[PDF] Ecole Normale Supérieure 2006-2007 Cours dAnalyse

View - Download Ecole Normale Supérieure 2006-2007 Cours dAnalyse

Previous PDF

Next PDF

Ecole Normale Sup´erieure2006-2007

Cours d"Analyse Fonctionnelle et EDPSt´ephane Mischler

Premi`ere ann´ee de Master FIMFA

El´ements de correction de l"examen du Lundi 4 juin 2007 Exercice 1.CalculerF(δ0) et en d´eduireF(1). Montrer queF(Vp(1/x)) est impaire. Montrer que xVp(1/x) = 1 et en d´eduireF(Vp(1/x)).

Correction de l"exercice 1.La d´efinition directe de la TF montre queF(δ0) = 1. Commeδ? S?(R) on a

F(1) =F ◦F(δ) = 2πδ0. Pour toute fonctionψ:R→Ron noteψ?(x) =ψ(-x) et pour toute distribution

T? D?(R) on d´efinitT?par?T?,??=?T,???. Pour tout?? S(R) il est clair queF(?)?=F(??) de sorte

queF(T)?=F(T?) ´egalement pour toutT? S?(R). De par la d´efinition par dualit´e de Vp(1/x) on a

?Vp(1/x),???= limε→0? |x|≥ε?(-x) xdx=-limε→0? |x|≥ε?(x)xdx=-?Vp(1/x),?? ??? S(R),

ce qui prouve que Vp(1/x) est impaire, et donc ´egalement queF(Vp(1/x)) est impaire. De mˆeme, on a pour

tout?? D(R) ?xVp(1/x)),??=?Vp(1/x),x??= limε→0? |x|≥ε?(x)dx=? R ?dx=?1,??, ce qui prouve quexVp(1/x) = 1. De ce qui pr´ec`ede on d´eduit iA ?:=iF(Vp(1/x))?=F(xVp(1/x)) =F(1) = 2πδ0.

On a doncA(ξ) =-2iπ(H(ξ) +C) o`uHest la fonction de Heaviside etCest une constante `a d´eterminer.

Comme on sait queAest impaire, on trouve queC=-1/2, et finalementF(Vp(1/x))(ξ) =-π iξ/|ξ|.

Exercice 2.SoitEun espace de Banach. On dit queS= (St)t≥0est un semi-groupe d"op´erateurs lin´eaires

continus deEsi i)St:E→Eest un op´erateur lin´eaire continu?t≥0; ii)S0=IdE,Ss+t=Ss◦St;

iii)?x?E,limt→0+Stx=x.

1) Montrer qu"il existeδ >0 etM >0 tels que?St? ≤M,?t?[0,δ].

2) En d´eduire qu"il existeω?R, tel que?St? ≤M eω t,?t≥0.

Correction de l"exercice 2.1) On d´efinitXn:={x?E;?t?[0,1/n]?Stx? ≤2}. L"ensembleXnest ferm´e

(par i) et?Xn=E(par iii). Appliquant le lemme de Baire, on d´eduit qu"il existen0tel que intXn0?=∅.

On noteδ:= 1/n0. Il existe doncr >0 etx0?Etels que?t?[0,δ],?y?BEon a?St(x0+ry)? ≤2, soit encore?St(y)? ≤(1/r)(2 +?St(x0)?)≤4/r=:M.

1bis) Une preuve alternative est de supposer par l"absurde que 1) n"a pas lieu. Il existe donc une suite

de temps (tn) telle quetn→0 et supn?Stn?L(E)=∞. Or d"autre part,Stnx→xpour toutx?E,

ce qui implique d"apr`es un corollaire du th´eor`eme de Banach-Steinhaus que supn?Stn?L(E)<∞, et la

contradiction.

2) Pour toutt?R+on ´ecritt=t?+ [t/δ]δavect??[0,δ) de sorte que (par ii)

?St? ≤ ?St???Sδ?[t/δ]≤M M[t/δ]≤M elnM

δt.

1

Probl`eme 3. (Th´eor`eme de Tykhonov et applications)On rappelle le th´eor`eme (de Brouwer) suivant. SoitCun convexe ferm´e born´e non vide deRNet soit

ψ:C→Cune fonction continue. Alorsψadmet un point fixe: il existe ¯x?Ctel queψ(¯x) = ¯x.

1) - SoitEun espace de Banach r´eflexif s´eparable, soitCun convexe ferm´e born´e non vide deEet soit

?:C→Cune fonction continue au sens de la convergence faible deE. On souhaite montrer (th´eor`eme de

Tykhonov) que?poss`ede un point fixe.

a) Montrer qu"il existe (fn) une suite dense deBE?. On d´efinit d:C×C→R+, d(x,y) =∞? n=12 -n|?fn,y-x?|.

Pourquoi est-ce une distance? On d´esigne parB(x,r) la boule de centrexet de rayonrassoci´ee `ad. Montrer

que pour toutε >0, il existe une famille finie (ei)i?Itelle queC? ?i?IB(ei,ε/2). b) - SoitCεl"enveloppe convexe des (ei)i?Iet soit?εla fonction d´efinie par

ε(x) :=?

i?Iθ i(x)eio`uθi(x) =qi(x) j?Iqj(x), qi(x) := max(ε-d(?(x),ei),0). Montrer qu"il existe ¯xε?Cεtel que?ε(¯xε) = ¯xε. c) - En remarquant qued(?(x),ei)≤εlorsqueθi?= 0, montrer que pour toutk?Net toutx?Eon a |?fk,?(x)-?ε(x)?| ≤2kε. En d´eduire qu"il existe ¯x?Ctel que?(¯x) = ¯x.

2) - Dans cette question Ω d´esigne un ouvert born´e deRN.

a) Soitf:R→Rune fonction continue telle que|f(s)| ≤C(1 +|s|p/q)?s?R, avecC,p,q?[1,∞). Montrer queu?→f(u) est continue deLp(Ω) dansLq(Ω).

b) SoitC:={v?H10(Ω),?v?H1≤M}pourM >0 `a fix´e. On suppose de plus quef?L∞(R). Soit?la

fonction d´efinie paru=?(v) est la solution de (1)-Δu=f(v) Ω, u= 0∂Ω.

b1) - Montrer que?:H10(Ω)→H10(Ω) (et on pr´ecisera le sens de la solution d´efinie ci-dessus) et que?est

continue au sens de la convergence faible deH10(Ω). b2) - Montrer qu"il existeMtel que?:C→C.

b3) - En d´eduire qu"il existeu?H10(Ω) solution de l"´equation non-lin´eaire-Δu=f(u) dans Ω.

b4) - On suppose quefest d´ecroissante. Montrer l"unicit´e de la solution obtenue ci-dessus.

3) Dans cette question on suppose que Ω est un ouvert born´e deRNavecN≥3.

a) Soitfune fonction continue telle que|f(s)| ≤C(1+|s|k)?s?R, aveck?[0,(N+2)/(N-2)]. Montrer que la fonctionnelleE:H10(Ω)→R,

E(v) :=1

2? |?v|2dx-?

F(v)dx, F(t) =?

t 0 f(s)ds, est bien d´efinie. Montrer queEest G-d´erivable et calculer?E?(u),v?pour toutu,v?H10(Ω).

b) On suppose de plus ici quek≤1. Montrer queEposs`ede un minimum. Retrouver le r´esultat de la

question 2b3). c) On suppose de plus maintenant quefest d´ecroissante. Montrer queEest convexe, queEposs`ede un minimum, et que celui-ci est unique. Retrouver le r´esultatde la question 2b4). 2 d) Que dire dans le casf=f1+f2avecf1continue d´ecroissante telle quek1≤(N+ 2)/(N-2) etf2 continue telle quek2<(N+ 2)/(N-2)?

Correction du probl`eme 3.1a) Il existe une familleF= (fn) d´enombrable dense dansBE?car un th´eor`eme

du cours dit que le dualE?d"un espace r´eflexif s´eparable est s´eparable. Il est clair quedv´erifie les propri´et´es

d"une distance:d(x,y) est fini (carCetBE?sont born´es),dest positif et satisfait `a l"in´egalit´e triangulaire,

enfind(x,y) = 0 implique?fk,y-x?= 0 pour toutk?N?, et donc?f,y-x?= 0 pour toutf?E?(F est dense dansBE?) et enfinx-y= 0 par un corollaire de Hahn-Banach. La topologie induite pardest la

topologie Σ(E,E?) (c"est du cours). CommeCest s´equentiellement compact (puisqueCest convexe ferm´e

born´e et que les boules sont s´equentiellement compactes,encore du cours) et m´etrisable,Cest compact

pour la topologie faible, et donc pour la m´etriqued. On recouvreCpar?x?CB(x,ε/2) et on en extrait un

sous-recouvrement fini. D"o`uC? ?i?IB(ei,ε/2) avecIfini.

1b) On munitEεl"espace vectoriel engendr´e par les (ei)i?Ide la norme?.?induite parE. Alorsx?→d(x,ei)

est continue dans (Eε,?.?) puisquex?→ ?fk,x-ei?est continue pour chaquek?Net que la s´erie converge

uniform´ement surC. On en d´eduit que?εest continue. Comme par ailleursCεest un convexe, ferm´e,

born´e, non vide, il en r´esulte par le th´eor`eme de Brouwerqu"il existe ¯xε?Cεtel que?ε(¯xε) = ¯xε.

1c) Il est clair queθi(x)?= 0 impliqueε-d(?(x),ei)>0 et doncd(?(x),ei)≤ε. On calcule alors

|?fk,?(x)-?ε(x)?| ≤? i?Iθ i(x)|?fk,?(x)-ei?| ≤≤? i?Iθ i(x)2kd(?(x),ei)≤2kε.

Comme ¯xε?Cpour toutε >0, il existe une sous-suite encore not´ee (¯xε) et ¯x?Ctels que ¯xε?¯x σ(E,E?)

et donc?(¯xε)??(¯x)σ(E,E?) par d´efinition de?. On a alors

|?fk,?(¯x)-¯x?|= limε→0|?fk,?(¯xε)-¯xε?|= limε→0|?fk,?(¯xε)-?ε(¯xε)?| ≤limε→02kε= 0,

d"o`u on d´eduit (puisque cela est vrai pour toutk)?(¯x) = ¯x.

2a) Soitun→udansLp. Par la r´eciproque du th´eor`eme de convergence domin´ee on aunk→up.p. et

|unk| ≤g?Lppour une sous-suite (unk). Ainsif(unk)→f(u) p.p. et|f(unk)| ≤C(1 +g)p/q?Lq. Par

le th´eor`eme de convergence domin´ee on obtientf(unk)→f(u) dansLq. L"unicit´e de la limite implique que

c"est en fait toute la suite qui converge (faire un raisonnement pas l"absurde).

2b1) Pour toutv?H10(Ω) on af(v)?L2(Ω) et il existe donc par Lax-Milgram (et l"in´egalit´e de Poincar´e)

une unique solutionu?H10(Ω) de -Δu=f(v) Ω, u= 0∂Ω au sens variationnel ?u· ??dx=? f(v)?dx?v?H10(Ω).

Par l"injection compacteH10(Ω)?L2(Ω), sivn?vau sensH10(Ω) faible alors sivn→vau sensL2(Ω) fort,

doncf(vn)→f(v) au sensL2(Ω) (c"est la question 2a) et donc enfinun=?(vn)→u=?(v) au sensH10(Ω)

fort, donc faible.

2b2) On a par in´egalit´e de Poincar´e

1

2+CΩ2)?u?2H1≤ ??u?2L2≤?

f(v)udx≤ ?f?L∞|Ω|1/2?u?L2, ce qui implique??(v)?H10≤C?Ω?f?L∞=:Mpour tout??H10(Ω).

2b3) C"est le th´eor`eme de Schauder.

2b4) Siu1etu2sont deux solutions de (1), alors

|?(u2-u1)|2dx=? (f(u2)-f(u1))(u2-u1)dx≤0, 3 de sorte queu2=u1.

3a) On remarque que|F(t)| ≤C(1 +|t|)k+1aveck+ 1≤2?. Ainsi|F(v)| ≤C(1 +|u|2?)?L1pour tout

v?H10(Ω), ce qui montre queEest bien d´efinie, et mˆeme continue d"apr`es la question 2a). De plus, pour

quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

[PDF] exercice corrige stereochimie

[PDF] exercice corrigé sur fonction exponentielle

[PDF] exercice corrigé sur fonction exponentielle pdf

[PDF] exercice corrigé sur fonction numerique

[PDF] exercice corrigé sur fonction numerique pdf

[PDF] exercice corrigé sur intervalle de confiance

[PDF] exercice corrigé sur l'amplificateur opérationnel

[PDF] exercice corrigé sur l'electrostatique

[PDF] exercice corrigé sur la diode

[PDF] exercice corrigé sur la diode zener

[PDF] exercice corrigé sur la fonction de consommation keynésienne

[PDF] exercice corrigé sur la loi normale centrée réduite

[PDF] exercice corrigé sur la machine synchrone

[PDF] exercice corrigé sur la regression linéaire

[PDF] exercice corrigé sur la regression multiple