Quarteroni-Sacco-Saleri : "methodes numeriques"1. en identiant le coecient dexndans la formule : 4.1
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