[PDF] Application à lautomatique Définition. – Commandabilité : Est-il





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Chapitre III Commandabilité et observabilité des systèmes

Définition 3.1 : Un état xi du système est commandable en t0 s'il existe un signal d'entrée u(t)/t ? [t0



Commande dans lespace détat

Commande dans l'espace d'état. ? Notions de commandabilité de l'état. Définition. Un système d'équation d'état est dit complètement commandable.



Cours dAutomatique ELEC4 Table des mati`eres

1 Commandabilité. 15. 1.1 Définition . 2.3 Dualité observabilité–commandabilité . ... 4.1 Sous-espace de commandabilité .



Application à lautomatique

Définition. – Commandabilité : Est-il possible de trouver une commande u qui amène le système initialement dans l'état x(0



QUELQUES RÉSULTATS SUR LA COMMANDABILITÉ ET LA

COMMANDABILITÉ ET STABILISATION. 125. On adopte la définition suivante : Définition 1.1. Soit I un intervalle inclus dans [T0T1]. La fonction.



PC1 1 / 13 ENSTA PARIS AUT202 – A INTRODUCTION

Feb 9 2022 INTRODUCTION – Commandabilité et forme de Brunovsky. Définition – Commandabilité. Un système dynamique est commandable si pour tout état ...



Relations entre commandabilité et stabilisations non linéaires

Brockett qui implique que dans le cas non linéaire



Cours dAutomatique

Jun 28 2017 notions de commandabilité et d'observabilité d'une représentation ... En effet



Chapitre I: Généralités sur les systèmes dynamiques linéaires I.1

plusieurs concepts de commandabilité et d'observabilité [20] ils seront définis dans cette section [18]. A - Commandabilité i - Définition.



Représentation et analyse des syst`emes linéaires PC 2 Forme de

Définition 1 : commandabilité. Le mod`ele d'état est compl`etement commandable si et seulement s'il est possible de déterminer u(t) / [t0 tf ] conduisant 



Cours 9 Commandabilité observabilité représentations minimales

La commandabilité est une caractéristique d’une représentation d’état d’un système ou d’un système en soi même qui nous indique si une ou plusieurs de ces dynamiques peuvent être modifiées par les entrées

Qu'est-ce que la commandabilité ?

La commandabilité est une caractéristique d’une représentation d’état d’un système, ou d’un système en soi même, qui nous indique si une ou plusieurs de ces dynamiques peuvent être modifiées par les entrées. en s’il est possible de d´eterminer conduisant tout état initial0 ? vers0 = 0en· ·.

Qu'est-ce que la commandabilité et l'observabilité?

La commandabilité et l'observabilité sont des propriétés structurelles du système qui n'apparaissent pas dans la représentation par fonction de transfert. . La condition nécessaire et suffisante de commandabilité ci-après est appelée le critère de Kalman pour la commandabilité.

Quelle est la différence entre la commandabilité et la détectabilité?

Les propriétés de commandabilité et d' observabilité sont duales, de même que les propriétés de stabilisabilité et de détectabilité, dans le sens suivant : (C , A) est observable (resp. détectable) si, et seulement si (tA , tC) est commandable (resp. stabilisable ).

Quel est le rôle de la commandabilité dans la théorie de la synthèse de systèmes de commande dans l’espace ?

La commandabilité est une notion importante puisqu’elle établit le fait que l’on puisse commander le système afin de modifier son comportement (stabilisation d’un système instable, modification des dynamiques propres). Cette notion joue donc un rôle très important dans la théorie de la synthèse de systèmes de commande dans l’espace d’état.

  • Past day

Application à l"automatique

1 Système de commande

L"objet de l"automatique est l"étude des systèmes sur lesquels on peut agir par le biais d"une commande. Il en

résulte unerelation entrée-sortie.uSystèmey

oùureprésente la commande etyla sortie. On notex(.)la fonction d"état du système.Définition

ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÊCommandabilité: Est-il possible de trouver une commandeuqui amène le système, initialement

dans l"étatx(0, dans un étatvquelconque au tempst=. ËObservabilité: La connaissance dey(t)et deu(t)pour toutt2[0,]permet-elle de déterminer l"étatx(t)pour toutt2[0,](ou, cequi est équivalent, l"état initialx(0)). ÌStabilisation: Est-il possible de construire une commandeu(.)qui stabiliseasymptotiquemente système autour d"un équilibrex0.2 Les sytèmes linéaires

On étudie le sytème suivant :

x0(t) =Ax(t)+Bu(t) y(t) =Cx(t)+Du(t),t2[0,] On se limitera au cas où les grandeurs sont de dimensions finie :x2Rn,u2Rm,y2Rp. Il en découle queA2 Mn(R),B2 Mn,m(R),C2 Mp,n(R)etD2 Mp,m(R). La commande sera supposéecontinue par morceaux.Propriété : Formule de la variation de la constante Soientu(.)une commande etx02Rn. L"uniquesolution dex0(t) =Ax(t) +Bu(t)valantx0ent=0 est : x(t) =etAx0+Z t 0 e(ts)ABu(s)ds3 Commandabilité

On considère la système(). On s"intéresse ici uniquement à la loi entrée-état, c"est-à-dire

x

0(t) =Ax(t)+Bu(t)(1)Définition

ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÉtant donnéx02Rn, on dit qu"un étatv2Rnestatteignable en tempsà partir dex0s"il existe

une loi de commandeu:[0,]!Rmtelle quex() =v(x(.)étant la solution de (1) satisfaisant x(0) =x0. On noteA(,x0)l"ensemble des états atteignables à partir dex0en temsp, c"est-à-dire :

A(,x0) =

x()x(.)sol. de() x(0) =x01

De la formule de la variation de la constante, il résulte queA(,0)est un espace-vectoriel, et que :

A(,x0)est l"espace affine eAx0+A(,0)Définition

ÐOn dit que le système()estcommandable en tempssiA(,0) =A=RnThéorème : L"espaceAest égal à l"image de la matrice(nnm)

C="B ABAn1B—

ditematrice de commandabilité.Propriété : Critère de commandabilité Kalman

Le système()estcommandablesi et seulement si la matrice de commandabilité est derangn.4 Observabilité

Le problème :connaissantyetupour toutt2[0,], est-il possible de déterminer la condition initailex(0).

Remarques :

Êla connaissance dex(0 est équivalante à celle dex(t)pour toutt2[0,]en vertu de la formulation

de variation de la constante. Ëpuisqueu(.)est connue, on peut se restreindre à étudier :

0)x0(t) =Ax(t)

y(t) =Cx(t),t2[0,]Définition

ÐÐÐÐÐÐÐÐÐAppelonsespace d"inobservabilitéIdu système(0)l"ensemble des conditions initialesx(0)2Rnpour

lesquelles la solutiony(.)est identiquement nulle sur[0,]: I x

02Rnla solution de0

avecx(0) =x0vérifiey(t)0Définition

ÐOn dit que le système est observable si l"espace d"inobservabilité de(0)est réduit àf0gPropriété :

Si le système)estobservable, la connaissance dey(.)sur[0,]détermine de façon univoquex(0)Propriété : Critère d"observabilité de Kalman

L"espace d"inobservabilité du système(0)est lenoyaude la matrice(npn): O=0

BBBB@C

CA CA n11

CCCCA2

5 Stabilisation

uSystèmey

K(y(t))On suppose ici quey=xpour des raisons de simplification. On cherche ici à construire la commandeu par

retour d"étatqui amène le sytème à l"origine,quelquesoitle point de départ.

On étudie alors :

x

0(t) =Ax(t)+Bu(t)(2)Définition

ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐLe système de commande (2) estasymptotiquement stabilisablepar retour d"état s"il existe une loi

de commandeu(t) =K(x(t))telle que l"équation différentielle : x

0(t) =Ax(t)+BK(x(t))

soit asymptotiquement stable, c"est-à-dire que, pour toute condition initialex(0), la solutionx(t)asso-

ciée tende vers 0 quandttend vers+1.Nous chercherons le retour d"état sous la forme d"une fonction linéaire indépendante du temps :u(t) =Kx(t).

L"équation différentielle à étudier est alors : x

0(t) =Ax(t)+BKx(t) = (A+BK)x(t)

Or on sait qu"une telle équation différentielle est asymptotique stable si et seulement si la matriceA+BKa

toutes ses valeurs propres de parties réelles strictement négatives. Existe-t-ilK2 Mm,n(R)telle queA+BKsatisfasse cette condition?Théorème : placement des pôles

SiAetBsatisont lecritère deKALMAN, alors, pour tout polynôme normaliséP()de degrèsn, il existe

une matriceK2 Mm,n(R)telle que le polynôme caractéristique deA+BKégaleP().On a donc :

Propriété :

Si le système (2) estcommandable, alors il estasymptotiquement stabilisablepar retour d"état proportionnel.3quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32
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