[PDF] Chapitre 8 PROBL`EMES D´EVOLUTION

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Chapitre 8

PROBL

EMES D'EVOLUTION

Exercice 8.2.1Soit

un ouvert borne regulier deRN. Soit un temps nalT >0, une donnee initialeu02L2( ), et un terme sourcef2L2(]0;T[;L2( )). On considere la solutionude l'equation 8>< :@u@t u=fp.p. dans ]0;T[ u= 0p.p. sur@ ]0;T[ u(x;0) =u0(x)p.p. dans :(8.1) 1. En supp osantque la solution ude (8.1) est assez reguliere dans]0;T[ , montrer que, pour toutt2[0;T], on a l'egalite d'energie suivante 12 Z u(x;t)2dx+Z t 0Z jru(x;s)j2dxds=12 Z u

0(x)2dx

Z t 0Z f(x;s)u(x;s)dxds:(8.2) 2. D emontrerla p roprietesuivante, app elee\lemme de Gronw all": si zest une fonction continue de[0;T]dansR+telle que z(t)a+bZ t 0 z(s)ds8t2[0;T]; oua;bsont deux constantes positives ou nulles, alors z(t)aebt8t2[0;T]: 3.

En ap pliquantl elemme de Gronw allavec z(t) =12

R u(x;t)2dx, deduire de (8.2) que, pour toutt2[0;T], 12 Z u(x;t)2dx+Z t 0Z jru(x;s)j2dxdset2 Z u

0(x)2dx

Z T 0Z f(x;s)2dxds :(8.3) 135

136CHAPITRE 8. PROBLEMES D'EVOLUTION

Correction.

1. En in tegrantle pro duitde l' equationd' evolutionpar usur , on obtient Z @u@t uuu dx=Z fudx: Par integration par partie et en echangeant l'operateur de derivation en temps et integrale, il vient ddt 12 Z u2dx +Z jruj2dx=Z fudx: Il sut alors d'eectuer une integration en temps pour obtenir l'egalite desiree. 2.

So itv(t) =a+bRt

0z(s)ds. La fonctionvest de classeC1et

v

0(t) =bz(t)bv(t):

Ainsi,

(v(t)exp(bt))0= exp(bt)(v0(t)bv(t))0 etv(t)exp(bt)v(0) =a. Commez(t)v(t), on a montre que z(t)aexp(bt): 3.

O np ose

z(t) =12 Z ju(x;t)j2dx; a=12 Z ju0(x)j2dx+Z T 0Z jf(x;s)j2dxds etb= 1. D'apres l'egalite d'energie etablie precedemment et en utilisant l'inegalitefu(jfj2+juj2)=2, on a pour tout 0< t < T, z(t)z(t) +Z t 0Z jru(x;s)j2dxds 12 Z ju0(x)j2dx+Z t 0Z jf(x;s)j2+ju(x;s)j2dxds a+Z t 0 z(s)ds: D'apres le lemme de Gronwall,z(t)aet. En integrant cette inegalite, on obtient a+Z t 0 z(s)dsaet: Cette derniere, combinee a la precedente, implique que 12 Z ju(x;t)j2dx+Z t 0Z jru(x;s)j2dxds 12 Z ju0(x)j2dx+Z T 0Z jf(x;s)j2dxds e t: 137

Exercice 8.2.2Au vu de l'estimation

Z u(x;t)2dx+Z t 0Z jru(x;s)j2dxdsC Z u

0(x)2dx+Z

t 0Z f(x;s)2dxds (8.4) veriee par la solutionude (8.1), ou la constanteCest independante deT, on voit que le termeetn'est certainement pas optimal dans la majoration (8.3). Cette estimation peut ^etre amelioree en raisonnant de la facon suivante, avec une variante du lemme de

Gronwall.

1. S oita2R+etg2L2(]0;T[)tel queg0. Montrer que, siz(t)est continue de [0;T]dansR+et verie z(t)a+ 2Z t 0 g(s)pz(s)ds8t2[0;T]; alorsz(t)pa+Z t 0 g(s)ds 2

8t2[0;T]:

2.

D eduirede (8.2) que, p ourtout t2[0;T],

Z u(x;t)2dx+ 2Z t 0Z jru(x;s)j2dxds Z u

0(x)2dx

1=2 Z t 0 ds Z f(x;s)2dx 1=2!2 :(8.5)

Correction.

1. On supp osedans un premier temps que gest une fonction reguliere. Soit"un reel strictement positif. On pose v(t) ="+a+ 2Z t 0 g(s)pz(s)ds: Commeg(s)pz(s) est une fonction continue, la fonctionvest derivable et v

0(t) = 2g(t)pz(t). Commez(t)v(t) et quegest une fonction positive,

v

0(t)2g(t)pv(t):

Enn,v(t)>0, ainsi d'apres l'inegalite precedente,v0(t)=2pv(t)g(t) et par integration, on obtient pv(t)pv(0)Z t 0 g(s)ds:

Ainsi, pour tout" >0,

z(t)v(t)pa+"+Z t 0 g(s)ds 2

138CHAPITRE 8. PROBLEMES D'EVOLUTION

Il sut de passer a la limite lorsque"tend vers zero pour obtenir l'inegalite desiree. Sign'est pas continue, on raisonne par densite. Soitg2L2(]0;T[) tel que g0 presque partout. Il existe une suite de fonctions regulieresgnpositives, convergeant versgdansL2(]0;T[). Pour toutn, on a pour toutt2[0;T], z(t)a+kgngkL2(]0;T[)kzk1=2 L

1(]0;T[)+ 2Z

t 0 g n(s)pz(s)ds:

D'apres ce qui precede,

z(t)a+kgngkL2(]0;T[)kzk1=2 L

1(]0;T[)+ 2Z

t 0 g n(s)pz(s)ds qa+kgngkL2(]0;T[)kzk1=2 L

1(]0;T[)+Z

t 0 g n(s)ds 2 Il sut alors de passer a la limite lorsquentend vers l'inni pour conclure. 2. D' apresl' egalited' energie(8.2) et l'in egalitede Cauc hy-Schwarz, Z u(x;t)2dx+ 2Z t 0Z jru(x;s)j2dxds Z u

0(x)2dx+ 2Z

t 0 Z f(x;s)2dx 1=2Z u(x;s)2dx 1=2 ds:

On applique la variante du Lemme de Gronwall a

z(t) =Z u(x;t)2dx+ 2Z t 0Z jru(x;s)j2dxds g(s) = Z f(x;s)2dx 1=2 a=Z u

0(x)2dx:

Ainsi,

Z u(x;t)2dx+ 2Z t 0Z jru(x;s)j2dxds Z u

0(x)2dx

1=2 +Z t 0 Z f(x;s)2dx 1=2 ds! 2 Exercice 8.2.3On suppose que les hypotheses du Theoreme8.2.7sont veriees, que u

02H10(

), et que la solutionude (8.1) est assez reguliere dans]0;T[ . Montrer que, pour toutt2[0;T], on a l'egalite d'energie suivante 12 Z jru(x;t)j2dx+Z t 0Z @u@t (x;s)2 dxds=12 Z jru0(x)j2dx Z t 0Z f(x;s)@u@t (x;s)dxds:(8.6) 139
Correction.En multipliant l'equation (8.1) veriee parupar@u@t , on obtient, suite a une integration sur que Z u(x;t)@u@t (x;t)dx+Z @u@t (x;t)2 dx=Z f(x;t)@u@t (x;t)dx:

Par integration par partie, il vient

Z ru(x;t)@ru@t (x;t)dx+Z @u@t (x;t)2 dx=Z f(x;t)@u@t (x;t)dx; ou encore en echangeant les signes derivation et integrale, ddt 12 Z jruj2dxquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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