[PDF] Matrices et suites - Lycée dAdultes

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EXERCICES19 juillet 2021 à 16:34

Matrices et suites

Écriture d"une matrice

EXERCICE1

Soit la matriceA= (aij)de dimensionn×p.

ÉcrireAetAToùATest la matrice transposée deAdans les cas suivants :

1)n=2,p=4,aij=2ij2)n=2,p=3,aij=j2-i

3)n=3,p=3,aij=i

j4)n=4,p=5,aij=2i-j

5)n=3,p=3,aij=?isii?j

0 sinon6)n=3,p=4,aij=?isijest pair

jsinon

EXERCICE2

Somme et produit par un réel

On donne deux matrices carrées d"ordre 2 :A=?4-5 1 2? etB=?6 10 3?

Déterminer les matrices suivantes :

1)A+B2)A-2B3)1

2A+23B

Produit de matrices

EXERCICE3

Soit les matrices carrées :A=?4 81 2?

etB=?3 91 1? Calculer les produits suivants :ABetBA. Que peut-on conclure?

EXERCICE4

Calculer, lorsque cela est possible, les produits de matrices suivants : 1) 2 5 3 6 4 7)) ?2 54 6? 2) ?2 54 6? (2 53 64 7))3) ?-1 4 5?((0-1 6 2 4-2

3 5 3))

4) 1 0 5 2-1 6

3 4 7))

(2 7 80 2 34 5 6))

EXERCICE5

On donne la matrice :A=?x1

2 3? avecx?R

Déterminer le réelxpour que :A2=?6 12 11?

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EXERCICES

EXERCICE6

Calculer les produits des matrices suivantes puis contrôler avec la calculatrice. 1) 1-3 4 2 0 5

3 4 2))

(1 0-1 2 3-4

5 2 0))

2)((-2 5 84 0-3

0 0 1))

(2 2-3 3 4-4 -1 2 3))

Utilisation du calcul matriciel

EXERCICE7

Trois élèvese1,e2ete3ont quatre notes de mathsn1,n2,n3etn4au cours du premier trimestre . Les notes dans l"ordre sont : poure1: 8, 12, 16, 10; poure2: 13, 15, 19, 14 et poure3: 6, 8, 13, 9.

1) Écrire la matriceAdont le coefficientaijreprésente la notenide l"élèveej.

Quel est le format de la matriceA?

2) Ces évaluations ont été notées sur 20. Les deux premières sont desinterroga-

tions écrites (coef 2), la troisième est un devoir maison (coef 1)et la quatrième est un contrôle (coef 3). Exprimer la matrice ligneBcorrespondant à la moyenne trimestrielle de maths des élèvese1,e2e3à l"aide d"une matrice coefficientCet de la matriceA.

EXERCICE8

Les arêtes du graphe ci-contre repré-

sentent des pistes de ski de fond mesu- rant chacune 2 km. Les sommets de ce graphes sont les différents points d"ac- cès à ce domaine skiable ?A2 A 1 A 4 A

31) Écrire la matriceMd"ordre 4 dont les coefficientsmijreprésente le nombre de

pistes reliant les accès A ià Ajpourietjentiers entre 1 et 4.

2) CalculerM2etM3à l"aide d"une calculatrice.

3) En déduire le nombre de circuits :

a) de 4 km reliant A

2et A3;

b) de 6 km reliant A

3à lui-même;

c) d"au plus 6 km reliant A

1et A4.

Inverse d"une matrice

EXERCICE9

DéterminerA-1lorsque cela est possible dans les cas suivants :

1)A=?4 51 3?

2)A=?4 102 5?

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EXERCICES

3)A=?-0,5 4

0,25 2?

4)A=?3 0,5

-2 4?

EXERCICE10

Résoudre à l"aide d"un calcul matriciel les systèmes suivants : 1) ?2x-3y=7 -2x+y=-52)?-6x+7y=-3

3x+14y=-1

3) ?x⎷

2-y⎷3=-1

x⎷

8+y⎷27=134)???6x-9y=6

x+3y=76

EXERCICE11

1) Donner à l"aide de la calculatrice la matrice inverse deA=((

1-1 1 1 1-1 -1 1 1))

2) En déduire la résolution du système :

?x-y+z=3 x+y-z=-1 -x+y+z=5

EXERCICE12

Soit la matriceA=((-5 2 84-3-8

-4 2 7))

1) CalculerA2. Que peut-on dire de la matriceA?

2) Déterminer alors la matriceXtelle que :AX=((

1 1 3 2 4 5))

EXERCICE13

On cherche à déterminer l"équation de la parabole,y=ax2+bx+c, passant par les points : P(1 ; 4), Q(-2 ;-5), R(-1 ; 0)

1) Traduire l"appartenance des ces trois points à la parabole parun système (S).

En déduire l"écriture de ce système sous la forme matricielleAX=B.

2) Montrer que la matrice :C=1

6(( 1 2-3 3 0-3

2-2 6))

est la matrice inverse deA.

3) Calculer alors les coefficientsa,betc

EXERCICE14

Soit la matriceA=?4 13 2?

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EXERCICES

1) Calculer 6A-A2

2) En déduire queAest est inversible et que sa matrice inverse,A-1, peut s"écrire

sous la formeA-1=αI2+βAoùαetβsont deux réels que l"on déterminera.

EXERCICE15

Soit les systèmes :(S1):?????x+y+z=3

-x-y+z=-9 -x+2y-z=12et(S2):?????2x+y+z=1

2x-5y-2z=2

-x+2y+z=1

1) Résoudre(S1)et(S2)à l"aide de combinaisons linéaires bien choisies.

2) Résoudre(S1)et(S2)matriciellement, à l"aide de la calculatrice.

3) Conclure

Diagonalisation

EXERCICE16

On considère les matricesA=?4-6

1-1? etP=?3 21 1?

1) Montrer que la matricePest inversible puis déterminerP-1.

2) Montrer queP-1APest une matrice diagonaleD.

3) Déduire une expression deAnen fonction den?N?.

EXERCICE17

On considère les matricesA=12((

-1 1 35 3-3

10-2-2))

etP=(( 1-1 2 2 1 1

1 2 3))

1) À l"aide de la calculatrice, donnerP-1.

On donnera les coefficients deP-1sous forme de fraction.

2) Vérifier queP-1APest une matrice diagonaleD.

3) En déduireAnpourn?N.

Suite de matrices

EXERCICE18

Dans une enceinte une population d"êtres unicellulaires ne peuvent setrouver que dans deux états A ou B. On désigne paranetbnles effectifs des deux états, en milliers d"individus à l"instantn. On a constaté que 95 % des unicellulaires se trouvant à l"instantndans l"état A n"ont pas changé d"état à l"instantn+1, ainsi que 80 % de ceux se trouvant à l"instantndans l"état B. L"effectif total est de

500 000 individus. Cet effectif reste constant dans le temps.

1) Déterminer le système donnantan+1etbn+1en fonction deanetbn

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EXERCICES

2) Écrire une fonction U(a,n) en Python

donnant les populations, en milliers d"individus, des états A et B en fonction dea0etn. Que renvoie la fonction pour (375,30), (50,30), (500,30)? Conjecturer l"évolution des populationsanetbnsur le long terme.

3) a) Traduire le système de la question 1) à l"aide de d"une suite(Un)de matrices

colonnes. En déduireUnen fonctionnet deU0correspondant à l"état initial. b)?0,95 0,20,05 0,8? n =1 5?

4+0,75n4-4×0,75n

1-0,75n1+4×0,75n?

par une diagonalisation.

Exprimeranetbnen fonction denet dea0. Conclure.

EXERCICE19

On étudie l"évolution dans le temps du nombre de jeunes et d"adultes dans une population d"animaux. Pour toutn?N, on notejnetanles nombres d"animaux jeunes et adultes après nannées d"observation. On compte la première année, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes.

Ainsij0=200 eta0=500.

On admet, pour toutn?N, que :?j

n+1=0,125jn+0,525an a n+1=0,625jn+0,625an

On pose :A=?0,125 0,5250,625 0,625?

et, pour toutn?N,Un=?jn a n?

1) a) Montrer que pour tout entier natureln,Un+1=AUn.

b) CalculerU1etU2. Les résultats seront arrondis à l"unité près par défaut. c) Pour toutn?N, exprimerUnen fonction deAnet deU0.

2) SoitQ=?7 3

-5 5? etD=?-0,25 0 0 1? a) Montrer queQest inversible et calculerQ-1. b) Montrer que :A=QDQ-1. c) Montrer par récurrence que pour toutn?N?,An=QDnQ-1

3) a) Vérifierquepourtoutn?N?,An=?0,3+0,7(-0,25)n0,42-0,42(-0,25)n

0,5-0,5(-0,25)n0,7+0,3(-0,25)n?

b) En déduirejnetanen fonction den c) Déterminer les limites de(jn)et(an). d) Que peut-on en conclure quant à la population d"animaux étudiée?

EXERCICE20

Un opérateur A souhaite prévoir l"évolution de nombre de ses abonnés par rap- port à son principal concurrent B à partir de 2013. En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 000 abonnés. Pour toutn?N, on noteanetbnles nombres d"abonnés, en milliers, des opéra- teurs A et lan-ième année après 2013. Ainsi,a0=300 etb0=300.

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EXERCICES

Des observations conduisent à modéliser la situation par la relation suivante : ?n?N,?a n+1=0,7an+0,2bn+60 b n+1=0,1an+0,6bn+70

On poseM=?0,7 0,20,1 0,6?

etP=?6070? et pour toutn?N,Un=?an b n?

1) a) DéterminerU1.

b) Vérifier que, pour toutn?N,Un+1=MUn+P.

2) a) Calculer(I2-M)?4 21 3?

b) En déduire que la matriceI2-Mest inversible et préciser son inverse. c) Déterminer la matriceUtelle queU=MU+P.

3) Pour toutn?N, on poseVn=Un-U.

a) Justifier que, pour tout entier natureln,Vn+1=MVn. b) En déduire que, pour toutn?N,Vn=MnV0.

4) On admet que, pour toutn?N,Vn=((((-100

3×0,8n-1403×0,5n

-50

3×0,8n+1403×0,5n))))

a) Pour toutn?N, exprimerUnen fonction denet en déduire la limite de la suite(an). b) Estimer le nombre d"abonnés de l"opérateur A à long terme.

EXERCICE21

OEuvre aquatique

Dans un jardin public, un artiste doit installer une oeuvre aquatique commandée par la mairie. Cette oeuvre sera constituée de deux bassins A et B ainsique d"une réserve filtrante R. Au départ, les deux bassins contiennent chacun 100 litres d"eau. Un système de canalisations devra alors permettre de réaliser, toutes les heures et dans cet ordre, les transferts d"eau suivants : •dans un premier temps, la moitié du bassin A se vide dans la réserve R; •ensuite, les trois quarts du bassin B se vident dans le bassin A; •enfin, on rajoute 200 litres d"eau dans le bassin A et 300 litres d"eau dans le bassin B. Une étude de faisabilité du projet amène à étudier la contenance desdeux bassins A et B qui est à prévoir pour éviter tout débordement. On modélise les quantités d"eau des deux bassins A et B à l"aide de deux suites an)et(bn): plus précisément pour tout entier natureln, on noteanetbnles quantités d"eau en centaines de litres qui seront respectivement contenues dans

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EXERCICES

les bassins A et B au bout denheures. On suppose pour cette étude mathéma- tique que les bassins sont a priori suffisamment grands pour qu"il n"y ait pas de débordement.

Pour toutn?N, on noteUnla matrice colonneUn=?an

b n? . AinsiU0=?11?

1) Justifier que,?n?N,Un+1=MUn+CoùM=?0,5 0,75

0 0,25?

etC=?23?

2) On considère la matriceP=?1 30-1?

a) CalculerP2. En déduire que la matricePest inversible et préciser sa matrice inverse. b) Montrer quePMPest une matrice diagonaleDque l"on précisera. c) CalculerPDP. d) Démontrer par récurrence que :?n?N,Mn=PDnP.

0 0,25

n?

3) Montrer que la matriceX=?10

4? vérifieX=MX+C.

4) Pour toutn?N, on définit la matriceVnparVn=Un-X.

a) Montrer que toutn?N,Vn+1=MVn. b) On admet que :?n?N,Vn=MnV0.

Montrer que :?n,Un=?-18×0,5n+9×0,25n+10

-3×0,25n+4?

5) a) Montrer que la suite

(bn)est croissante et majorée. Déterminer sa limite. b) Déterminer la limite de la suite (an). c) On admet que la suite (an)est croissante. En déduire la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour la faisabilité du projet, c"est-à-dire pour

éviter tout débordement.

EXERCICE22

Suite récurrente à deux termes

Soit la suite

(un)définie surNpar :?u

0=3 ,u1=8

u n+2=5un+1-6un.

1) Calculeru2etu3.

2) Pourn?2, on veut calculerunà l"aide de le fonction en Python

suivante : defu(n) : a=3 b=8 foriin range( . . . ) : c=a a=b b = . . . returnb

PAUL MILAN7TERMINALE MATHS EXPERTES

EXERCICES

a) Compléter cet algorithme. b) Rentrer cet algorithme et compléter le tableau suivant : n71015 un c) Quelleconjecturepeut-on émettreconcernantlamonotoniedelasuite(un)?

3) Pour toutn?N, on noteCnla matrice colonne?un+1

u n? On noteAla matrice carrée d"ordre 2 telle que, pour toutn?N,Cn+1=ACn. DéterminerAet prouver que, pour tout entier natureln,Cn=AnC0.

4) SoitP=?2 31 1?

,D=?2 00 3? etQ=?-1 31-2? a) CalculerQPpuis montrer queA=PDQ. -2n+3n3×2n-2×3n? b) En déduire une expression deunen fonction den. c) La suite(un)a-t-elle une limite?

Matrices et arithmétique

EXERCICE23

Suite de Fibonacci

On appelle suite de Fibonacci, la suite(un)définie surNpar?u

0=0 ,u1=1

u n+2=un+1+un

On considère la matriceF=?1 11 0?

1) CalculerF2etF3. On détaillera les calculs.

2) Démontrerparrécurrenceque,pourtoutn?N?nonnul:Fn=?un+1un

u nun-1?

3) a) Soitn?N?. En remarquant queF2n+2=Fn+2Fn, démontrer que

u

2n+2=un+2×un+1+un+1×un.

b) En déduire que, pour toutn?N?:u2n+2=u2n+2-u2n.

4) On donneu12=144.

Démontrer en utilisant la question 3) qu"il existe un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont toutes des nombres entiers, l"une étant égaleà 12.

Donner la longueur des deux autres côtés.

EXERCICE24

Partie A

On considère la suite(an)définie surNpar :?a

0=0,a1=1

a n+2=3an+1+2an

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EXERCICES

1) Calculer les 9 premiers termes de la suite(an)et donner les décompositions en

produit de facteurs premiers dea6eta8.

2) SoitAla matrice définie par :A=?3 21 0?

Justifier que pour toutn?N,?an+2

a n+1? =A?an+1 a n?

3) Montrer, par récurrence que :?n?N?,An=?an+12an

a n2an-1?

Partie B

On admet que :?n?N, det(An) = (detA)n

1) Montrer que :?n?N?,an+1an-1-a2n= (-2)n-1

2) En déduire que, pour toutn?N?, sidest un diviseur positif deanetan+1,

alorsdest une puissance de 2 puis queanetan+1sont premiers entre eux.

Partie C

1) En remarquant queAn+k=AnAk, montrer que pour tousn,k?N,nétant

non nul,an+k=ak+1an+2akan-1.

2) En déduire que pour tout entier natureln,andivisea2neta3n.

3) Montrer quea24est divisible par 15 015=3×5×7×11×13.

EXERCICE25

Chiffrement de Hill

On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante : •Chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau :

ABCDEFGHIJKLM

0123456789101112

NOPQRSTUVWXYZ

13141516171819202122232425

On obtient?x1

x 2? oùx1etx2correspondent aux lettres du bloc.

•On détermine?y1

y 2? tel que :?y1 y 2? =?3 15 2?? x1 x 2? avecC=?3 15 2?

•On détermine ensuite?z1

z 2? tel que :?z

1≡y1(26)avec 0?z1?25

z

2≡y2(26)avec 0?z2?25

•On associe à?z1

z 2? un bloc de deux lettres.

1) Coder RE.

2) Soitx1,x2,x?1,x?2?[[0,25]]tels que?x1

x 2? et?x?1 x?2? sont transformés en?z1 z 2? a) Montrer que ?3x1+x2≡3x?1+x?2(26)

5x1+2x2≡5x?1+2x?2(26).

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