[PDF] Développements limités I.1 Développement limité

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BTS DOMOTIQUEDéveloppements limités2008-2010

Développements limités

Table des matières

I Fonction exponentielle2

I.1 Développement limité d"ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2

I.2 Développement limité d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2

I.3 Développement limité d"ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3

I.4 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4

II Dévéloppements limités4

II.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4

II.2 Dévéloppements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.3 Opérations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5

II.4 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 6

II.5 Dérivation et intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6

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I Fonction exponentielle

On chercha à approximer la fonctionx→exp(x) par des fonctions successivement du premier, deuxième et

troisième degré.

On posef(x) =e

x, fonction dérivable autant de fois que l"on veut surR.

I.1 Développement limité d"ordre1

Propriété 1

Au voisinage de 0,e

x= 1 +x+x?(x) où limx→0?(x) = 0. En effet, La définition du nombre dérivé de la fonctionfen 0 nous donne : f(x) =f(0) +f ?(0)x+x?(x) où limx→0x= 0

Or, on a :

?f(x) =exdoncf(0) = 1 f ?(x) =exdoncf?(0) = 1D"où le résultat trouvé dans la propriété.

I.2 Développement limité d"ordre2

Propriété 2

Au voisinage de 0,e

x= 1 +x+x 2 2+x

2?(x) où limx→0?(x) = 0.

On peut démontrer cette propriété grâce, entre autre, à des intégrations successives :

•La fonction exponentielle étant croissante surR, on a : ?t?[-1 ; 1 ], e •On intègre cette double inégalité de 0 àxpourx?[-1 ; 1 ] : ?x 01 ?x 0 ?x 0 e dt ?t e ?x0 x •On intègre à nouveau cette double inégalité de 0 àtpourt?[-1 ; 1 ] : ?t 0x ?t 0 ?t 0 ex dx ?x2 2e ?t0 ?ex2 2 ?t0 t2 2 2 http://nathalie.daval.free.fr-2- BTS DOMOTIQUEDéveloppements limités2008-2010 •On intègre une dernière fois cette double inégalité de 0 àxpourx?[-1 ; 1 ] : ?x 0t2 ?x 0 ?x 0et2 2dt ?t3 6e ?x0 et-t 2 2-t ?x0 ?et3 6 ?x0 x3 x-x 2 3 6

•Pourx?= 0, on pose?(x) =e

x- ?x2

2+x+ 1

x2. D"après l"inégalité précédente,x2étant positif, on obtient :x

Or, lim

x→0 x

6e= limx→0

ex

6e= 0 donc, d"après le théorème des gendarmes : limx→0?(x) = 0.

•D"où la conclusion :

?x?[-1 ; 0 [?] 0 ; 1 ], e x= 1 +x+x 2 2+x

2?(x) où limx→0?(x) = 0.

I.3 Développement limité d"ordre3

Propriété 3

Au voisinage de 0,e

x= 1 +x+x 2 2+x 3 6+x

3?(x) où limx→0?(x) = 0.

•On intègre de nouveau la dernière inégalité trouvée précédemment de 0 àtpourt?[-1 ; 1 ] :

?t 0x3 ?t 0? ex-x 2 2-x-1 ?t 0ex3 6dx ?x4 24e
?t0 ex-x 3 6-x 2 2-x ?t0 ?ex4 24
?t0 t4 t-t 3 6-t 2 4 24

•Pourt?= 0, on pose?(t) =e

t- ?t3 6+t 2

2+t+ 1

t3. D"après l"inégalité précédente, on obtient : t et

Or, lim

t→0 t

24e= limt→0

et

24= 0 donc, d"après le théorème des gendarmes : limt→0?(t) = 0.

•D"où la conclusion :

?t?[-1 ; 0 [?] 0 ; 1 ],e t= 1 +t+t 2 2+t 3 6+t

2?(t) où limt→0?(t) = 0.

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I.4 Interprétation graphique

Graphiquement, on obtient à différents ordres des approximations de la fonction exponentielle au voisinage

de 0. Plus l"ordre est élevée, meilleure est l"approximation!

1 2-1-2-3

123
y= exp(x) y= 1 +x y= 1 +x+x 2 2 y= 1 +x+x 2 2+x 3 6

II Dévéloppements limités

II.1 Généralités

Définition 1

Soitfune fonction numérique définie sur un intervalleIdeRcontenant0. On dit quefadmet un développement limité à l"ordrenau voisinage de0 s"il existe un polynômePnde degré inférieur ou égal àntel que pour toutx?I: f(x) =P n(x) +xn?(x)oùlimx→0?(x) = 0. ou sous forme développée f(x) =a

0+a1x1+a2x2+···+anxn+xn?(x).

On dit queP

n(x)est la partie régulièredu développement limité etxn?(x)est le le reste. http://nathalie.daval.free.fr-4- BTS DOMOTIQUEDéveloppements limités2008-2010

II.2 Dévéloppements limités usuels

Au voisinage de zéro, on a :

•e x= 1 +x+x 2 2!+x 3 3!+x 4 4!+x 5

5!+···+x

n n!+x n?(x). 1

1 +x= 1-x+x

2-x3+x4-x5+···+ (-1)nxn+xn?(x).

•ln(1 +x) =x-x

2 2+x 3 3-x 4

4+···+ (-1)

n+1xn n+x n?(x).

•cosx= 1-x

2 2+x 4 4!-x 6 6!+x 8

8!+···+ (-1)

nx2n (2n)!+x n?(x).

•sinx=x-x

3 3!+x 5 5!-x 7

7!+···+ (-1)

nx2n+1

2n+ 1!+x

n?(x).

•(1 +x)

α= 1 +αx+α(α-1)2x

2+α(α-1)(α-2)3!x

3+···+α(α-1)(α-2)···(α-n+ 1)n!x

n+xn?(x).

Remarque 1

La partie régulière du développement limité en 0 d"une fonction paire (respectivement impaire) est un

polynôme constitué de monômes de degré pair (respectivement impair).

Dans le reste du chapitre, on considère les fonctiionsfetgadmettant à l"ordrenau point 0 des dévelop-

pements limités de parties régulièresP(x) etQ(x).

II.3 Opérations algébriques

Propriété 4

©f+gadmet un développement limité à l"ordrendont la partie régulière estP(x) +Q(x).

©f×gadmet un développement limité à l"ordrendont la partie régulièreP(x)×Q(x) en

supprimant tous les termes de degré strictement supérieursàn.

Exemple

Développement limité à l"ordre3deex

1 +x:

ÔA l"ordre3, on a?????e

x= 1 +x+x2

2+x36+x3?1(x) avec limx→0?1(x) = 0

1

1 +x= 1-x+x2-x3+x3?2(x) avec limx→0?2(x) = 0

Ôdoncex

1 +x=ex×11 +x=?

1 +x+x22+x36+x3?1(x)??1-x+x2-x3+x3?2(x)?

= 1-x+x2-x3+x-x2+x3+x2

2-x32+x36+x3?(x)

= 1 + x2

2-x33+x3?(x)aveclimx?→0?(x) = 0.

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II.4 Composition

Propriété 5

Sif(x) =P(x) +x

n?(x) alors :

©f(ax) =P(ax) +x

n?1(x) pour touta?R?.

©f(x

p) =P(xp) +xn×p?2(x) pour toutp?N?.

Exemple

Développement limité à l"ordre7desin(2x):

Ôsinx=x-x3

3!+x55!-x77!+x7?1(x)donc :

sin(2x) = 2x-(2x)3quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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