[PDF] MASTER 2 – Ingénierie Mathématiques et Modélisation – SMA5B0.

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MASTER 2 - Ingénierie Mathématiques et Modélisation - SMA5B0.

Code UEN° d'envoi de l'UE

MMAU2T4

Nom de l'UE : Equations aux Dérivées Partielles (3.2) - Contenu de l'envoi : Polycopié, chapitre 4, corrigé du devoir 1 - Guide du travail à effectuer

Semaine 1 :

Etudier le chapitre 4, section 4.1 (Aperçu des méthodes)

Exercice proposé : 4.1

Semaine 2 :

Etudier le chapitre 4, section 4.2 (Intégration à valeurs vectorielles)

Exercice proposé : 4.2

Semaine 3 :

Etudier le chapitre 4, section 4.3 (Existence et unicité, problèmes linéaires)

Exercice proposé : 4.3

Semaine 4 :

Etudier le chapitre 4, section 4.4 (Existence et unicité, problèmes non linéaires) et l'énoncé du premier théorème de la section 4.5 (théorème de Kolmogorov)

Exercice proposé : 4.4

- Coordonnées des enseignants responsables de l'envoi T. Gallouet, R. Herbin, CMI, 39 rue Joliot Curie, 13453 marseille cedex 13. email : thierry.gallouet@univ-amu.fr, raphaele.herbin@univ-amu.fr Vous pouvez aussi consulter la page web: http://www.cmi.univ-mrs.fr/~gallouet/master2.d/tele.d et nous poser des questions par email.

) i x ? M a r s ? i l l ? ? U n i v ? r s i t é? - ? C ? n t r ? ? ? ? ? ? é l é - E n s ? i g n ? m ? n t ? ? c i ? n c ? sCas??35.???3,??lac??Victor?Hugo.???)333)??Mars?ill??C???x?(3.

htt??//www.ct?s.univ-?rov?nc?.fr

3.4. CORRIGÉS D"EXERCICES CHAPITRE 3. ELLIPTIQUE NON LINÉAIRE

L"application˜u?→h(0,˜u)est constante (h(0,˜u)est, pour tout˜u, la solution faible de-Δu=fdansΩavecu= 0

sur∂Ω). La solution dev=h(0,v)est unique et appartient àBR. Ceci suffit pour dire qued(I-h(0,·),BR,0)?= 0

(on peut ramener la constante à0par homotopie en remarquant, par exemple, qued(I-th(0,·),BR,0)ne dépend

pas det?[0,1], voir l"exercice 3.4). 6.

On retire dans cette question l"h ypothèse?(0) = 0et on se donne un élémentTdeH-1(Ω). Montrer qu"il

existeusolution de (3.46) avec? Ωf(x)v(x)dxremplacé par?T,v?H-1(Ω),H10(Ω).

Corrigé -

On commence par r emplacer

Ωf(x)v(x)dxpar?T,v?H-1(Ω),H10(Ω)dans (3.46). La démonstration est

alors très semblable à la précédente. Les seuls points demandant une petite modification sont dans les questions 4(a)

et 4(c). Dans la question 4(a), On a majoré? Ω|fψ(u)|dxpar?f?L1(Ω). Il faut maintenant majorer |?T,ψ(v)?H-1(Ω),H10(Ω)|.

Cette majoration se fait en remarquant que

H-1(Ω)+14

?|?u|1 +|u|?2

L2(Ω).

Dans la question 4(c), on a majoré

Ω|fu|dxparCΩ?f?L2(Ω)?u?H10(Ω). Il faut maintenant majorer |?T,u?H-1(Ω),H10(Ω)|.

Ce qui est facile car

Il reste maintenant à retirer l"hypothèse?(0) = 0. Ceci est assez facile car il suffit de se ramener au cas précédent en

remplaçant?par?-?(0)et en ajoutant au second membre de (3.46)-?

Ω?(0)W(x)·?v(x)dx. On se ramène bien

au cas précédent car l"applicationv?→? Ω?(0)W(x)·?v(x)dxest bien un élément deH-1(Ω)(carW?L2(Ω)N). Corrigé 3.5 (Convection-diffusion, Dirichlet, unicité) On reprend ici les mêmes hypothèses que dans l"exercice 3.5, c"est-à-dire : SoitΩun ouvert borné deIRN,N= 2ou3,p > N,W?Lp(Ω)N,?une fonction lipschitzienne deIRdansIR t.q.?(0) = 0etf?L2(Ω). L"exercice 3.5 a montré qu"il existaitusolution faible de (3.27), c"est-à-direusolution de ?u?H10(Ω),? ?u(x)· ?v(x)dx-? ?(u(x))W(x)· ?v(x)dx=? f(x)v(x)dxpour toutv?H10(Ω).(3.51)

L"objectif de cet exercice est de montrer l"unicité de la solution de (3.51) et de montrer queu≥0p.p. sif≥0

p.p.. 1.

M ontrerl"unicité de la solution de (3.51).

Corrigé -

La démonstr ationd"unicité faite pour le théorème 3.15 n"a pas utilisée complètement les hypothèses sur

G(qui étaientG?C1(¯Ω,IRN)etdivG= 0). Elle a utilisé seulement le fait queG?L2(Ω)N. Ici nous avons

W?Lp(Ω)N. Commep > N, ceci donne bienW?L2(Ω)Net la démonstration faite pour le théorème 3.15 est

donc aussi valable ici. Nous la rappelons rapidement.

Soientu1etu2deux solutions de(3.51). On a donc :?

?u1· ?vdx-? ?(u1)W· ?vdx=? fvdx,(3.52)

EDP, Télé-enseignement, M2125

3.4. CORRIGÉS D"EXERCICES CHAPITRE 3. ELLIPTIQUE NON LINÉAIRE

et ?u2· ?vdx-? ?(u2)W· ?vdx=? fvdx.(3.53) Pourn?IN?on définitTn?C(IR,IR)parTn(s) = max(-1/n,min(s,1/n)). Le lemme 2.21 (ou plutôt sa généralisation, voir la remarque 2.22) donneTn(u1-u2)?H10(Ω)et?Tn(u1-u2) =?(u1-u2)1Anavec A n={0<|u1-u2|<1/n}. On prendv=Tn(u1-u2)dans (3.52) et (3.53), on obtient? ?(u1-u2)· ?Tn(u1-u2) dx=? (?(u1)-?(u2))W· ?(Tn(u1-u2)) dx. A A nC

1|u1-u2| |W| |?(u1-u2)|dx.

obtient donc : A A n|W|2dx? 1/2?? A n|?(u1-u2)|2dx? 1/2

On a donc

?|?Tn(u1-u2)|?L2(Ω)=? A n|?(u1-u2)|2? 1/2 an,avecan=? A n|W|2dx? 1/2 de Lebesgue surIRN, an.

On poseBn={|u1-u2| ≥1/n}, de sorte que

1n (m(Bn))N-1N B n|Tn(u1-u2)|1?dx? 11

On a donc

(m(Bn))N-1N

Pourn?IN?, on aAn+1?An. Comme∩n?IN?An=∅, la continuité décroissante demdonne quelimn→+∞

m(An) = 0. CommeW?L2(Ω)Non en déduit quelimn→+∞an= 0et donc, grâce à (3.54), quelimn→+∞

m(Bn) = 0. On remarque enfin queBn+1?Bn, pour toutn?IN?, et?n?INBn={|u1-u2|>0}. Donclimn→+∞m(Bn) = m{|u1-u2|>0}(par continuité croissante d"une mesure). On obtient doncm{|u1-u2|>0}= 0et doncu1=u2 p.p.. 2.

On retire dans cette question (et seulement dans cette question) l"h ypothèse?(0) = 0et on se donne un élément

TdeH-1(Ω). Montrer que le problème (3.28) avec? Ωf(x)v(x)dxremplacé par?T,v?H-1(Ω),H10(Ω)a une unique solution (l"existence a été montrée dans l"exercice 3.5).

Corrigé -

La démonstr ationest identique à la précédente .Il suf fitde r emplacer,dans (3.52) et (3.53),

Ωf(x)v(x)dx

par?T,v?H-1(Ω),H10(Ω). 3. v=Sn(u)dans (3.51) avecSn?C(IR,IR)définie parSn(s) = max(0,min(s,1/n))et faire tendrenvers

EDP, Télé-enseignement, M2126

3.4. CORRIGÉS D"EXERCICES CHAPITRE 3. ELLIPTIQUE NON LINÉAIRE

Corrigé -

La démonstr ationest vois inede celle de la pr emièrequestion. P ourn?IN?, on prendv=Sn(u)dans

(3.51) avecSn?C(IR,IR)définie parSn(s) = max(0,min(s,1/n)). Ceci est possible carSn(u)?H10(Ω). On

sait aussi que?Sn(u) = 1En?uavecEn={0< u <1/n}(voir la remarque 2.22). CommeSn(u)≥0p.p. et ?u· ?Sn(u) dx-?

On a donc

|?Sn(u)|2dx=? ?(u)W· ?Sn(u) dx.

Schwarz dans la dernière intégrale

E n|W(x)|2dx? 12

On poseγn=??

E n|W(x)|2dx? 12 de Lebesgue surIRN,

γn.

On poseDn={u≥1/n}, de sorte que

1n (m(Dn))N-1N D n|Sn(u)|1?dx? 11

On a donc

(m(Dn))N-1N

On conclut comme à la première question. Pourn?IN?, on aEn+1?En. Comme∩n?IN?En=∅, la continuité

décroissante demdonne quelimn→+∞m(En) = 0. CommeW?L2(Ω)Non en déduit quelimn→+∞γn= 0et

donc, grâce à (3.56), quelimn→+∞m(Dn) = 0. On remarque enfin queDn+1?Dn, pour toutn?IN?, et?n?INDn={u >0}. Donclimn→+∞m(Dn) = Corrigé 3.6 (Convergence faible et non linéarité) Remarque liminaire : Soit??C(IR,IR). Lorsque qu"une suite(un)n?INtend faiblement versudans un espace L

pet que la suite?(un)tend faiblement versfdans un espaceLq, il est en général faux quef=?(u)p.p.. On

ajoute l"hypothèse que?un?(un)converge vers?uf. Si?est croissante, l""astuce de Minty" permet alors de

montrer quef=?(u)p.p.. Si?est strictement croissante, on obtient même une convergence forte deunversu

(c"est l""astuce de Leray-Lions"). Cet exercice détaille ces idées dans le cadrep=q= 2avec une mesure finie.

Soit(X,T,m)un espace mesuré fini ( c"est-à-direm(X)<+∞). On noteL2l"espaceL2IR(X,T,m). Soit

(un)n?INet(vn)n?INdeux suites bornées deL2etu,v?L2. On suppose que les suites(un)n?INet(vn)n?IN convergent faiblement dansL2versuetv. On rappelle que ceci signifie que lim n→+∞? u nwdm=? uwdmetlimn→+∞? v nwdm=? vwdmpour toutw?L2. 1. On suppose, dans cette question seulement, que vn=unp.p., pour toutn?IN(et doncu=vp.p.). Montrer queun→udansL2(quandn→+∞) si et seulement si?u2ndm→?u2dm(quandn→+∞).

EDP, Télé-enseignement, M2127

3.4. CORRIGÉS D"EXERCICES CHAPITRE 3. ELLIPTIQUE NON LINÉAIRE

Corrigé -

On r emarqueque

?un-u?22=? u

2ndm+?

u

2dm-2?

u nudm.(3.57) Commeun→ufaiblement dansL2, on alimn→+∞?u nudm=?u2dm. On déduit alors facilement de (3.57) que u n→udansL2si et seulement silimn→+∞?u2ndm=?u2dm.

On suppose pour toute la suite de l"exercice que

?unvndm→?uv dm(quandn→+∞) et qu"il existe une fonction?deIRdansIRt.q.quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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