SERIES NUMERIQUES
1 n(n + 1) converge et a pour somme 1. Exemple. Si un = (-1) n pour n ? 0 Sn = 1 si n est pair alors que
Analyse I
n=1 an converge alors lim n?? an = 0. Preuve : Si Sn = a1 + a2 + . Si une serie converge absolument
Analyse combinatoire
6 mars 2008 Notation : le nombre de permutations de k parmi n est noté Ank. Exemple : les arrangements de 2 éléments pris dans {1
Les exercices 1 et 2 sont obligatoires
14 nov. 2017 1 n=input ( ”Tapez un nombre: ” ). 2 while n%3!=0: 3 print ”Ce nombre n'est pas divisible par 3 !” 4 n=input ( ”Tapez un nombre: ” ).
Calcul Algébrique
M La somme des nombres 2h pour h compris entre k et n vaut 2n+1 ? 2k. Vrai-Faux 3. Dans une course de chevaux 10 chevaux sont au départ. Vous en choisissez. 3
1 Quelques séries dont on sait calculer la somme 2 Comparaison
1 Quelques séries dont on sait calculer la somme. Exercice 1.1. Retrouver les sommes des séries suivantes : 1. Séries téléscopiques : ?. ? n=10. 1 n(n + 1).
Résumé du Cours de Mod`eles de Régression
10 janv. 2011 moyennes et les variances : ¯x = 1 n n. ? i=1 xi s2 x = 1 n n ... Définition 1.2 On appelle somme des carrés de la régression la quantité.
Mathématique discrète
alors le nombre total de possibilite pour le choix 1
Séries
Par exemple que peut bien valoir la somme infinie suivante : 1 +. 1. 2. +. 1 Donc si
Chapitre 3: La démonstration par récurrence
Introduction : Pour découvrir une formule donnant la somme des n premiers nombres im- pairs on commence par quelques essais. Si n = 1: 1 = 1. Si n = 2:.
[PDF] [PDF] Séries - Exo7 - Cours de mathématiques
Le point clé est que l'on retrouve le terme général à partir des sommes partielles par la formule un = Sn ? Sn?1 Démonstration Pour tout n ? 0 posons Sn =
[PDF] Séries - Exo7 - Exercices de mathématiques
(n?1)! 7) ( cos 1? n )n ? 1? e 8) (**) ln ( 2 ? arctan n2+1 n ) Convergence et somme éventuelle de la série de terme général 1) (**) un
[PDF] Séries Entières Exercice n?1
Déterminer le rayon de convergence le domaine de convergence simple et la somme des séries entières réelles suivantes : 1 un(x) = ch(na)xn n ? N
[PDF] 1 Quelques séries dont on sait calculer la somme 2 Comparaison
1 Quelques séries dont on sait calculer la somme Exercice 1 1 Retrouver les sommes des séries suivantes : 1 Séries téléscopiques : ? ? n=10 1 n(n + 1)
[PDF] Séries entières - Xiffr
n?1 d(n)zn et ? n?1 s(n)zn où d(n) et s(n) désignent respectivement le nombre de diviseurs supérieurs à 1 de l'entier n et la somme de ceux-ci
[PDF] SERIES NUMERIQUES
1 n(n + 1) converge et a pour somme 1 Exemple Si un = (-1) n pour n ? 0 Sn = 1 si n est pair alors que
[PDF] Calcul Algébrique
1 – La somme des n premiers entiers vaut n(n + 1)/2 Voici maintenant une explication combinatoire Autour d'une table n+1 personnes sont assises et s'apprêtent
[PDF] Chapitre 24 SOMMES DE RIEMANN Enoncé des exercices
1+ 1 n ) (112233 ···nn) 1 n2 Exercice 24 15 On désire déterminer la limite de Sn = n ? k=1 n ? k n2 + nk + 2009 1 S'agit-il d'une somme de Riemann?
[PDF] Chapitre 1 - Calculs de sommes
1 1 Somme des n premiers entiers On considère pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 la somme : Sn =1+2+ ··· + (n ? 1) + n
UE7 - MA5 : Analyse
SERIES NUMERIQUES
réelles ou complexesI. Généralités
Définition 1
Etant donnée une suite (u
n ) de nombres réels ou complexes, on appelle série de terme général un la suite (S n ) définie par : (1) S n = u 0 + u 1 + ... + u n k = 0n uk est appelée somme partielle d'indice n (ou de rang n , ou d'ordre n) de la série.Notation
On note généralement
n 0 u n ou u n la série de terme général u n Exemples de séries déjà considérées : Séries géométriques ; suites définies par des relations de récurrence S n = S n-1 + u n ; écriture décimale (éventuellement illimitée) d'un réel.Définition 2 ,
de la convergenceOn dit que la série
u n converge si la suite (S n ) définie en (1) converge.Dans ce cas, la limite de la suite (S
n) est appelée somme de la série et notée S = n = 0& u nQuand la suite (S
n ) ne converge pas, on dit que la série diverge.Remarque 1
Si on considère seulement (u
n) pour n n 0 > 0 , on peut, pour n n 0 , poser S n k = n 0 n uk et appeler alors série de terme général u n la nouvelle suite (S nCette série est alors notée
n n 0 u n 2 Il est aisé de vérifier que la convergence de n 0 u néquivaut à celle de
n n 0 u n , mais en général n = 0& u n n'est pas égal à n = n 0 u n quand la série converge.Définition 3
Pour une série convergente,
n 0 u n , de somme S et de sommes partielles S n , on appelle reste d'ordre (ou de rang n) la différence R n = S - S n R n est aussi la somme de la série convergente p n + 1 u p , c'est-à-dire R n p= n + 1& u pExemple
Si u n = 1 n(n + 1) pour n 1 , on obtient u n = 1 n , S n = 1 - 1 n + 1 et la série n1 1 n(n + 1) converge et a pour somme 1.Exemple
Si u n = (-1) n pour n 0 , S n = 1 si n est pair alors que S n = 0 si n est impair, et la série (-1) n diverge.Théorème 1
Si la série
u n converge, alors le terme général u n tend vers 0 quand n tend vers + & .Attention : la réciproque de ce théorème est fausse et il existe des séries dont le terme général tend
vers 0 et qui sont divergentes (voir 1 n ci-dessous).Remarque 2
Le théorème précédent est utile sous la forme contraposée : si (u n ) ne tend pas vers 0, la série u n diverge. On dit alors que la série est grossièrement divergente. 3 Exemple de référence : séries géométriquesLa série
n 0 a n où a ' Â est convergente si et seulement si ...a... < 1 et sa somme est alors S = 1 1 - a n = 0& a n Attention : la somme change si la série ne commence pas à n = 0 ; par exemple si ...a... < 1 , n = 2& a n = a 2 1 - a Le résultat qui suit permet de munir l'ensemble des séries convergentes d'une structure d'espace vectoriel :Théorème 2
Soient
u n et v n deux séries convergentes.La série somme
(u n + v n ) est convergente et on a n = 0& (u n + v n n = 0& u n n = 0& v nSi ¬ est un scalaire, la série
(¬ u n ) est convergente et on a n = 0& (¬ u n n = 0& u nOn en déduit alors le résultat suivant :
Corollaire
Si u n converge et v n diverge, alors la série (u n + v n ) diverge. En utilisant le résultat classique pour des suites réelles ou complexes selon lequel une suite (S n ) est convergente si et seulement si c'est une suite de Cauchy, on obtient : Théorème 3 (critère de Cauchy pour les séries)Pour que la série de terme général u
n soit convergente, il faut et il suffit que : ⬧ > 0 , ¡N ' , ⬧n N , ⬧m n , ... k = nm u k ou encore ⬧ > 0 , ¡N ' , ⬧n N , ⬧p 0 , ... k = nn + p u kRemarque 3
Ce résultat est important et il sera utilisé par la suite car il permet de démontrer la 4 convergence ou la divergence de certaines séries sans que l'on ait besoin de chercher, en même temps, leur somme.Exemple
La série harmonique
n 1 1 n diverge : il suffit de remarquer que S 2n - S n = 1 n + 1 ... + 1 2n est, pour tout n , minoré par 12(n termes supérieurs à 1
2n ) .
Le résultat suivant peut être utile pour étudier une série à terme général u n complexe :Proposition
u n converge si et seulement si les deux séries Re u n et Im u n convergent et on a : n = 0& u n n = 0& Re u n + i n = 0& Im u nExercice 1
1) Ecrire sous forme décimale illimitée le nombre 3/7.
2) Ecrire sous la forme p / q avec p et q entiers le nombre 2,
%&%&%& ... où le bloc 136 est répété indéfiniment.Exercice 2
Calculer le nombre 0,297297 ...
| 3,3636 ...Exercice 3
Montrer que la série de terme général u
n converge et calculer sa somme dans les cas : (a)u n = n ((( ))) 1 - 1 n 2 2(b)u n = 1 n(n + 1)(n + 2) (c)u n = (n + 1) 1 n + 1 - n 1 n (d)u n = n n 2 + 2n + 1 n 2 + 2n (e)u n = n 3 n ! en exprimant n 3 en fonction de n(n - 1)(n - 2), n(n - 1) et nExercice 4
Montrer que la série de terme général u
n est divergente dans les cas : 5 (a)u nquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] comment calculer la somme d'une série
[PDF] somme double i/j
[PDF] garam
[PDF] exercice corrigé rdm portique
[PDF] exercice rdm poutre corrigé
[PDF] exercice portique hyperstatique
[PDF] exercices corrigés rdm charges réparties
[PDF] exercice corrigé portique hyperstatique
[PDF] exercice corrigé poutre hyperstatique
[PDF] calcul de structure cours
[PDF] exercice corrigé portique isostatique
[PDF] methode des forces exercices corrigés pdf
[PDF] portique hyperstatique corrigé
[PDF] théorème des trois moments exercices corrigés