[PDF] Développements limités Corrections d'Arnaud Bodin. 1





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Fiche technique sur les limites

Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +? et en 0. En + ? lim x?+? ln(x) x. = 



Limites et asymptotes

Limites et asymptotes. I. Limites en l'infini. 1) Limite infinie à l'infini. Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type 



Dérivabilité - Théorèmes de Rolle théorème des accroissements

26-Feb-2015 fois alors sa dérivée n-ième s'annule au moins une fois. ... limite finie en l'infini nous permettra de régler le problème de la borne de ...



Les Développements Limités

dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0 La fonction ln(x) n'admet pas de DL en 0



Intégrales convergentes

09-May-2012 fonctions ayant une limite infinie en un point de l'intervalle d'intégration. ... ln(t). ]1 x. = ?ln(x) et lim x?0. ?ln(x)=+? .



Limites et équivalents

Cette fonction est définie sur ]8+?[ qui contient au moins l'intervalle [9 ln(x) si x ?]1



Branches infinies

On dit que f possède une branche infinie en a si lim ( ). x a. f x l. ?. = et si l'un au moins des deux f(x) = ln(x). ? si lim.



Limites et continuité

chapitre n'en est pas moins le plus important de votre cours d'analyse. 1.3 Opérations sur les limites . ... adapter à une limite infinie.





Développements limités

Corrections d'Arnaud Bodin. 1 Calculs. Exercice 1. Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cosx·expx à l'ordre 3. 2. (ln(1+x)). 2 à l'ordre 4.



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Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +? et en 0 En + ? lim x?+? ln(x) x = 



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lim x??? ex = 0 lim x?+? ex = +? lim x?0 ln(x) = ?? lim x?+? lim x?+? ln(x)/xn = 0 Dérivées Fonctions usuelles Fonctions usuelles



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Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+????? et (lnx)' = 1 x Démonstration : La fonction ln est continue sur 0;+?????  



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ln lim 0 = ? x xn x On peut se dire (mais pas l'écrire) en cas de forme indéterminée ce sont les puissances de x qui l'emportent sur le ln Exemple 1



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Démontrons que la fonction ln est continue en 1 c'est-à-dire que lim x ? 1 ln x = ln 1 ou aussi lim x ? 1 ln x = 0 Pour tout réel ? > 0 on a :



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1 ?x = +? Remarque : Une fonction peut avoir une limite différente à gauche et à droite de 0 on notera alors : lim



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Théorème sur les limites du logarithme népérien en 0 et +? ( ) x lim ln x ln La preuve de ce théorème ? La limite de ln en +?



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Cette fonction est définie sur ]8+?[ qui contient au moins l'intervalle [9 ln(x) si x ?]1+?[ 6 1 4 Limite au voisinage de l'infini Définition 9



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c) lim x!0 tan x x d) lim x!0 x2 sin(1/x) sin x e) lim x!1/2 cos(?x) 1 2x f) lim x!1/2 (2x2+x1) tan(?x) g) lim x!0 cosx 1 x2 h) lim x!0 ln(cos(3x))

  • Quelle est la limite de ln ?

    Donc si x > e A , ln ? ce qui est la définition d'une limite infinie en l'infini.

  • Comment lever l'indétermination d'une limite ln ?

    Pour lever une indétermination, il existe de nombreuses techniques, par exemple via des procédés algébriques (factorisation, multiplication par la quantité conjuguée, etc.) ou des procédés analytiques (utilisation de la dérivée, de développements limités, de la règle de L'Hôpital, etc.).

  • Comment utiliser la fonction ln ?

    Fonction logarithme népérien
    Pour tout réel x>0, on appelle logarithme népérien de x l'antécédent de x par la fonction exponentielle. La fonction ainsi définie est la réciproque de la fonction exponentielle. Soit un réel x>0. On note \\ln(x) le logarithme népérien de x.
  • Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+????? et (lnx)' = 1 x . lnx ? lna x ? a = 1 a . 2) Variations Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0;+????? . Démonstration : Pour tout réel x > 0, (lnx)' = 1 x > 0.
Exo7

Développements limités

Corrections d"Arnaud Bodin.

1 Calculs

Exercice 1Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cos xexpxà l"ordre 3

2.(ln(1+x))2à l"ordre 4

3. shxxx

3à l"ordre 6

4. e xp sin(x)à l"ordre 4 5. sin

6(x)à l"ordre 9

6. ln cos(x)à l"ordre 6 7.

1cosxà l"ordre 4

8. tan xà l"ordre 5 (ou 7 pour les plus courageux)

9.(1+x)11+xà l"ordre 3

10. arcsin ln(1+x2)à l"ordre 6 1. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de f(x) =px. 2. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de g(x) =epx 3.

Dév eloppementlimité à l"ordre 3 en

p3 deh(x) =ln(sinx).

Donner un développement limité à l"ordre 2 def(x) =p1+x21+x+p1+x2en 0. En déduire un développement à

l"ordre 2 en+¥. Calculer un développement à l"ordre 1 en¥.

2 Applications

Exercice 4Calculer les limites suivantes

lim x!0e x2cosxx

2limx!0ln(1+x)sinxx

limx!0cosxp1x2x 4

Étudier la position du graphe de l"applicationx7!ln(1+x+x2)par rapport à sa tangente en 0 et 1.

Déterminer:

1. (a) lim x!+¥px

2+3x+2+x

(b) lim x!¥px

2+3x+2+x

2. lim x!0+(arctanx)1x 2 3. lim x!0(1+3x)13

1sinx1cosx

Exercice 7Soitfl"application deRdansRdéfinie parf(x) =x31+x6:Calculerf(n)(0)pour toutn2N:

Soitaun nombre réel etf:]a;+¥[!Rune application de classeC2. On supposefetf00bornées ; on pose

M 0=sup x>ajf(x)jetM2=sup x>ajf00(x)j. 1. En appliquant une formule de T aylorreliant f(x)etf(x+h), montrer que, pour toutx>aet touth>0, on a :jf0(x)j6h2 M2+2h M0. 2.

En déduire que f0est bornée sur]a;+¥[.

3.

Établir le résultat sui vant: soit g:]0;+¥[!Rune application de classeC2à dérivée seconde bornée et

telle que limx!+¥g(x) =0. Alors limx!+¥g0(x) =0.

4 DL implicite

Exercice 9tan(x) =x1.Montrer que l"équation tan x=xpossède une unique solutionxndansnpp2 ;np+p2 (n2N). 2.

Quelle relation lie xnet arctan(xn)?

3. Donner un DL de xnen fonction denà l"ordre 0 pourn!¥. 4.

En reportant dans la relation trouvée en

2 , obtenir un DL dexnà l"ordre 2.

Exercice 10Recherche d"équivalentsDonner des équivalents simples pour les fonctions suivantes :

1.

2 exp1+4xp1+6x2, en 0

2.(cosx)sinx(cosx)tanx, en 0

3. arctan x+arctan3x 2p3 , enp3 4. px

2+123px

3+x+4px

4+x2, en+¥

5. ar gch

1cosx, en 0

cosx1+ax21+bx2 soit uno(xn)en 0 avecnmaximal.

Calculer

`=limx!+¥ ln(x+1)lnx x

Donner un équivalent de

ln(x+1)lnx x lorsquex!+¥.

Indication pourl"exer cice1 N1.cos xexpx=1+x13

x3+o(x3)

2.(ln(1+x))2=x2x3+1112

x4+o(x4) 3. shxxx 3=13! +15! x2+17! x4+19! x6+o(x6) 4. e xp sin(x)=1+x+12 x218 x4+o(x4) 5. sin

6(x) =x6x8+o(x9)

6. ln (cosx) =12 x2112 x4145 x6+o(x6) 7.

1cosx=1+12

x2+524 x4+o(x4) 8. tan x=x+x33 +2x515 +17x7315 +o(x7)

9.(1+x)11+x=exp11+xln(1+x)=1+xx2+x32

+o(x3) 10. arcsin ln(1+x2)=x2x42 +x62

+o(x6)Indication pourl"exer cice2 NPour la première question vous pouvez appliquer la formule de Taylor ou bien poserh=x1 et considérer un

dl au voisinage deh=0.Indication pourl"exer cice3 NEnx=0 c"est le quotient de deux dl. Enx= +¥, on poseh=1x

et on calcule un dl enh=0.Indication pourl"exer cice4 NIl s"agit bien sûr de calculer d"abord des dl afin d"obtenir la limite. On trouve :

1. lim x!0ex2cosxx 2=32 2. lim x!0ln(1+x)sinxx =0 3. lim x!0cosxp1x2x 4=16

Indication pour

l"exer cice

5 NFaire un dl enx=0 à l"ordre 2 cela donnef(0),f0(0)et la position par rapport à la tangente donc tout ce qu"il

faut pour répondre aux questions. Idem enx=1.Indication pourl"exer cice6 NIl s"agit de faire un dl afin de trouver la limite.

1. (a) lim x!+¥px

2+3x+2+x= +¥

(b) lim x!¥px

2+3x+2+x=32

2. lim x!0+(arctanx)1x 2=0 4 3.lim x!0(1+3x)13

1sinx1cosx=2Indication pourl"exer cice7 NCalculer d"abord le dl puis utiliser une formule de Taylor.

Indication pour

l"exer cice

8 N1.La formule à appliquer est celle de T aylor-Lagrangeà l"ordre 2.

2.

Étudier la fonction f(h) =h2

M2+2h

M0et trouver infh>0f(h).

3.

Il f autchoisir un a>0 tel queg(x)soit assez petit sur]a;+¥[; puis appliquer les questions précédentes

àgsur cet intervalle.Indication pourl"exer cice11 NIdentifier les dl de cosxet1+ax21+bx2enx=0.Indication pourl"exer cice12 NFaites un développement faisant intervenir desxet des lnx. Trouvez`=1.5

Correction del"exer cice1 N1.cos xexpx(à l"ordre 3).

Le dl de cosxà l"ordre 3 est

cosx=112! x2+e1(x)x3:

Le dl de expxà l"ordre 3 est

expx=1+x+12! x2+13! x3+e2(x)x3: Par convention toutes nos fonctionsei(x)vérifieronsei(x)!0 lorsquex!0.

On multiplie ces deux expressions

cosxexpx= 112
x2+e1(x)x3

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 =1

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 on développe la ligne du dessus 12 x2

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 +e1(x)x3

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 On va développer chacun de ces produits, par exemple pour le deuxième produit : 12! x2

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 =12 x212 x314 x4112 x512 x2e2(x)x3: Mais on cherche un dl à l"ordre 3 donc tout terme enx4,x5ou plus se met danse3(x)x3, y compris x

2e2(x)x3qui est un bien de la formee(x)x3. Donc

12 x2

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 =12 x212 x3+e3(x)x3:

Pour le troisième produit on a

e

1(x)x3

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 =e1(x)x3+xe1(x)x3+=e4(x)x3

On en arrive à :

cosxexpx= 112
x2+e1(x)x3

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 =1+x+12! x2+13! x3+e1(x)x3 12 x212 x3+e3(x)x3 +e4(x)x3il ne reste plus qu"à regrouper les termes : =1+x+(12 12 )x2+(16 12 )x3+e5(x)x3 =1+x13 x3+e5(x)x3

Ainsi le dl de cosxexpxen 0 à l"ordre 3 est :

cosxexpx=1+x13 x3+e5(x)x3: 6

2.(ln(1+x))2(à l"ordre 4).

Il s"agit juste de multiplier le dl de ln(1+x)par lui-même. En fait si l"on réfléchit un peu on s"aperçoit

qu"un dl à l"ordre 3 sera suffisant (car le terme constant est nul) : ln(1+x) =x12 x2+13 x3+e(x)x3 e

5(x)!0 lorsquex!0.

(ln(1+x))2=ln(1+x)ln(1+x) x12 x2+13 x3+e(x)x3 x12 x2+13 x3+e(x)x3 =x x12 x2+13 x3+e(x)x3 12 x2 x12 x2+13 x3+e(x)x3 13 x3 x12 x2+13 x3+e(x)x3quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43
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