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Limites et exponentiellepage 1 de 3

Limites et exponentielle

1.f(x) = (2x34x2)ex

Determiner les limites en+1et en1

en+1: limx!+12x34x2= +1(polyn^ome, terme de plus haut degre 2x3) lim x!+1ex= limX!1eX= 0 (composee, exponentielle) Donc la recherche de la limite defse presente sous la forme indeterminee : "1 0» Stategie : mettre en facteur les innis les plus forts, puis faire appara^tre les formules du cours : M^eme si ce qui precede n'est pas logiquement indispensable, cela a pour but (dans un examen) de montrer que vous avez vu les dicultes et que vous avez su les analyser, et que vous avez des strategies generales pour resoudre ces problemes. f(x) =x3 24x
e x=x3ex 24x

D'apres le cours (croissances comparees) lim

x!+1x3ex= 0

Donc lim

x!+1f(x) = 02 = 0Pour pouvoir dire"d'apres les puissances comparees», il faut se ramener exactementa une fomule du cours, et pas seulement a une formule vaguement voisine, ni a un argument purement qualitatif (cro^t plus vite que). en1: limx!12x34x2=1(polyn^ome, terme de plus haut degre 2x3) lim x!1ex= limX!+1eX= +1

Donc lim

x!1f(x) =1(il n'y a pas d'indetermination, c'est une regle du cours).

2.g(x) =f1x

(avec la fonctionfprecedente)

Determiner les limites en+1et en 0

en+1: en posantX=1x : limx!+1g(x) = limX!0f(X) =f(0) = 0en0+: lim x!0x>0g(x) = limX!+1f(X) = 0(d'apres l'exercice precedent) en0: lim x!0x<0g(x) = limX!1f(X) =1(d'apres l'exercice precedent) En tracant les courbes, ces limites sont conjecturables. Si on trouve quelque chose qui ne correspond pas a la courbe (c'est possible parce qu'on ne voit pas toute la courbe), il faut au minimum le signaler, et verier soigneusementgf

3.f(x) =e3x1x

. Determiner les limites en1;0;+1

Limites et exponentiellepage 2 de 33

Les limites sont conjecturables sur le dessin : 0;3 et +1. Donc si vous trouvez autre chose (c'est possible, parce que l'inni c'est loin et il peut se passer bien des choses en dehors du graphique), veriez soigneusement. en1: La recherche de la limite se presente sous la forme"011

». Ce n'est pas une

forme indeterminee. D'apres les theoremes sur les operations, la limite est 0. en0: La rec herchede la limite se pr esentesous la forme ind eterminee"00

SoitX= 3x. Alorsf(x) = 3eX1X

. On reconna^t une limite du cours quand

Xtend vers 0 (taux d'accroissement, limite 1).

Donc lim

x!0f(x) = 31 = 3en+1: La recherche de la limite se presente sous forme indeterminee"+1+1».

On met en facteur les termes dominants :

f(x) =e3xx (1e3x). Ce n'est pas exactement la formule des croissances comparees. Il faut la faire appara^tre en changeant de variable :X= 3x(qui tend vers +1). f(x) = 3eXX (1eX).

Or lim

X!+1e XX = +1(croissances comparees), donc lim x!+1f(x) = +1(forme"3(+1)(10)»)4.f(x) =x2e x1. Determiner la limite en0D'apres la courbe, on conjecture que la limite est 0. La recherche de la limite se presente sous la forme indeterminee"00 On essaye de faire appara^tre le taux d'accroissement du cours : f(x) =1 ex1x x.

Donc lim

x!0f(x) =11

0 = 0.

Indication pour les autres limites :

en +1,f(x) =x2e x(:::), croissances comparees. Reponse : 0. en1, pas d'indetermination. Reponse :1.

5.f(x) =x+5e

x+ 1. Determiner les asymptotes a la courbe def

Limites et exponentiellepage 3 de 3en+1:

Soitu(x) =5e

x+ 1. Alors limx!+1u(x) = 0. Doncf(x) est de la formef(x) =ax+b+u(x), avecude limite 0. Donc la droite d'equationy=ax+b=xest asymptote a la courbe en +1 en1:

Cette fois lim

x!1u(x) =50 + 1 = 5. Cela suggere que la droitey=x+ 5 est asymptote. Demontrons-le : lim x!1f(x)(x+ 5) = limx!1u(x)5 = 55 = 0.

Donc la droitey=x+ 5 est asymptote en1

6.f(x) =xe

xx. Determiner les limites defen+1et1La courbe suggere une limite 0 en +1, et une limite1 en1 en+1: Le denominateur se presente sous une forme indeterminee"1 1».

Mettons en facteur le terme dominantex:

e xx=ex 1xe x lim x!+1xe x= 0 (croissances comparees), donc le denominateur tend vers +1. La fonction se presente alors sous la forme indeterminee"11

Utilisons la factorisation precedente :f(x) =xe

x1 1xe x

Comme lim

x!+1xe x= 0 , on a limx!+1f(x) = 0Il y a une autre solution avec un peu moins de calculs :f(x) =1 exx 1 Avec les croissances comparees : forme"1+1», donc limite 0. Mais cette solution met moins en evidence la strategie generale : mettre en facteur les termes dominants. Et elle cache le resultat obtenu : en +1,f(x) se comporte commexe x.en1: Le denominateur tend vers +1(pas d'indetermination :"0(1)») La recherche de la limite defconduit a une forme indeterminee"11 On met en facteur les termes dominants (x) :f(x) =1 exx 1 (cette fois, c'est bien la forme appropriee).

Lorsquextend vers1,exx

tend vers 0 (il ne s'agit pas des croissances comparees, c'est simplement la forme"01

»qui n'est pas indeterminee).

Donc lim

x!1f(x) =101=1Attention :exxn'est pas un polyn^ome. Donc ne pas parler de la regles des termes de plus haut degre.

7.f(x) =ex1 +ex. Determiner les limites defen+1et1.

en+1: on aboutit a la forme indeterminee"+1+1».

On met en facteur les termes dominants :

f(x) =exe x(ex+ 1)=1e x+ 1

Il n'y a plus d'indetermination, lim

x!+1f(x) =10 + 1 = 1. Attention, ne pas parler de termes de plus haut degre. Ce ne sont pas des polyn^omes. en1: la limite est01 + 0 = 0(pas d'indetermination).

A retenir

Les seules formules de croissances comparees directement utilisables :

Pourn >0 :

lim x!+1e xx n= +1limx!+1x ne x= 0 lim

x!1xnex= 0 limx!+1xnex= 0Lorsqu'on rencontree3xpar exemple, on ne peut pas utiliser directement les formules.

Faire un changement de variableX= 3xet tout exprimer en fonction deX. Lorsqu'on renconteex+ 1 au lieu deex, mettreexen facteur. Remarque : pourn60, les limites ne se presentent pas sous forme indeterminee. Donc il ne s'agit pas d'un probleme de croissances comparees. Mais les resultats sont les m^emes.quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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