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EXERCICES

SUR LE PRODUIT SCALAIRE

G.EGUETHER

7 avril 2016

Table des matièresAvertissementiii

1 GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE DANS L"ESPACE AFFINEA31

2 PRODUIT SCALAIRE39

2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 39

2.2 EspacesRnouCn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.3 Espaces de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 71

2.4 Autres espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 88

3 ADJOINT D"UN ENDOMORPHISME99

3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 99

3.2 Espaces de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 108

3.3 Espaces de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 122

4 ENDOMORPHISME NORMAL125

4.1 Généalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 125

4.2 Isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 131

4.3 Endomorphismes autoadjoints - Matrices symétriques . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.4 Endomorphismes antiautoadjoints - Matrices antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . 169

4.5 Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 175

5 INÉGALITÉ DE CAUCHY-SCHWARZ POUR LES FONCTIONS 181

6 FORME QUADRATIQUE191

6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 191

6.2 Valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 194

6.3 Réduction par la méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 202

6.4 Réduction par deux méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 213

6.5 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 222

i iiTABLE DES MATIÈRES

AvertissementOn trouvera dans ce qui suit de nombreux exercices sur le produit scalaire et ses applications classés

en cinq grands thèmes. On proposera pour chaque exercice unedémonstration (parfois deux), mais il

peut, bien sûr, y avoir d"autres moyens de procéder.

Des résultats de cours figurent dans certains exercices et pourront être utilisés à d"autres endroits.

Notations

Les espaces vectorielsEsurCouRconsidérés sont munis d"un produit scalaire noté(|), linéaire par

rapport à ladeuxièmevariable et semi-linéaire par rapport à lapremière. En particulier, siλest un

scalaire etXetYdeux vecteurs deE, (i)(λX|Y) =

λ(X|Y) et (X|λY) =λ(X|Y)

ainsi que (ii)(Y|X) = (X|Y).

La norme d"un vecteurVest alors

?V?=? (V|V). SiFest un sous-espace de dimension finiendeE, et siB= (e1,...,en)est une base orthonormée de

F, alors, la projection orthogonale deXsurFest

pr

F(X) =n?

k=1(ek|X)ek. SiEest de dimension finien, et siB= (e1,...,en)est une base orthonormée deE, alors X=n? k=1(ek|X)ek. En confondant des vecteursXetYavec la matrice colonne de leurs coordonnées dans une base orthonormée, on a également (X|Y) =t X Y . Lorsque l"on construit une base orthonormée(E1,...,En)à partir d"une base(V1,...,Vn)par le procédé de Schmidt, on notera E k=Vk-k-1? r=1(Er|Vk)Er, ivAVERTISSEMENT et l"on aura E k=1 ?Ek?Ek. SiEest un espace vectoriel surRmuni d"un produit scalaire, on dira queEest euclidien réel. Dans ce cas les barres de conjugaison disparaissent dans les formules (i) et (ii). SiEun espace vectoriel surCmuni d"un produit scalaire, on dira queEest euclidien complexe ou hermitien.

Siietjsont deux éléments d"un ensemble d"indices, on utilisera lanotation de Kroneckerδij(ouδj

i) telle que ij=?0sii?=j

1sii=j.

Enfin la composée de deux endomorphismesfetgsera notéef◦gou plus simplementfg Des notations particulières peuvent être indiquées en têtes de chapitres ou de sections. Chapitre 1GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE DANSL"ESPACE AFFINEA3

Dans ce chapitre, l"espace affineA3de la géométrie associé à l"espace vectorielR3est muni d"un repère

orthonormé direct(O,-→i ,-→j ,-→k). On noteraM(x,y,z)le pointMdeA3de coordonnées(x,y,z)dans

ce repère. Tout sous-espace affineAdeA3est associé à un sous-espace vectoriel noté-→A.

Soit deux vecteurs

U2=x2-→i+y2-→j+z2-→k .

Le produit scalaire(-→

U1|-→

U2)et le produit vectoriel-→

U1?-→

U2sont définis par

U1|-→

U2) =x1x2+y1y2+z1z2et-→

U1?-→

U2=??????-→

i-→j-→k x 1y1z1 x

2y2z2??????

La norme d"un vecteur

-→Uest alors ?-→U?=? (-→U|-→U), et l"on a pour trois vecteurs, le produit mixte

U1|-→

U2?-→

U3) = det(-→

U1,-→

U2,-→

U3), où le déterminant des vecteurs est pris dans la base(-→i ,-→j ,-→k).

2CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE DANS L"ESPACE AFFINEA3

Exercice 1

Soit-→Uet-→Vdeux vecteurs eta,b,c,dquatre nombres réels. Montrer que (a-→U+b-→V)?(c-→U+d-→V) =????a b c d???? (-→U?-→V).

Solution

On développe en utilisant le fait que-→U?-→Uet-→V?-→Vsont nuls, et que

U?-→V=--→V?-→U .

On trouve

(a-→U+b-→V)?(c-→U+d-→V) = (ad-bc)(-→U?-→V) =????a b c d???? (-→U?-→V).

Exercice 2

Soit-→Uet-→Vdeux vecteurs, et-→W=-→U?-→V. Soit la matrice A=???(-→U|-→U) (-→U|-→V) (-→U|-→W) (-→U|-→V) (-→V|-→V) (-→V|-→W) (-→U|-→W) (-→V|-→W) (-→W|-→W)???

Montrer que

detA=?-→W?4.

Solution

D"après les propriétés du produit vectoriel et du produit scalaire

A=????-→U?2(-→U|-→V) 0

(-→U|-→V)?-→V?20

0 0?-→W?2???

=?-→W?2? ?-→U?2(-→U|-→V) (-→U|-→V)?-→V?2? =?-→W?2? Mais ?-→U?2?-→V?2= (-→U|-→V)2+?-→U?-→U?2, d"où le résultat. 3

Exercice 3Distance d"un point à un plan

SoitΠun plan affine etMun point deA3. Montrer que la distance deMàΠest donnée par les formules suivantes :

1) lorsque le plan a pour équationux+vy+wz=h, où les nombresu,v,wne sont pas tous nuls,

etMest le point de coordonnées(a,b,c) d(M,Π) =|ua+vb+wc-h| ⎷u2+v2+w2,

2) lorsque le plan est défini par un pointAet deux vecteurs indépendants-→Uet-→V,

d(M,Π) =|det(--→AM,-→U ,-→V)| ?-→U?-→V?,

3) lorsque le plan est défini par trois points distinctsA,B,C,

d(M,Π) =|det(--→MA,--→MB,--→MC)|?--→AB?-→AC?.

Solution

1) SoitPetP0deux points du planΠde coordonnées respectives(x,y,z)et(x0,y0,z0). On a alors

ux+vy+wz=hetux0+vy0+wz0=h, et donc, par soustraction, u(x-x0) +v(y-y0) +w(z-z0) = 0.

Si l"on pose

-→N=u-→i+v-→j+w-→k, on a donc -→N|--→P0P) =u(x-x0) +v(y-y0) +w(z-z0) = 0, et -→Nest orthogonal au planΠ.

SiHest la projection orthogonale deMsurΠ, de coordonnées(X,Y,Z), le vecteur--→MHest colinéaire

à-→N. Il existe donc un réelλtel que

X-a=λu, Y-b=λv , Z-c=λw.

On obtient alors

uX+vY+wZ=ua+vb+wc+λ(u2+v2+w2), et commeHappartient àΠ, on doit avoir ua+vb+wc+λ(u2+v2+w2) =h ce qui détermineλ.

λ=h-(ua+vb+wc)

u2+v2+w2.

4CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE DANS L"ESPACE AFFINEA3

La distance du pointMau planΠest alors

MH?=? (X-a)2+ (Y-b)2+ (Z-c)2=|λ|?u2+v2+w2=|ua+vb+wc-h|⎷u2+v2+w2.

2) Décomposons le vecteur

AMdans la base(-→U ,-→V ,-→U?-→V). On a et dans ce cas, puisque -→U?-→Vest orthogonal à-→Uet-→Vdonc au planΠ, on a d(M,Π) =|γ|?-→U?-→V?.

D"autre part

AM|-→U?-→V) =γ?-→U?-→V?2,

d"où d(M,Π) =|(--→AM|-→U?-→V)| ?-→U?-→V?=|det(--→AM,-→U ,-→V)|?-→U?-→V?.

3) On prend

-→U=--→ABet-→V=-→AC, alors d(M,Π) =|det(--→AM,--→AB,-→AC)| ?--→AB?-→AC?. Mais, en raison des propriétés du déterminant, det(

AM,--→AB,-→AC) = det(--→AM,--→AM+--→MB,--→AM+--→MC) = det(--→AM,--→MB,--→MC) =-det(--→MA,--→MB,--→MC),

d"où d(M,Π) =|det(--→MA,--→MB,--→MC)| ?--→AB?-→AC?.

On peut aussi remarquer que|det(--→MA,--→MB,--→MC)|est six fois le volume du tétraèdreMABCet que

?--→AB?-→AC?est le double de l"aire du triangleABC, donc d(M,Π) = 3V(MABC)

A(ABC).

5

Exercice 4Distance d"un point à une droite

SoitDla droite engendrée par le vecteur directeur-→Xet passant par le pointA, et soitMun autre

point. On appelleHla projection orthogonale deMsurDetΠle plan passant parMet orthogonal

àD. En utilisant le théorème de Pythagore et l"exercice précédent, montrer que la distanced(M,D)

deMàDest donnée par la formule d(M,D) =? En déduire que la distanced(M,D)lorsqueMest définie par deux pointsAetBdistincts vaut d(M,D) =?--→MA?--→MB? ?--→AB?.

Solution

Le pointHest également la projection deAsur le planΠ. Le théorème de Pythagore donne donc

MH?2+?--→AH?2=?--→MA?2.

Mais?--→AH?est la distance deAau planΠ, que l"on peut calculer par la formule 1) de l"exercice

précédent. SoitPun point du plan de coordonnées(x,y,z), et(x0,y0,z0)les coordonnées deM.

L"équation du plan s"obtient en écrivant que--→PMest orthogonal à-→X. Donc, si l"on a

-→X=u-→i+v-→j+w-→k , alors (--→PM|-→X) =u(x-x0) +v(y-y0) +w(z-z0) = 0, et, d"après l"exercice précédent, siAa pour coordonnées(a,b,c), on obtient

AH?=|u(a-x0) +v(b-y0) +w(c-z0)|

et donc MH?2=?--→MA?2- ?--→AH?2=?--→MA?2-(--→AM|-→X)2 ?X?2.

On en déduit finalement

d(M,D) =? ?-→X?, mais, d"après les propriétés du produit vectoriel, et donc, d(M,D) =?--→MA?-→X? ?-→X?.

6CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE DANS L"ESPACE AFFINEA3

Si l"on prend

-→X=--→AB, puisque MA?--→AB=--→MA?(--→AM+--→MB) =--→MA?--→MB , on obtient d(M,D) =?--→MA?--→MB? ?--→AB?.

Exercice 5Formule du double produit vectoriel

On veut démontrer que pour trois vecteurs-→A,-→B,-→Con a (1)(-→A?-→B)?-→C= (-→A|-→C)-→B-(-→B|-→C)-→A . 1) Si

-→Aet-→Bne sont pas colinéaires, pour quelle raison le vecteur-→W= (-→A?-→B)?-→Cappartient-t-il

au plan engendré par-→Aet-→B?

2) Vérifier que la formule est vraie si-→Aet-→Bsont colinéaires.

3) On suppose que(-→A,-→B,-→C)est une base directe. En utilisant les vecteurs(-→I ,-→J ,-→K)construits

à partir de ceux-ci par le procédé de Schmidt, montrer que la formule est vraie. Puis en déduire que

la formule est vraie pour une base quelconque.

4) On suppose que-→Aet-→Bsont indépendants et que-→Cappartient au plan qu"ils engendrent.

Montrer par une méthode analogue à celle du 3) que la formule est encore vraie.

5) Déterminer les triplets(-→A,-→B,-→C)tels que

6) Soit quatre vecteurs

-→A,-→B,-→C,-→D. Calculer de deux manières

Z= (-→A?-→B)?(-→C?-→D).

Si

-→A,-→Bd"une part et-→C,-→Dd"autre part sont indépendants, que peut-on dire du vecteur-→Z?

Solution

1) Le vecteur-→West orthogonal à-→A?-→B, et comme-→A?-→Best orthogonal au plan engendré par-→A

et-→B, le vecteur-→Wappartient également à ce plan. C"est donc une combinaison linéaire de-→Aet-→B.

2) Si

-→Aet-→Bsont colinéaires-→A?-→Best nul, donc-→Wégalement. Si l"on a par exemple-→B=λ-→A, on

obtient

(-→A|-→C)-→B-(-→B|-→C)-→A= (-→A|-→C)(λ-→A)-((λ-→A)|-→C)-→A ,

et commeλse met en facteur, on trouve également-→0. 7

3) Par le procédé de Schmidt on construit successivement

I=1 ?-→A?-→A, , donc -→A=?-→A?-→I , ?-→J?-→J, ce qui donne -→B= (-→B|-→I)-→I+?-→J?-→J , et enfin ?-→K?-→K, ce qui donne -→C= (-→C|-→I)-→I+ (-→C|-→J)-→J+?-→K?-→K .

La base(-→I ,-→J ,-→K)est orthonormée, et elle est directe si la base(-→A,-→B,-→C)est directe, donc

-→I?-→J=-→K .

On en déduit la relation

-→A?-→B=?-→A??-→J?-→K , puis

W= (-→A?-→B)?-→C=?-→A??-→J?-→K?-→C=?-→A??-→J?(-→C|-→I)-→J- ?-→A??-→J?(-→C|-→J)-→I ,

où encore, puisque W= (-→C|-→A)-→J-(-→C|-→J)-→A ,

Remplaçons alors

Jpar sa valeur, il vient

W= (-→C|-→A)?-→B-(-→B|-→I)-→I? -(-→C|-→B-(-→B|-→I)-→I)-→A , et en développant

W= (-→C|-→A)-→B-(-→C|-→A)(-→B|-→I)-→I-(-→C|-→B)-→A+ (-→B|-→I)(-→C|-→I)-→A .

Mais,

(-→B|-→I)(-→C|-→I)-→A=?-→A?(-→B|-→I)(-→C|-→I)-→I= (-→C|-→A)(-→B|-→I)-→I ,

et il reste W= (-→C|-→A)-→B-(-→C|-→B)-→A .

Si la base(-→A,-→B,-→C)n"est pas directe, alors la base(-→A,-→B,--→C)est directe. Donc

-→A?-→B)?(--→C) = (--→C|-→A)-→B-(--→C|-→B)-→A .

8CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE DANS L"ESPACE AFFINEA3

Alors en changeant tous les signes on retrouve la formule voulue. 4) Si

-→Cappartient au plan engendré par-→Aet-→B, on peut encore construire-→Iet-→J. On a cette

fois-→K=-→0et l"on posera alors-→K=-→I?-→J. Dans ces conditions le calcul du 3) est encore valable,

puisque l"on a de nouveau-→K=?-→K?-→K.

5) On écrit

-→A?(-→B?-→C) =-(-→B?-→C)?-→A , et on applique la formule obtenue (1). On obtient alors (2) -→A?(-→B?-→C) = (-→C|-→A)-→B-(-→B|-→A)-→C Soit un triplet de vecteurs(-→A,-→B,-→C)tel que En utilisant les formules (1) et (2), l"égalité se traduit par

-→A|-→C)-→B-(-→B|-→C)-→A= (-→C|-→A)-→B-(-→B|-→A)-→C ,

ou encore par qui a lieu si et seulement si l"on se trouve dans un des deux cassuivants : (i) le vecteur -→Best orthogonal à-→Aet-→C, (ii) -→Aet-→Csont colinéaires. C"est vrai en particulier si l"un des vecteurs est nul.

6) On peut appliquer soit la formule (1) soit la formule (2). On obtient dans le premier cas

Z= (-→A|-→C?-→D)-→B-(-→B|-→C?-→D)-→A , et dans le second -→Z= (-→D|-→A?-→B)-→C-(-→C|-→A?-→B)-→D .

Le vecteur

-→Zappartient donc au plan engendré par-→Aet-→Bet au plan engendré par-→Det-→C, c"est-

à-dire à la droite intersection de ces deux plans. 9 Exercice 6Formule du produit scalaire de deux produits vectoriels Soit quatre vecteurs-→A,-→B,-→C,-→D. On veut montrer que

-→A?-→B|-→C?-→D) = (-→A|-→C)(-→B|-→D)-(-→A|-→D)(-→B|-→C).

1) Montrer que la formule est vraie si

-→Aet-→Bsont colinéaires.

2) On suppose que les vecteurs-→Aet-→Bsont orthogonaux et de norme 1. En écrivant les vecteurs-→Cet-→Ddans la base(-→A,-→B,-→A?-→B), montrer que la formule est vraie dans ce cas.

3) On suppose que les vecteurs-→Aet-→Bforment un système libre. En utilisant les vecteurs-→Iet-→J

construits à partir de(-→A,-→B)par le procédé de Schmidt, montrer que la formule est encore vraie

dans ce cas.

Solution

1) Si-→Aet-→Bsont colinéaires le membre de gauche est nul.

Si

-→Aest nul, les deux membres sont nuls. Si-→An"est pas nul, il existeλtel que-→B=λ-→A. Alors

-→A|-→C)(-→B|-→D)-(-→A|-→D)(-→B|-→C) = (-→A|-→C)(λ-→A|-→D)-(-→A|-→D)(λ-→A|-→C),

et en mettantλen facteur, on obtient0. 2) Si

-→Aet-→Bsont orthogonaux et de norme 1, la base(-→A,-→B,-→A?-→B)est orthonormée directe. Alors,

en écrivant-→C= (-→C|-→A)-→A+ (-→C|-→B)-→B+λ-→A?-→B ,

et -→D= (-→D|-→A)-→A+ (-→D|-→B)-→B+μ-→A?-→B , on obtient -→C?-→D=?

(-→A|-→C)(-→B|-→D)-(-→A|-→D)(-→B|-→C)?-→A?-→B+α-→A+β-→B ,

oùαetβsont deux nombres qu"il est inutile de calculer, et donc

-→A?-→B|-→C?-→D) = (-→A|-→C)(-→B|-→D)-(-→A|-→D)(-→B|-→C),

ce qui donne le résultat voulu.

3) Par le procédé de Schmidt on construit successivement

I=1 ?-→A?-→A , donc -→A=?-→A?-→I ,

10CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE DANS L"ESPACE AFFINEA3

puis ?-→J?-→J, ce qui donne -→B= (-→B|-→I)-→I+?-→J?-→J , donc -→A?-→B=?-→A??-→J?-→I?-→J . Comme -→Iet-→Jsont orthogonaux et de norme 1, on applique 2), et

-→I?-→J|-→C?-→D) = (-→I|-→C)(-→J|-→D)-(-→I|-→D)(-→J|-→C).

Alors S= (-→A?-→B|-→C?-→D) =?-→A??-→J?? ou encore S= (-→A|-→C)(-→J|-→D)-(-→A|-→D)(-→J|-→C).

On remplace alors

Jpar sa valeur

S= (-→A|-→C)?

-(-→A|-→D)?

En développant, il vient

S= (-→A|-→C)(-→B|-→D)-(-→A|-→D)(-→B|-→C)-(-→A|-→C)(-→B|-→I)(-→I|-→D) + (-→A|-→D)(-→B|-→I)(-→I|-→C).

Mais

(-→A|-→C)(-→B|-→I)(-→I|-→D) =?-→A?(-→I|-→C)(-→B|-→I)(-→I|-→D) = (-→A|-→D)(-→B|-→I)(-→I|-→C),

donc on obtient bien S= (-→A|-→C)(-→B|-→D)-(-→A|-→D)(-→B|-→C).

Exercice 7

Soit-→Aun vecteur non nul et-→Bun autre vecteur. Trouver une condition nécessaire et suffisante

pour que l"équation-→X?-→A=-→B ait une solution et résoudre cette équation.

Solution

Le vecteur-→X?-→Aest orthogonal à-→A. Donc une condition nécessaire est que(-→A|-→B)soit nul.

11

Supposons cette condition satisfaite. Si

-→Best non nul, les vecteurs-→A,-→Bet-→A?-→Bconstituent une base deR3. Cherchons une solution de la forme -→X=λ-→A+μ-→A?-→B+ν-→B . On a -→X?-→A=μ(-→A?-→B)?-→A+ν-→B?-→A . En utilisant la formule du double produit vectoriel (exercice 5), d"où -→B=μ?-→A?2-→B-ν-→A?-→B .

Comme(-→A,-→B,-→A?-→B)est une base, cette égalité a lieu si et seulement si

μ?-→A?2= 1 etν= 0,

d"où les solutions -→X=λ-→A+1 ?-→A?2-→A?-→B , oùλest un nombre réel quelconque.

Cette solution reste valable si

-→Best nul, car-→X?-→Aest nul si et seulement si-→Xest colinéaire à-→A.

La condition(-→A|-→B) = 0est donc suffisante pour avoir une solution.

Exercice 8

Trouver la distancedentre deux plans parallèlesP1etP2

1) siPiest défini par l"équationux+vy+wz=tioùu,vetwne sont pas tous nuls ;

2) siPiest défini par un de ses pointsAiet deux vecteurs indépendants-→Uet-→V.

Solution

1) Le vecteur-→

U0=u-→i+v-→j+w-→kest orthogonal àP1etP2. SoitH1dansP1etH2sa projection surP2. Alors H

1H2=λ-→

U0.

Par ailleurs

(--→OH1|-→

U0) =t1et (--→OH2|-→

U0) =t2,

et par soustraction (---→H1H2|-→

U0) =t2-t1=λ?-→

U0?2.

12CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE DANS L"ESPACE AFFINEA3

Donc

H1H2=t2-t1

U0?2-→

U0, puis d=?---→H1H2?=|t2-t1|

U0?=|t2-t1|

⎷u2+v2+w2.

2) Dans ce casdest la distance deA1àP2et donc, d"après une formule vue plus haut, (exercice 3, 2))

d=|det(---→A1A2,-→U ,-→V)| ?-→U?-→V?.

Exercice 9

Soit un plan d"équationux+vy+wz+h= 0oùuetvne sont pas tous les deux nuls.

1) Trouver un vecteur directeur-→Udes horizontales du plan.

2) Trouver un vecteur directeur-→Vdes lignes de plus grande pente (orthogonales aux horizontales).

3) Trouver l"angle des lignes de plus grande pente avec la verticale.

4) Calculer les éléments précédents lorsque le plan est défini par les trois pointsA(1,1,-1),

B(5,-2,-1)etC(4,-5,2).

Solution

1) Les lignes horizontales sont telles quez=c. Elles ont donc pour équations

?ux+vy=-t-wz z=c, et un vecteur directeur -→Uvérifie le système ?ux+vy= 0 z= 0.

On peut prendre par exemple

-→U=v-→i-u-→j .

2) Les lignes orthogonales aux précédentes sont orthogonales au vecteur-→U, donc ont pour équations

?ux+vy+wz=-t vx-uy=c?, et un vecteur directeur -→Vvérifie le système ?ux+vy+wz= 0 vx-uy= 0, 13 Si x=λuety=λv on a

λ(u2+v2) +wz= 0,

et l"on peut prendre par exemplequotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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