[PDF] Recherche de la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction f(x) =

Limite de sinx / x 1 Recherche de la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction f(x) = Par Frank Bongongui, Samuël Lin, Ioan T'Kint et Babak Zohrevand. Centre scolaire de Ma Campagne à Ixelles Première approche : Recherche par essais Un premier réflexe lorsqu'on recherche une limite peut être de remplacer x par différentes valeurs de plus en plus proche de 0. • Recherche de la limite à droite. Si x = 0,1 alors = 0,99 x = 0,01 = 0,9999 x = 0,001 = 0,999999833 x = 0,0001 = 0,999999998 x = 0,00001 = 1 • Recherche de la limite à gauche. Si x = -0,1 alors = 0,99 x = -0,01 = 0,9999 x = -0,001 = 0,999999833 x = -0,0001 = 0,999999998 x = -0,00001 = 1 • La limite recherchée est donc 1. Nous connaissons la limite mais ceci n'est pas une démonstration !

Limite de sinx / x 2 Deuxième approche : par la règle de l'Hospital Avant de procéder à cette recherche, il est peut-être nécessaire de vous rappeler les conditions d'application de la règle de l'HOSPITAL: En analyse, la règle de l'Hospital (également appelée règle de Bernoulli) utilise les dérivées dans le but de déterminer certaines limites de quotients lorsqu'on rencontre une indétermination. Si f et g sont 2 fonctions numériques d'une variable réelle telles que • présente un cas d'indétermination du type ou , • il existe un intervalle ouvert centré en a sur lequel * f et g sont dérivables (sauf éventuellement en a) * f et g ne sont ni simultanément nulles, ni simultanément infinies, sauf éventuellement en a, * lim existe Alors lim = lim Revenons au calcul de la limite recherchée : lim = On lève l'indétermination en utilisant le théorème de l'Hospital car les conditions d'application sont vérifiées. lim = lim= = 1 Attention ! Ce procédé est tentant mais scabreux puisqu'on utilise ici la dérivée de sin x, or pour rechercher cette dérivée on a utilisé la lim. Cette démonstration est donc difficilement acceptable.

Limite de sinx / x 3 Troisième approche : à partir de longueurs 1) Il est intéressant de travailler dans le cercle trigonométrique car le rayon est 1 et on y observe 3 longueurs : sin, et tan. Nous remarquons très vite que en divisant par sin α en simplifiant en inversant et prenant la limite 1 1 Le théorème du sandwich peut être appliqué. Donc, la limite de quand tend vers 0 vaut 1. Attention ! Nous rejetons cette démonstration car nous n'avons pas pu démontrer que < tan.

Limite de sinx / x 4 2) Même genre de démonstration mais à partir d'une autre représentation de la tangente La longueur du segment de droite [AM] représente la tangente de puisque tan= On observe que sintan, ce qui est le même point de départ que la démonstration précédente. Quatrième approche : à partir d'aires Cette démonstration s'établira dans un cercle trigonométrique. La fonction sin/ apparaît lorsque nous utilisons les aires des triangles se trouvant sur le schéma ci-dessous. sinα tanα α O

Limite de sinx / x 5 L'aire du triangle OAD est (cos . sin )/2 ; celle du secteur OAC est/2 et enfin l'aire du triangle OBC est (1 . tan )/2. Nous remarquons que l'aire du triangle OAD < l'aire du secteur OAC < l'aire du triangle OBC. En remplaçant les aires par celles calculées ci-dessus cela donne : (cos . sin )/2 < /2 < (tan )/2. On multiplie par 2 et on remplace tan par sin /cos , on obtient : cos . sin < < Pour faire apparaître on divise tout par sin , ce qui nous donne : cos < < . On inverse chaque membre de l'inéquation. L'inéquation devient : > > cos Prenons la limite de tous les termes de l'inéquation lorsque tend vers 0 par des valeurs positives. limlimlim 1 lim 1 Le théorème du sandwich peut être appliqué. Donc, lim=1 Le même type de démonstration à partir d'un dessin symétrique à celui ci-dessus peut être fait pour la limite à gauche. On a donc : la limite de quand tend vers 0 vaut 1. Cinquième approche : à partir de l'aire du disque et du périmètre du cercle 1) En utilisant la notion d'aire Soit un cercle de rayon 1. Nous exprimons son aire de 2 manières : 0 Aire d'un cercle de manière générale est sachant qu'ici r = 1, l'aire du cercle est . 0 On découpe le cercle en une multitude de triangles isocèles avec un angle au centre. Nous constatons qu'il reste un triangle isocèle d'angle au centre plus petit : . Sachant que et = 2- n, on peut dire que lim= 0 (théorème du sandwich) .........

Limite de sinx / x 6 • Aire d'un triangle : En 4ème on a vu que l'aire d'un triangle quelconque est (b.c.sin)/2 L'aire d'un triangle est donc • Aire de n triangles : Comme 2- = n ⇔ n = L'aire de n triangles est donc . L'aire du cercle est égale à la somme des aires de tous les triangles lorsque l'angle tend vers 0 et donc aussi l'angle = lim + lim on regroupe = lim .lim + lim = .lim+ 0 1 = lim 2) En utilisant la notion de périmètre Reprenons la même figure et exprimons le périmètre du cercle de 2 manières : 0 Périmètre d'un cercle de manière générale est r sachant qu'ici r = 1, le périmètre du cercle est 2. 0 On utilise le même découpage en triangles Le côté du triangle opposé à vaut 2sin(/2) en effet si AE est bissectrice sin(/2)= = et donc 2 = lim(n. 2sin(/2)) + lim2sin(/2) = lim. sin(/2) + limsin(/2) = lim (2).lim +0 = 2.lim

Limite de sinx / x 7 = 2.(1/2). lim et donc 1 = lim Sixième approche : à l'aide de la formule de Mac-laurin Pour trouver la limite lorsque x tend vers 0 de, il est utile d'approximer sin x par un polynôme afin de pouvoir le diviser par x. On va utiliser la méthode de Mac-Laurin. Préliminaire : recherche de la formule de Mac-Laurin f(x) = a+ax + ax² + ax³ +...+ ax Vu qu'on cherche la valeur autour de 0, on va donc calculer l'image en 0. f(0) = a Pour l'instant on a le a mais on ne connaît pas le coefficient des autres termes en x de notre polynôme. Pour les trouver, on va donc rechercher les dérivées successives en zéro: f '(x)= a+ 2ax + 3 ax² + 4 ax³+ ... + n ax f '(0)= a f ''(x)= 2 a+ 2 . 3 ax + 3.4 ax² + ... + (n-1). n ax f ''(0)= 2 a f '''(x)=2.3 a+ 2.3.4 a x + ... + ( n-2)(n-1) n a x f '''(0)= 2.3 a On voit que l'on obtient: f(x)= f(0) + f '(0) +f ''(0)+f '''(0)+...+f(0) Revenons au calcul de limite On applique le développement de Mac-Laurin à la fonction sin x et on obtient : sin x = sin 0 + cos 0 - sin 0 - cos 0 + sin 0+ cos 0 +...

Limite de sinx / x 8 sin x = - + - + ...+(-1) =-(-1) et donc lim Donc la lim Utilité Il nous a semblé utile, après avoir recherché et critiqué tant de démonstrations, de recherché l'utilité de cette limite. En voici trois applications. 1) Remplaçons par 0 dans cette fonction, nous obtenons un cas d'indétermination () qu'il faut lever. Si nous multiplions par le binôme conjugué du numérateur, nous pouvons faire apparaître la limite de . Donc, . Par la propriété de la limite d'un produit qui est le produit des limites, nous obtenons finalement : . 2) La dérivée de la fonction sin α est cos α = Par la propriété de la limite d'un produit et d'une somme, on a Nous aurions pu aussi calculer cette dérivée en utilisant les formules de Simpson, au lieu de développer.

Limite de sinx / x 9 3) Intégration numérique de Nos méthodes habituelles ne fonctionnent pas pour calculer . Le programme de graphmatica non plus, il signale un problème en x=0 même si son graphique ne le montre pas. En utilisant la limite trouvée et la décomposition en 3 trapèzes, on trouve rapidement == avec une petite erreur qu'on pourrait minimiser avec un découpage plus fin. Remarque :Nous aurions aussi voulu comprendre son utilité dans les séries de Fourier mais cela nous semblait compliqué pour le peu de temps que nous pouvions y consacrer. Bibliographie: • www.ies-co.jp/math/java/calc/LimS • Actimath 5 H.Delfeld - F.Pasquasy - I.t'Kindt-Demulder - M.-M. Timmermans Ed Van In • Article de "The college mathematics journal" n°2 mars 1990 "The function sinx/x" de William B. Gearhart et Harris S.Shultz