[PDF] 91 Le produit scalaire 92 et ses applications

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Définitions et propriétés

Propriétés du produit scalaire

Application du produit scalaire

?Le produit scalaire? et ses applications

Lycée du golfe de Saint Tropez

Année 2017/2018

Première SProduit scalaire

Définitions et propriétés

Propriétés du produit scalaire

Application du produit scalaire

1Définitions et propriétés

Norme d"un vecteur

Produit scalaire de deux vecteurs

Autres expressions du produit scalaire

2Propriétés du produit scalaire

Symétrie et bilinéarité

Orthogonalité

3Application du produit scalaire

Calculer de longueurs et des angles

Théorème de Pythagore généralisé

Théorème de la médiane

Equation cartésienne de cercle

Trigonométrie

Les formules d"addition

Les formules de duplication

Première SProduit scalaire

Définitions et propriétés

Propriétés du produit scalaire

Application du produit scalaire

Norme d"un vecteur

Produit scalaire de deux vecteurs

Autres expressions du produit scalaire

I) Définitions et propriétés

a) Norme d"un vecteur

Définition

Soit-→uun vecteur du plan, et soitAetBdeux points du plan tel que-→u=-→AB Lanormedu vecteur-→u, est la longueur du segment [AB]. On a: ?-→u??? =???-→AB??? =AB.

Première SProduit scalaire

Définitions et propriétés

Propriétés du produit scalaire

Application du produit scalaire

Norme d"un vecteur

Produit scalaire de deux vecteurs

Autres expressions du produit scalaire

I) Définitions et propriétés

a) Norme d"un vecteur

Définition

Soit-→uun vecteur du plan, et soitAetBdeux points du plan tel que-→u=-→AB Lanormedu vecteur-→u, est la longueur du segment [AB]. On a: ?-→u??? =???-→AB??? =AB.

Propriété

Dans un repèreorthonormé, si-→ua pour coordonnées?x y? alors -→u??? x2+y2

Première SProduit scalaire

Définitions et propriétés

Propriétés du produit scalaire

Application du produit scalaire

Norme d"un vecteur

Produit scalaire de deux vecteurs

Autres expressions du produit scalaire

Propriétés

Propriétés

Si-→uet-→vsont deux vecteurs du plan.

Pour tout nombre réelk, on a???--→ku???

=|k|???-→u??? ?-→u+-→v??? ????-→u??? +???-→v??? (Inégalité triangulaire); ?-→u??? =0??-→u=-→0 .

Première SProduit scalaire

Définitions et propriétés

Propriétés du produit scalaire

Application du produit scalaire

Norme d"un vecteur

Produit scalaire de deux vecteurs

Autres expressions du produit scalaire

Calculer une norme dans un repère orthonormé SoitA(2 ;-2) etB(-1 ; 2) deux points dans un repère orthonormé?

O,-→ı,-→??

Soit -→ule vecteur dont un représentant est le vecteur-→AB. Calculer les normes des vecteurs-→u,--→uet 3-→u.

Première SProduit scalaire

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Propriétés du produit scalaire

Application du produit scalaire

Norme d"un vecteur

Produit scalaire de deux vecteurs

Autres expressions du produit scalaire

Calculer une norme dans un repère orthonormé SoitA(2 ;-2) etB(-1 ; 2) deux points dans un repère orthonormé?

O,-→ı,-→??

Soit -→ule vecteur dont un représentant est le vecteur-→AB. Calculer les normes des vecteurs-→u,--→uet 3-→u.

Correction:

On a-→AB?-1-2

2-(-2)?

; donc-→u?-3 4?

On utilise la formule du cours :???-→u???

x2+y2=?(-3)2+42=?9+16=?25=5.

De plus, pour tout réelk, on a???

k-→u??? =|k|???-→u???

Par conséquent,???

--→u??? =|-1|???-→u??? =???-→u??? =5 et???

3-→u???

=3???-→u??? =15.

Première SProduit scalaire

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Norme d"un vecteur

Produit scalaire de deux vecteurs

Autres expressions du produit scalaire

b) Produit scalaire de deux vecteurs

Définition

Soit-→uet-→vdeux vecteurs du plan.

On appelle produit scalaire de-→uet-→vnoté-→u·-→vle nombre réel défini par:

u·-→v=1 2?

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Norme d"un vecteur

Produit scalaire de deux vecteurs

Autres expressions du produit scalaire

b) Produit scalaire de deux vecteurs

Définition

Soit-→uet-→vdeux vecteurs du plan.

On appelle produit scalaire de-→uet-→vnoté-→u·-→vle nombre réel défini par:

u·-→v=1 2?

Remarque:

SoitA,BetCtrois points du plan tels que-→u=-→ABet-→v=--→ACon a:

2?AB2+AC2-BC2?.

?A? B?

C-→u

-→v -→u--→v

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Norme d"un vecteur

Produit scalaire de deux vecteurs

Autres expressions du produit scalaire

c) Autres expressions du produit scalaire

1) Expression analytique du produit scalaire

Théorème: Expression dans un repère orthonormé Dans un repèreorthonormé, si-→ua pour coordonnées?x y? et-→va pour coordonnées ?x? y alors-→u·-→v=xx?+yy?

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Produit scalaire de deux vecteurs

Autres expressions du produit scalaire

c) Autres expressions du produit scalaire

1) Expression analytique du produit scalaire

Théorème: Expression dans un repère orthonormé Dans un repèreorthonormé, si-→ua pour coordonnées?x y? et-→va pour coordonnées ?x? y alors-→u·-→v=xx?+yy?

Carré scalaire

-→u·-→u=-→u2s"appelle lecarré scalairedu vecteur-→u.

Pour tout

-→uon a:-→u2=???-→u???2

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Norme d"un vecteur

Produit scalaire de deux vecteurs

Autres expressions du produit scalaire

2) En fonction de l"angle des vecteurs

Autre expression

Si-→uet-→vsont deuxvecteurs non nulsalors -→u·-→v=???-→u???

×???-→v???

×cos?-→u,-→v?

Remarque:

Dans la pratique, on utilise une mesureθde l"angle géométrique associé aux vecteurs-→uet-→v.

Faire les exercices 1, 2, 5 et 7 page 220

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Propriétés du produit scalaire

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Symétrie et bilinéarité

Orthogonalité

II) Propriétés du produit scalaire

a) Symétrie et bilinéarité

Propriétés

-→u,-→vet-→wétant des vecteurs du plan etkétant un nombre réel.

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Symétrie et bilinéarité

Orthogonalité

II) Propriétés du produit scalaire

a) Symétrie et bilinéarité

Propriétés

-→u,-→vet-→wétant des vecteurs du plan etkétant un nombre réel.

Egalités remarquables

-→uet-→vétant des vecteurs du plan etkétant un nombre réel.

Faire les exercices 45, 47 et 52 page 230

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Symétrie et bilinéarité

Orthogonalité

b) Orthogonalité

Définition

-→u=-→ABet-→v=--→CDétant deux vecteurs non nuls, dire que-→uet-→vsont

orthogonauxsignifie que les droites (AB) et (CD) sontperpendiculaires. Parconvention, le vecteur nul-→0 est orthogonal à tous les autres vecteurs.

Propriété caractéristique

Dire que deux vecteurs sontorthogonauxéquivaut à dire que-→u·-→v=0. (AB)?(CD)??-→AB·--→CD=0 Faire les exercices 16 page 223 et les exercices 56,58 et 60 page 231

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Calculer de longueurs et des angles

Equation cartésienne de cercle

Trigonométrie

a) Calculer de longueurs et des angles

Théorème de Pythagore généralisé

ABCest un triangle quelconque.

BC

2=AB2+AC2-2AB×AC×cos(?BAC)

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Calculer de longueurs et des angles

Equation cartésienne de cercle

Trigonométrie

a) Calculer de longueurs et des angles

Théorème de Pythagore généralisé

ABCest un triangle quelconque.

BC

2=AB2+AC2-2AB×AC×cos(?BAC)

Démonstration

D"après la relation de Chasles

Faire les exercices 1, 2 et 4 page 245

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Calculer de longueurs et des angles

Equation cartésienne de cercle

Trigonométrie

Théorème de la médiane

ABCest un triangle quelconque,Iest le milieu de [BC]. La longueur de la médiane

AIvérifie:

AB

2+AC2=2MI2+BC2

2

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Calculer de longueurs et des angles

Equation cartésienne de cercle

Trigonométrie

b) Equation cartésienne de cercle

Propriété

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Une équation du cercle de centreΩ(a;b) et de rayonRest (x-a)2+(y-b)2=R2

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Calculer de longueurs et des angles

Equation cartésienne de cercle

Trigonométrie

c) Trigonométrie

Les formules d"addition

Quels que soient les nombresaetb:

cos(a-b)=cosacosb+sinasinbet sin(a-b)=sinacosb-cosasinb cos(a+b)=cosacosb-sinasinbet sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

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Calculer de longueurs et des angles

Equation cartésienne de cercle

Trigonométrie

Démonstration

O ?A? B ?Iab ?J

Démonstration

Dans le repère?

O;-→OI,-→OJ?

, les vecteurs--→OAet--→OBont pour coordonnées respectives:

OA?cosa

sina? et--→OB?cosb sinb? Pour établir la première formule, il suffit d"écrire le produit scalaire OA·--→OBde deux façons différentes en remarquant que l"angle?--→OA;--→OB? vautb-a.

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Calculer de longueurs et des angles

Equation cartésienne de cercle

Trigonométrie

Les formules de duplication

Quels que soient les nombresaetb:

cos2a=cos2a-sin2aet sin2a=2sinacosa cos2a=2cos2a-1 et cos2a=1-2sin2a cos2a=1+cos2a2et sin2a=1-cos2a2

Première SProduit scalaire

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