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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

Université Aboubakr Belkaïd Tlemcen

Faculté des SCIENCES

MEMOIRE

diplôme de MASTER

En : Mathématiques

Spécialité : Mathématiques Appliquées/ Analyse numérique Sujet

Observabilité des systèmes non linéaires

Présenté par : BERRAHO RAHMOUNA

Soutenu publiquement, le 29 / 06 / 2016, devant le jury composé de : Mr Senouci Bereksi Ghouti Enseignant Univ. Tlemcen Président Mr Benchaib Abdellatif Enseignant Univ. Tlemcen Encadreur Mr Bensalah Hamid Enseignant Univ. Tlemcen Examinateur i

Remerciements

Je tiens à témoigner ma reconnaissance à DIEU tout puissant, de m"avoir donné le courage et

la force de mener à terme ce travail. Qui m"a ouvert les portes du savoir. Je tiens à exprimer ma profonde gratitude et sincères remerciements à Monsieur BENCHAIB et

à Monsieur BENSALAH d"avoir accepté de rédiger ce travail et qui m"ont faits bénéficier de leurs

expériences et de leurs connaissances. Qu"ils trouvent ici, mes respects et mes gratitudes pour leurs

conseils, leurs encouragements, leurs disponibilités, leurs qualités humaines et surtout la confiance

qu"ils m"ont témoignés pour réaliser ce mémoire. Mes remerciements s"adressent aussi aux membres de jury qui m"ont fait le grand honneur d"évaluer ce travail. Donc je remercie Monsieur Bereksi d"avoir accepter d"évaluer ce travail. Je tiens à remercier Melle Zaoui Sara Imane pour leurs aides et leurs soutiens.

Je tiens aussi à remercier toute l"équipe pédagogique pour m"avoir transmis leur savoir tout le

long de mon cycle d"étude.

Enfin, je remercie toute personne qui a contribué de près ou de loin à la réalisation de ce

mémoire.Berraho RahmounaMaster Analyse numérique "2016» ii

Je dédie ce travail à :

Mes chèrs parents qui m"ont toujours soutenue,

Mon frère Abd El Karim et mes soeurs Safia, Fatima et Meryem,

Mes amis d"étude et mes collègues,

Et à tout ceux qui m"ont encouragée durant ma carrière d"étude.Berraho RahmounaMaster Analyse numérique "2016»

Table des matières

Introduction générale 1

1 Contrôlabilité et Observabilité 3

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Contrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1 Système contrôlé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.2 Contrôlabilité des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.3 Contrôlabilité des systèmes non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3 Observabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1 Système commandé-observé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2 Observabilité des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.3 Observabilité des systèmes non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2 Observateurs 21

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2 Cas des systèmes linéaires autonomes : observateur asymptotique de Luenberger . .

22

2.2.1 Observateur d"ordre complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.2 Observateur d"ordre réduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3 Observateurs des systèmes non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4 Observateurs des systèmes non linéaires, un état de l"art . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4.1 Méthode de transformations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4.2 Approche de Thau et ses généralisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3 Exemples de simulation 35

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2.1 Exemple 1 : Observateur de Luenberger d"ordre complet . . . . . . . . . . .

35 Berraho RahmounaMaster Analyse numérique "2016»

ivTABLE DES MATIÈRES3.2.2 Exemple 2 : Observateur de Luenberger d"ordre réduit . . . . . . . . . . . .40

3.2.3 Exemple 3 : Observateur de Thau - Approche LMI . . . . . . . . . . . . . .

42

3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46
Conclusion générale 49Berraho RahmounaMaster Analyse numérique "2016»

Introduction générale

Le comportement dynamique d"un procédé peut être entièrement décrit par l"évolution de ses

variables d"état. Pour la commande et la supervision d"un système dynamique, la connaissance de

ces variables est capitale. Or ces variables ne sont pas en général, accessibles par des mesures. Ce

problème peut être résolu, sous certaines conditions, en introduisant un observateur d"état ou un esti-

mateur d"état dont la tâche sera de fournir une estimation (asymptotique ou exponentielle) du vecteur

d"état du système étudié en fonction des informations disponibles sur ce système (les mesures d"en-

trée et de sortie et le modèle dynamique du procédé).

Les premiers observateurs, dédiés à l"estimation de l"état des systèmes linéaires, ont été dé-

veloppés par Luenberger dans un cadre déterministe et par Kalman dans un cadre stochastique. Ce

dernier a eu un impact considérable dans la pratique et a été appliqué à de nombreux problèmes tels

la poursuite des cibles, le démographique, etc. Ces deux observateurs, de Luenberger et Kalman sont

largement utilisés de nos jours, mais les systèmes linéaires ne couvrent qu"un faible pourcentage des

procédés industriels, des solutions spécifiquement non linéaires ont rapidement été envisagées. Ce-

pendant, le problème d"estimation d"état des systèmes non linéaires reste sans solution dans un grand

nombre de cas et cela, malgré les nombreuses méthodes proposées dans ce sens. En effet, les systèmes

non linéaires ont des représentations d"état très variées, qui exploitent la structure et les propriétés de

la fonction non linéaire qui intervient dans le modèle du système. Il semble donc difficile a priori,

étant donné l"état des travaux actuels, de trouver une théorie générale sur l"estimation d"état non li-

néaire, qui unifierait les approches déjà établies. Parmi les méthodes utilisé dans l"observation des

systèmes non linéaires, La méthode de transformation non linéaire qui fait appel à un changement de

coordonnée afin de transformer un système non-linéaire à un système linéaire. Une fois qu"une telle

transformation est faite, l"utilisation d"un observateur de type Luenberger suffira pour estimer l"état

du système transformé, et donc pour obtenir l"observateur de l"état du système original en utilisant

le changement de coordonnés inverse, et on a l"observateur de Thau qui s"applique sur une classe spécifique pour les systèmes non linéaires qui sont Lipschitz.

L"objectif de ce mémoire est de développer les divers points évoqués ci-dessus. Ce manuscrit

s"organise de la façon suivante :Berraho RahmounaMaster Analyse numérique "2016»

2TABLE DES MATIÈRES?Le premier chapitre est consacré essentiellement à une présentation de quelques rappels indispen-

sables et nécessaires à la compréhension de ce mémoire. On donne de courtes définitions de

la contrôlabilité, après nous étudions en détail les systèmes linéaires autonomes. Leur contrô-

labilité est caractérisée par le critère de Kalman. Pour les systèmes non linéaires, le problème

mathématique de contrôlabilité est beaucoup plus difficile, nous aborderons que l"étude de la

contrôlabilité locale de tels systèmes. Après On donne quelques définitions sur l"observabilité

des systèmes linéaires et non linéaires.

?Le deuxième chapitre est consacré aux différentes approches de construction des observateurs.

Dans le cas linéaire, on donne la synthèse de l"observateur de Luenberger, puis pour les sys-

tèmes non linéaires on aborde la méthode de transformation non linéaire et l"observateur de

Thau pour une classe spécifique qui sont Lipschitz.

?Dans le troisième chapitre, on présente quelques résultats de simulation élaborés sous le logiciel

Matlab, en particulier Simulink et LMI contrôl toolbox. Nous terminerons notre travail par une conclusion générale. Berraho RahmounaMaster Analyse numérique "2016»

Chapitre1Contrôlabilité et Observabilité

1.1 Introduction

La contrôlabilité fait partie des propriétés dites structurelles qui caractérisent les systèmes,

et éventuellement permettent de les classifier, par leurs propriétés algébriques et géométriques. Elle

est indispensable dans les applications pour qu"un système puisse être convenablement commandé et

permet de construire des lois de commande de façon effective. Cependant, elle sert d"introduction à

de nombreuses questions d"une grande importance pratique, comme la planification de trajectoires.

La première partie de ce chapitre aborde la contrôlabilité, après de courtes définitions, nous étu-

dions en détail les systèmes linéaires autonomes. Leur contrôlabilité est caractérisée par le critère de

Kalman.

Pour les systèmes non linéaires, le problème mathématique de contrôlabilité est beaucoup plus

difficile, nous aborderons que l"étude de la contrôlabilité locale de tels systèmes.

La propriété d"observabilité consiste à garantir que les mesures faites sur un système sont suffi-

samment informatives pour pouvoir en déduire toutes les variables non mesurées du système. Ainsi,

il est important de faire l"étude de cette propriété lorsqu"il s"agit de construire un observateur permet-

tant l"estimation de l"état d"un système.

La deuxième partie de ce chapitre aborde la notion de l"observabilité. On donne quelques défi-

nitions sur l"observabilité pour les systèmes linéaires et non linéaires.

1.2 Contrôlabilité

1.2.1 Système contrôlé

Un système contrôlé (ou commandé) est un système différentiel de la forme; x(t) =f(x(t);u(t));x(t)2M;u(:)2U:(1.1)Berraho RahmounaMaster Analyse numérique "2016»

4CHAPITRE1 :Contrôlabilité et ObservabilitéEn générale, le vecteur des étatsx(t)appartient à une variété différentielleMde dimensionn(on

supposera ici queMest un ouvert connexe deRn), et les contrôlesu(:)appartiennent à un ensemble de

contrôles admissiblesU, qui est un ensemble de fonctions localement intégrables définies sur[0;+¥)

à valeurs dansURm. On suppose le champ de vecteurfsuffisamment régulier, de sorte que pour toute condition initialex02Met tout contrôle admissibleu(:)2U, le système(1:1)admet une unique

solutionx(t)telle quex(0)=x0, et que cette solution soit définie sur[0;+¥). On notera cette solution

parxf(t;x0;u(:)), quand il n"y a pas de risque de confusion, on pourra omettre dans cette notation le

champf, la condition initialex0, ou bien le contrôleu(:).

Le système (1.1) est dit en boucle ouverte et est représenté par le diagramme suivant (voir figure

(1.1)) :FIGURE1.1 - Système contrôlé

Le problème de contrôlabilité est le suivant, étant donnés deux étatsx1;x22Rn, existe-il un temps

Tet un contrôle admissibleutel que la trajectoirexu(t)associée à ce contrôle joignex0=x(0)à

x

1=x(T)? C"est le problème de contrôlabilité.

L"objet de cette section est de caractériser la contrôlabilité des systèmes linéaires, on verra qu"il

existe une caractérisation algébrique de la contrôlabilité d"un système linéaire due à Kalman.

1.2.2 Contrôlabilité des systèmes linéaires

Le problème général étudié dans cette partie est le suivant : soientnetmdeux entiers naturels non

nuls,Iun intervalle deR, et soientAetBdeux applicationsL¥surI, à valeurs respectivement dans M n(R)etMn;m(R). SoitWun sous-ensemble deRm, et soitx02Rn. Le système de contrôle linéaire auquel on s"intéresse est :

8t2I;x(t) =A(t)x(t)+B(t)u(t)

x(0) =x0(1.2)

où l"ensemble des contrôlesuconsidérés est l"ensemble des applications mesurables, et localement

bornées surI, à valeurs dans le sous- ensembleWRm.

Avant de développer la notion de la contrôlabilité, on donne une définition sur l"ensemble acces-

sible;

Définition 1.2.1.: ([31]) L"ensemble des points accessibles à partir de x0en un temps T>0estBerraho RahmounaMaster Analyse numérique "2016»

1.2 Contrôlabilité 5

défini par :

Acc(x0;T) =fxu(T)ju2L¥([0;T];W)g

où x u(:)est la solution du système(1:2)associée au contrôle u.

Autrement dit Acc(x0;T)est l"ensemble des extrémités des solutions de(1:2)au temps T, lorsqu"on

fait varier le contrôle u. Pour la cohérence on pose Acc(x0;0) =fx0g.

Définition 1.2.2.: ([31]) Le système contrôléx(t) =A(t)x(t)+B(t)u(t)est dit contrôlable en temps

T si Acc(x0;T) =Rn, i.e. , pour tout x0;x12Rn, il existe un contrôle u tel que la trajectoire associée

relie x

0à x1en temps T (voir Figure 1.2).FIGURE1.2 - Contrôlabilité

1.2.1 Contrôlabilité des systèmes linéaires autonomes

Le théorème suivant nous donne une condition nécessaire et suffisante de contrôlabilité dans le

cas oùAetBne dépend pas det, elle est dite condition deKalman;

Théorème 1.2.3.: ([31]) Le systèmex=Ax(t)+Bu(t)est dit contrôlable en temps T si et seulement

si la matrice

C=B AB A2B:::An1B

est de rang égal à n. La matriceC est appelée matrice de Kalman. La condition rgC=n est appelée condition de Kalman. Remarque 1.2.4.La condition de Kalman ne dépend ni de T ni de x0. Autrement dit, si un système linéaire autonome est contrôlable en temps T depuis x

0, alors il est contrôlable en tout temps depuis

tout point. Démonstration :L"essentiel de la preuve est contenu dans le lemme suivant : Lemme 1.2.5.: ([31]) La matriceC est de rang n si et seulement si l"application linéaire f:L¥([0;T];Rm)!Rn u7!Z T

0e(Tt)ABu(t)dt

est surjective. Berraho RahmounaMaster Analyse numérique "2016»

6CHAPITRE1 :Contrôlabilité et ObservabilitéPreuve de lemme :Supposons tout d"abord que rgC

tive. L"application C étant non surjective, il existe un vecteury2Rnf0g, que l"on supposera être

un vecteur ligne, tel queyC=0. Par conséquent, yB=yAB=:::=yAn1B=0: Or d"après le théorème deCayleyHamilton, il existe des réels a0;a1;:::;an1tels que A n=a0I+:::+an1An1: On en déduit par récurrence immédiate que, pour tout entier k, yAkB=0; et donc, pour tout t2[0;T], yetAB=0:

Par conséquent, pour tout contrôle u, on a

y Z T

0e(Tt)ABu(t)dt=0

i.e.yf(u) =0, ce qui montre quefn"est pas surjective. Réciproquement, sifn"est pas surjective, alors il existe un vecteur ligney2Rnf0gtel que pour tout contrôle u on ait yZ T

0e(Tt)ABu(t)dt=0:

Ceci implique que, pour tout t2[0;T]

ye(Tt)AB=0: En t=T on obtientyB=0. Ensuite, en dérivant par rapport à t, puis en posant t=T, on obtient yAB=0. Ainsi par dérivations successives, on obtient finalement : yB=yAB=:::=yAn1B=0; doncyC=0, et donc rgCSi la matrice C est de rang n, alors d"après le lemme l"applicationfest surjective, i.e.f(L¥) =Rn.

Or, pour tout contrôle u, l"extrémité au temps T de la trajectoire associée à u est donnée par

x(T) =eTAx0+Z T

0e(Tt)ABu(t)dt;Berraho RahmounaMaster Analyse numérique "2016»

1.2 Contrôlabilité 7

de sorte que l"ensemble accessible en temps T depuis x

02Rnest :

Acc(T;x0) =eTAx0+f(L¥) =Rn;

ce qui montre que le système est contrôlable.

Réciproquement si le système est contrôlable, alors il est en particulier contrôlable depuis x

0, et l"ensemble accessible en temps T s"écrit :

Acc(T;x0) =f(L¥) =Rn;

Ce qui prouve quefest surjective, et donc, d"après le lemme, la matriceC est de rang n. Exemple 1.2.6.On considère le système linéaire suivant : x=Ax+Bu(1) avec A=0 B

BBB@0 1 0 0

3w30 0 2w

0 0 0 1

02w0 01

C CCCA et B=0 B

BBB@0 0

1 0 0 0 0 11 C

CCCA;w6=0

Ce système de contrôle est-il contrôlable dansR4?

Pour cela calculons la matriceC= (B AB A2B A3B)

C=0 B

BBB@0 0 1 0 0 2ww20

1 0 0 2ww20 02w3

0 0 0 12w0 04w2

0 12w02w4w22w301

C CCCA

On remarque que :

0 0 1 0

1 0 0 2w

0 0 0 1

0 12w0

=16=0

donc rangC=4=dimR4. D"où le système (1) est contrôlable.Berraho RahmounaMaster Analyse numérique "2016»

8CHAPITRE1 :Contrôlabilité et ObservabilitéExemple 1.2.7.On considère le même système (1) mais avec

B=0 B BBB@0 1 0 01 C CCCA

La matrice de contrôlabilité est :

C=0 B

BBB@0 1 0w3

1 0w20

0 02w30

02w0 2w31

C

CCCA;det C=0

donc le rangC<4. Conclusion: le système n"est pas contrôlable.

Commentaire: si on change B, les résultats changent aussi avec le même contrôle u. B représente

la manière d"utiliser le contrôle u.

1.2.3 Contrôlabilité des systèmes non linéaires

Le problème de la caractérisation de la contrôlabilité locale et globale des systèmes non-linéaires

est difficile et fait partie des problèmes critiques du domaine de la théorie des systèmes non-linéaires.

(voir ([21]) pour une présentation lucide des travaux dans ce domaine). Un résultat fondamental sur

la contrôlabilité d"un système non-linéaire provient d"un théorème qui énonce que si la linéarisation

d"un système non-linéaire autour d"un point est contrôlable alors le système non-linéaire est lui-même

localement contrôlable ([21]). L"étude de la contrôlabilité d"un système non-linéaire conduit à des

calculs plus lourds, qui pour être présentée de façon compacte, nécessite le langage de la géométrie

différentielle et les crochets de Lie ([12]). Considérons le système de contrôle non-linéaire suivant : x(t) =f(t;x(t);u(t));t2I x(0) =x0(1.3)

On dispose de la définition mathématique de la contrôlabilité (ou de commandabilité) :

Définition 1.2.8.Comme dans le cas linéaire, on dit que le système (1.3) est contrôlable (ou com-

mandable) si pour tout x

0, x12Rn, il existe un contrôle u tel que la trajectoire associée relie x0à x1

en temps T i.e. :

8x0;x12Rn;9u2L¥loc([0;T];Rm);9x:[0;T]!RnBerraho RahmounaMaster Analyse numérique "2016»

1.2 Contrôlabilité 9

x(t) =f(t;x(t);u(t))p.p sur[0;T] x(0) =x0;x(T) =x1:

Remarque 1.2.9.en général, la commande u n"est pas unique, il en existe une infinité. Cette étape

s"appelle planification de la trajectoire : calculer t7!u(t)à partir de la connaissance de f;x0;x1

constitue l"une des questions majeures de l"automatique. Cette question est très loin d"être résolue

actuellement. Exemple 1.2.10.Considérons l"équation de pendule pesant ml

2¨q+mlgsinq=u()

où u : représente la somme des moments des forces autres que le poids. m : la masse de pendule, l : Longueur du pendule " distance entre l"axe et le centre de gravité du pendule ", g : l"accélération de la pesanteur, q: l"angle que fait le pendule avec la verticale.

En posantw=q, l"équation (*) devient :

(q=w; w=gl sinq+uml 2(2): On notera alors x= (q;w)Tl"état du système. Le champ de vecteurs est :quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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