[PDF] Cours dAutomatique ELEC4 Table des mati`eres





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Chapitre III Commandabilité et observabilité des systèmes

Définition 3.1 : Un état xi du système est commandable en t0 s'il existe un signal d'entrée u(t)/t ? [t0



Commande dans lespace détat

Commande dans l'espace d'état. ? Notions de commandabilité de l'état. Définition. Un système d'équation d'état est dit complètement commandable.



Cours dAutomatique ELEC4 Table des mati`eres

1 Commandabilité. 15. 1.1 Définition . 2.3 Dualité observabilité–commandabilité . ... 4.1 Sous-espace de commandabilité .



Application à lautomatique

Définition. – Commandabilité : Est-il possible de trouver une commande u qui amène le système initialement dans l'état x(0



QUELQUES RÉSULTATS SUR LA COMMANDABILITÉ ET LA

COMMANDABILITÉ ET STABILISATION. 125. On adopte la définition suivante : Définition 1.1. Soit I un intervalle inclus dans [T0T1]. La fonction.



PC1 1 / 13 ENSTA PARIS AUT202 – A INTRODUCTION

Feb 9 2022 INTRODUCTION – Commandabilité et forme de Brunovsky. Définition – Commandabilité. Un système dynamique est commandable si pour tout état ...



Relations entre commandabilité et stabilisations non linéaires

Brockett qui implique que dans le cas non linéaire



Cours dAutomatique

Jun 28 2017 notions de commandabilité et d'observabilité d'une représentation ... En effet



Chapitre I: Généralités sur les systèmes dynamiques linéaires I.1

plusieurs concepts de commandabilité et d'observabilité [20] ils seront définis dans cette section [18]. A - Commandabilité i - Définition.



Représentation et analyse des syst`emes linéaires PC 2 Forme de

Définition 1 : commandabilité. Le mod`ele d'état est compl`etement commandable si et seulement s'il est possible de déterminer u(t) / [t0 tf ] conduisant 



Cours 9 Commandabilité observabilité représentations minimales

La commandabilité est une caractéristique d’une représentation d’état d’un système ou d’un système en soi même qui nous indique si une ou plusieurs de ces dynamiques peuvent être modifiées par les entrées

Qu'est-ce que la commandabilité ?

La commandabilité est une caractéristique d’une représentation d’état d’un système, ou d’un système en soi même, qui nous indique si une ou plusieurs de ces dynamiques peuvent être modifiées par les entrées. en s’il est possible de d´eterminer conduisant tout état initial0 ? vers0 = 0en· ·.

Qu'est-ce que la commandabilité et l'observabilité?

La commandabilité et l'observabilité sont des propriétés structurelles du système qui n'apparaissent pas dans la représentation par fonction de transfert. . La condition nécessaire et suffisante de commandabilité ci-après est appelée le critère de Kalman pour la commandabilité.

Quelle est la différence entre la commandabilité et la détectabilité?

Les propriétés de commandabilité et d' observabilité sont duales, de même que les propriétés de stabilisabilité et de détectabilité, dans le sens suivant : (C , A) est observable (resp. détectable) si, et seulement si (tA , tC) est commandable (resp. stabilisable ).

Quel est le rôle de la commandabilité dans la théorie de la synthèse de systèmes de commande dans l’espace ?

La commandabilité est une notion importante puisqu’elle établit le fait que l’on puisse commander le système afin de modifier son comportement (stabilisation d’un système instable, modification des dynamiques propres). Cette notion joue donc un rôle très important dans la théorie de la synthèse de systèmes de commande dans l’espace d’état.

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Automatique

Cours d'Automatique ELEC4

S. Icart

Table des matieres

I Generalites 3

1 Systemes multivariables 3

2 Quelques rappels sur la transformee de Laplace 3

3 Transfert 4

3.1 Fonction de transfert (systeme monovariable) . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Prise en compte des conditions initiales 4

5 Linearisation autour d'un point de fonctionnement 5

II Systemes lineaires stationnaires 7

1 Systeme lineaire stationnaire continu 7

1.1 Equations d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Resolution du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Calcul d'une exponentielle de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Lien entre representation interne et representation externe 9

3 Changement de base sur l'etat et realisation 10

4 Modes d'un systeme 11

5 Stabilite 12

5.1 Rappels sur la stabilite d'une representation externe . . . . . . . . . . . . . 12

5.2 Stabilite au sens de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.3 Stabilite asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Systeme discret lineaire stationnaire 13

6.1 Resolution du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.2 Calcul d'une puissance de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.3 Stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1

7 Discretisation d'un systeme continu 14

III Implantation d'une loi de commande par retour d'etat 15

1 Commandabilite 15

1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Critere de commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Forme canonique commandable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Observabilite 16

2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Critere d'observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Dualite observabilite{commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Minimalite 17

4 Decomposition canonique dans l'espace d'etat 17

4.1 Sous-espace de commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Decomposition d'un systeme non commandable . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Sous-espace non observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.4 Decomposition d'un systeme non observable . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Commande par retour d'etat 18

6 Observateur 19

7 Association d'un observateur et d'une commande par retour d'etat 20

2

Automatique

Premiere partie

Generalites

1 Systemes multivariables

Dans ce cours, on s'interessera a des systemes multivariables, i.e des systemes compor- tant plusieurs entrees (actionneurs) et plusieurs sorties (capteurs). Les signaux d'entree et de sortie sont alors representes par des vecteurs notes respectivementu(t) ety(t) en temps continu etuk etyk en temps discret. mentreesu(t) est un vecteur2IRm psortiesy(t) est un vecteur2IRp On supposera toujours verie lePrincipe de causalite: la sortie ne depend pas des valeurs futures de l'entree. y(t) =h(u[t0;t];t)t0t

2 Quelques rappels sur la transformee de Laplace

Denition :

Soitf(t) est une fonction causale (i.e nulle pourtnegatif), alors, on denit la trans- formee de Laplace def(t) par :

F(p) =Z

+1 0 f(t)eptdt (relation biunivoque entref(t) etF(p)).

Theoreme de la derivee :

L df(t)dt =pL(f(t))f(0+)

Theoreme du produit :

L(f(t))L(g(t)) =L(f ? g(t))

ou?est le produit de convolution.

Transformee de Laplace d'un vecteur :

six(t) =0 B @x

1(t)...

x n(t)1 C

AalorsL(x(t)) =0

B @L(x1(t))...

L(xn(t))1

C A 3

3 Transfert

3.1 Fonction de transfert (systeme monovariable)

Si le systeme est lineaire stationnaire continu i.e si les signaux d'entree et de sortie sont relies par une equation dierentielle a coecients constants,

Si les conditions initiales sont nulles,

alors par le theoreme de la derivee, on obtient :

Y(p) =G(p)U(p)

avecG(p) fraction rationnelle enp. G(p) est appelee fonction de transfert du systeme. Pour obtenir la reponse du systeme a une entree quelconque, il sut d'utiliser la trans- formee de Laplace inverse : y(t) =L1(Y(p)) =g ? u(t) =Z +1 1 g()u(t)d oug(t) est la reponse impulsionnelle du systeme (transformee de Laplace inverse de la fonction de transfert). D'apres le principe de causalite, on obtient donc : y(t) =g ? u(t) =Z t 0 g()u(t)d La fonction de transfert (ou de maniereequivalente la reponse impulsionnelle du systeme) est une repesentation entree/sortie du systeme, appelee aussi representation externe.

3.2 Matrice de transfert

Dans le cas d'un systeme lineaire sationnaire multivariable, si les conditions initiales sont nulles, on obtient :

Y(p) =G(p)U(p)

ouU(p) etY(p) sont les transformees de Laplace des signaux (vectoriels) d'entree et de sortie et ouG(p) est cette fois une matrice rationnelle (pm), appelee matrice de transfert.

4 Prise en compte des conditions initiales

Si les conditions initiales sont non nulles, alors, une representation externe ne sut plus. L'etude du comportement du systeme necessite une representation interne.

On ecrit le systeme dynamique sous la forme :

_x(t) =f(x(t);u(t);t); x0 =x(t0) y(t) =(x(t);u(t);t) 4

Automatique

Si les conditions initiales sont en nombre susant, et si les fonctionsfetgsont susam- ment regulieres, le systeme () admet une solution unique. Le vecteurx(t) est alors appele vecteur d'etat du systeme (vecteur2IRn) et () est une representation interne du systeme.

Propriete :

Tout le passe est resume dans l'etat, soit :

x(t) =(t0;t;x(t0);u[t0;t]) =(t1;t;x(t1);u[t1;t])8t2[t0;t1] u(t) = ~u(t)8t2[t0;t1] x(t0) = ~x(t0) )x(t) = ~x(t)8t2[t0;t1]

Notion d"état

temps

état

u(t)=u~(t) t 0 x(t 0 ) u(t) u~(t) t 1

5 Linearisation autour d'un point de fonctionnement

On linearise autour d'un point de fonctionnement (trajectoire admissible) (x ;y ;u en faisant le changement de variables : 8>< :~x(t) =x(t)x ~y(t) =y(t)y ~u(t) =u(t)u _x(t) =f(x;u;t) y(t) =(x;u;t)devient(_~x(t) =f(~x+x ;~u+u ;t) y(t) =(~x+x ;~u+u ;t)y 5 Examinons le cas monovariable et ou l'etat n'a qu'une composante. On fait alors un developpement limite au premier ordre defet: _ ~x(t) =f(x;u;t) +@f@~x(x;u;t)~x+@f@~u(x;u;t)~u soit, _~x(t) =f(x;u;t) +a~x+b~u. Si (x;y) est un point d'equilibre, on af(x;u;t) = 0

De m^eme,

~y(t) =(x;u;t) +@@~x(x;u;t)~x+@@~u(x;u;t)~uy soity(t) =c~x+d~u. Dans le cas multivariable stationnaire, on peut montrer que le systeme linearise est _x(t) =Ax(t) +Bu(t) y(t) =Cx(t) +Du(t) avec

A=@fi@x

j(x;u) i= 1 an j= 1 anB=@fi@u j(x;u) i= 1 an j= 1 am

C=@i@x

j(x;u) i= 1 ap j= 1 anD=@i@u j(x;u) i= 1 ap j= 1 am 6

Automatique

Deuxieme partie

Systemes lineaires stationnaires

1 Systeme lineaire stationnaire continu

1.1 Equations d'etat

Dans le cas d'un systeme lineaire stationnaire continu, la representation interne est : _x(t) =Ax(t) +Bu(t) y(t) =Cx(t) +Du(t)

A,B,C,Detant des matrices constantes.

Remarque :systeme non lineaireA(x;u), ..., non stationnaireA(t), ...

Amatrice d'evolution (ou de dynamique) (2IRnn)

Bmatrice de commande (ou d'entree) (2IRnm)

Cmatrice d'observation (ou de sortie) (2IRpn)

Dmatrice de transmission directe (2IRpm)

On appelle matrice de transition d'etat la matrice(t;t0) telle que la solution du systeme libre (u(t) = 08t) estx(t) =(t;t0)x0

1.2 Resolution du systeme

8 >>>>>:x(t) =eA(tt0)x0 +Z t t

0eA(t)Bu()d

reponse reponse forcee systeme libre etat initial nul y(t) =CeA(tt0)x0 +Z t t

0CeA(t)Bu()d

1.3 Calcul d'une exponentielle de matrice

Developpement en serie

e

At=I+At+A2t22

+Aktkk!+ (a eviter sauf siAnilpotente ou involutive)

Transformee de Laplace inverse

e

At=L1(pIA)1

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