[PDF] Sujet du bac 2018 en mathématiques Polynésie

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Exercice 4Corrigé

Sujet Mathématiques Bac 2018

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2018

ÉPREUVE DU MERCREDI 20 JUIN 2018

MATHÉMATIQUES

- Série S -

Enseignement Spécialité

conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.

Le candidat doit traiter tous les exercices.

une part im

Polynésie 201

8

Bac - Maths - 201

8 - Série Sfreemaths . frfreemaths . fr

EXERCICE4 (5 points)

Candidats ayant suivi l"enseignement de spécialité

Un atome d"hydrogène peut se trouver dans deux états différents, l"état stable et l"état excité. À

chaque nanoseconde, l"atome peut changer d"état.

Partie A - Étude d"un premier milieu

Dans cette partie, on se place dans un premier milieu (milieu 1) où, à chaque nanoseconde, la

probabilité qu"un atome passe de l"état stable à l"état excité est 0,005, et la probabilité qu"il passe

de l"état excité à l"état stable est 0,6. On observe un atome d"hydrogène initialement à l"état stable.

On noteanla probabilité que l"atome soit dans un état stable etbnla probabilité qu"il se trouve

dans un état excité,nnanosecondes après le début de l"observation.

On a donca0AE1 etb0AE0.

On appelleXnla matrice ligneXnAE¡anbn¢.

L"objectif est de savoir dans quel état se trouvera l"atome d"hydrogène à long terme.

1.Calculera1puisb1et montrer quea2AE0,993025 etb2AE0,006975.

2.Déterminer la matriceAtelle que, pour tout entier natureln,XnÅ1AEXnA.

Aest appelée matrice de transition dans le milieu 1. On admet alors que, pour tout entier natureln,XnAEX0An.

3.On définit la matricePparPAEµ1¡1

On admet quePest inversible et que

P

¡1AE1121

120 1
Déterminer la matriceDdéfinie parDAEP¡1AP.

4.Démontrer que, pour tout entier natureln,AnAEPDnP¡1.

5.On admet par la suite que, pour tout entier natureln,

A nAE1121

120Å0,395n1¡0,395n

En déduire une expression deanen fonction den.

6.Déterminer la limite de la suite (an). Conclure.

Partie B - Étude d"un second milieu

Dans cette partie, on se place dans un second milieu (milieu 2), dans lequel on ne connaît pas la

probabilité que l"atome passe de l"état excité à l"état stable. On note®cette probabilité supposée

constante. On sait, en revanche, qu"à chaque nanoseconde, la probabilité qu"un atome passe de l"état stable à l"état excité est 0,01.

1.Donner, en fonction de®, la matrice de transitionMdans le milieu 2.

2.Après un temps très long, dans le milieu 2, la proportion d"atomes excités se stabilise autour

de 2%. On admet qu"il existe un unique vecteurX, appelé état stationnaire, tel queXMAEX, et que

XAE¡0,98 0,02¢.

Déterminer la valeur de®.

18MASSPO1Page 7/7

1 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018 1. a.

Calculons a

1 puis b 1

Soient:

S n , l'événement: " l'atome est dans un état stable, n nanosecondes après le début de l'observation " E n , l'événement: " l'atome est dans un état excité, n nanosecondes après le début de l'observation "

Ici, il s'agit de calculer a

1 = P ( S 1

L'événement S

1 S 1 S 0 ) ( S 1 E 0

Ainsi:

P ( S 1 ) = P ( S1 S 0 ) + P ( S 1 E 0 = P S 0 S 1 ) x P ( S 0 ) + P E 0 S

1 ) x P ( E

0 = ( 1 - 0, 005 ) x a 0 + 0, 6 x b 0 = ( 1 - 0, 005 ) x 1 + 0, 6 x 0 . car " la probabilité qu'un atome passe de l'état stable à l'état excité est

0, 005, et la probabilité qu'il passe de l'état excité à

l'état stable est 0, 6 " )

D'où:

a 1 = P S 1 ) = 0, 995 cad: a 1 = 99, 5%

EXERCICE 4

Partie A: Étude d'un premier milieu

[ Polynésie 2018 ] 2 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018

Quant à b

1 , b 1 = 1 - a 1 cad: b 1 = 0, 005

D'où: b

1 = P E 1 ) = 0, 5% . 1. b.

Calculons a

2 puis b 2

Ici, il s'agit de calculer a

2 = P ( S 2

L'événement S

2 S 2 S 1 ) ( S 2 E 1

Ainsi:

P ( S 2 ) = P ( S 2 S 1 ) + P ( S 2 E 1 = P S 1 S 2 ) x P ( S 1 ) + P E 1 S 2 ) x P ( E 1 = ( 1 - 0, 005 ) x a 1 + 0, 6 x b 1 = ( 1 - 0, 005 ) x 0, 995 + 0, 6 x 0, 005 .

D'où: a

2 = P S 2 ) = 0, 993 025

Quant à b

2 , b 2 = 1 - a 2 cad: b 2 = 0, 006 975 .

D'où: b

2 = P E 2 ) = 0, 006 975
2. Déterminons la matrice A telle que, pour tout entier naturel n, X n 1 = X n A:

Nous avons:

X n a n b n X n 1 a n 1 b n 1

D'où:

X n 1 = X n

A, avec:

A =

0, 9950, 005

0, 60, 4

En effet:

a n 1 = 0, 995 a n + 0, 6 b n 3 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018 b n 1 = 0, 6 a n + 0, 4 b n Au total, la matrice de transition dans le milieu 1 est: A =

0, 9950, 005

0, 60, 4

3.

Déterminons la matrice D définie par D = P

1 A P:

D est telle que:

D = P 1 A P 1 121
120
1 - 1 1

0, 9950, 005

0, 60, 4

1 - 1 1 120
1 121
120
1 - 1 1 1 - 0, 395 1 47, 4
1 0 0

0, 395

Au total, la matrice diagonale D est: D =

1 0 0

0, 395

4.

Démontrons que pour tout entier naturel n, A

n = P D n P 1

Préalablement notons que:

D = P 1 A P <=> P D = P P 1 A P <=> P D = 2 A P <=> P D P 1 = A P P 1 <=> P D P 1 = A 2 <=> A = P D P 1

Nous allons montrer par récurrence que:

" pour tout entier naturel n: A n = P x D n x P 1 4 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018

Initialisation:

A 0 1 0 0 1 2 2

étant la matrice identité d'ordre 2

Et: P x D

0 x P 1 = P x 1 0 0 1 x P 1 = P x 2 x P 1 = P x P 1 2 , car P 1 est la matrice inverse de P,quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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