Chapitre III Commandabilité et observabilité des systèmes
Définition 3.1 : Un état xi du système est commandable en t0 s'il existe un signal d'entrée u(t)/t ? [t0
Commande dans lespace détat
Commande dans l'espace d'état. ? Notions de commandabilité de l'état. Définition. Un système d'équation d'état est dit complètement commandable.
Cours dAutomatique ELEC4 Table des mati`eres
1 Commandabilité. 15. 1.1 Définition . 2.3 Dualité observabilité–commandabilité . ... 4.1 Sous-espace de commandabilité .
Application à lautomatique
Définition. – Commandabilité : Est-il possible de trouver une commande u qui amène le système initialement dans l'état x(0
QUELQUES RÉSULTATS SUR LA COMMANDABILITÉ ET LA
COMMANDABILITÉ ET STABILISATION. 125. On adopte la définition suivante : Définition 1.1. Soit I un intervalle inclus dans [T0T1]. La fonction.
PC1 1 / 13 ENSTA PARIS AUT202 – A INTRODUCTION
Feb 9 2022 INTRODUCTION – Commandabilité et forme de Brunovsky. Définition – Commandabilité. Un système dynamique est commandable si pour tout état ...
Relations entre commandabilité et stabilisations non linéaires
Brockett qui implique que dans le cas non linéaire
Cours dAutomatique
Jun 28 2017 notions de commandabilité et d'observabilité d'une représentation ... En effet
Chapitre I: Généralités sur les systèmes dynamiques linéaires I.1
plusieurs concepts de commandabilité et d'observabilité [20] ils seront définis dans cette section [18]. A - Commandabilité i - Définition.
Représentation et analyse des syst`emes linéaires PC 2 Forme de
Définition 1 : commandabilité. Le mod`ele d'état est compl`etement commandable si et seulement s'il est possible de déterminer u(t) / [t0 tf ] conduisant
Cours 9 Commandabilité observabilité représentations minimales
La commandabilité est une caractéristique d’une représentation d’état d’un système ou d’un système en soi même qui nous indique si une ou plusieurs de ces dynamiques peuvent être modifiées par les entrées
Qu'est-ce que la commandabilité ?
La commandabilité est une caractéristique d’une représentation d’état d’un système, ou d’un système en soi même, qui nous indique si une ou plusieurs de ces dynamiques peuvent être modifiées par les entrées. en s’il est possible de d´eterminer conduisant tout état initial0 ? vers0 = 0en· ·.
Qu'est-ce que la commandabilité et l'observabilité?
La commandabilité et l'observabilité sont des propriétés structurelles du système qui n'apparaissent pas dans la représentation par fonction de transfert. . La condition nécessaire et suffisante de commandabilité ci-après est appelée le critère de Kalman pour la commandabilité.
Quelle est la différence entre la commandabilité et la détectabilité?
Les propriétés de commandabilité et d' observabilité sont duales, de même que les propriétés de stabilisabilité et de détectabilité, dans le sens suivant : (C , A) est observable (resp. détectable) si, et seulement si (tA , tC) est commandable (resp. stabilisable ).
Quel est le rôle de la commandabilité dans la théorie de la synthèse de systèmes de commande dans l’espace ?
La commandabilité est une notion importante puisqu’elle établit le fait que l’on puisse commander le système afin de modifier son comportement (stabilisation d’un système instable, modification des dynamiques propres). Cette notion joue donc un rôle très important dans la théorie de la synthèse de systèmes de commande dans l’espace d’état.
Past day
Application à l"automatique
1 Système de commande
L"objet de l"automatique est l"étude des systèmes sur lesquels on peut agir par le biais d"une commande. Il en
résulte unerelation entrée-sortie.uSystèmeyoùureprésente la commande etyla sortie. On notex(.)la fonction d"état du système.Définition
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÊCommandabilité: Est-il possible de trouver une commandeuqui amène le système, initialement
dans l"étatx(0, dans un étatvquelconque au tempst=. ËObservabilité: La connaissance dey(t)et deu(t)pour toutt2[0,]permet-elle de déterminer l"étatx(t)pour toutt2[0,](ou, cequi est équivalent, l"état initialx(0)). ÌStabilisation: Est-il possible de construire une commandeu(.)qui stabiliseasymptotiquemente système autour d"un équilibrex0.2 Les sytèmes linéairesOn étudie le sytème suivant :
x0(t) =Ax(t)+Bu(t) y(t) =Cx(t)+Du(t),t2[0,] On se limitera au cas où les grandeurs sont de dimensions finie :x2Rn,u2Rm,y2Rp. Il en découle queA2 Mn(R),B2 Mn,m(R),C2 Mp,n(R)etD2 Mp,m(R). La commande sera supposéecontinue par morceaux.Propriété : Formule de la variation de la constante Soientu(.)une commande etx02Rn. L"uniquesolution dex0(t) =Ax(t) +Bu(t)valantx0ent=0 est : x(t) =etAx0+Z t 0 e(ts)ABu(s)ds3 CommandabilitéOn considère la système(). On s"intéresse ici uniquement à la loi entrée-état, c"est-à-dire
x0(t) =Ax(t)+Bu(t)(1)Définition
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÉtant donnéx02Rn, on dit qu"un étatv2Rnestatteignable en tempsà partir dex0s"il existe
une loi de commandeu:[0,]!Rmtelle quex() =v(x(.)étant la solution de (1) satisfaisant x(0) =x0. On noteA(,x0)l"ensemble des états atteignables à partir dex0en temsp, c"est-à-dire :A(,x0) =
x()x(.)sol. de() x(0) =x01De la formule de la variation de la constante, il résulte queA(,0)est un espace-vectoriel, et que :
A(,x0)est l"espace affine eAx0+A(,0)Définition
ÐOn dit que le système()estcommandable en tempssiA(,0) =A=RnThéorème : L"espaceAest égal à l"image de la matrice(nnm)C="B ABAn1B
ditematrice de commandabilité.Propriété : Critère de commandabilité KalmanLe système()estcommandablesi et seulement si la matrice de commandabilité est derangn.4 Observabilité
Le problème :connaissantyetupour toutt2[0,], est-il possible de déterminer la condition initailex(0).
Remarques :
Êla connaissance dex(0 est équivalante à celle dex(t)pour toutt2[0,]en vertu de la formulation
de variation de la constante. Ëpuisqueu(.)est connue, on peut se restreindre à étudier :0)x0(t) =Ax(t)
y(t) =Cx(t),t2[0,]DéfinitionÐÐÐÐÐÐÐÐÐAppelonsespace d"inobservabilitéIdu système(0)l"ensemble des conditions initialesx(0)2Rnpour
lesquelles la solutiony(.)est identiquement nulle sur[0,]: I x02Rnla solution de0
avecx(0) =x0vérifiey(t)0DéfinitionÐOn dit que le système est observable si l"espace d"inobservabilité de(0)est réduit àf0gPropriété :
Si le système)estobservable, la connaissance dey(.)sur[0,]détermine de façon univoquex(0)Propriété : Critère d"observabilité de Kalman
L"espace d"inobservabilité du système(0)est lenoyaude la matrice(npn): O=0BBBB@C
CA CA n11CCCCA2
5 Stabilisation
uSystèmeyK(y(t))On suppose ici quey=xpour des raisons de simplification. On cherche ici à construire la commandeu par
retour d"étatqui amène le sytème à l"origine,quelquesoitle point de départ.On étudie alors :
x0(t) =Ax(t)+Bu(t)(2)Définition
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐLe système de commande (2) estasymptotiquement stabilisablepar retour d"état s"il existe une loi
de commandeu(t) =K(x(t))telle que l"équation différentielle : x0(t) =Ax(t)+BK(x(t))
soit asymptotiquement stable, c"est-à-dire que, pour toute condition initialex(0), la solutionx(t)asso-
ciée tende vers 0 quandttend vers+1.Nous chercherons le retour d"état sous la forme d"une fonction linéaire indépendante du temps :u(t) =Kx(t).
L"équation différentielle à étudier est alors : x0(t) =Ax(t)+BKx(t) = (A+BK)x(t)
Or on sait qu"une telle équation différentielle est asymptotique stable si et seulement si la matriceA+BKa
toutes ses valeurs propres de parties réelles strictement négatives. Existe-t-ilK2 Mm,n(R)telle queA+BKsatisfasse cette condition?Théorème : placement des pôlesSiAetBsatisont lecritère deKALMAN, alors, pour tout polynôme normaliséP()de degrèsn, il existe
une matriceK2 Mm,n(R)telle que le polynôme caractéristique deA+BKégaleP().On a donc :Propriété :
Si le système (2) estcommandable, alors il estasymptotiquement stabilisablepar retour d"état proportionnel.3quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] forme canonique commandable
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