[PDF] Intégrales convergentes 09-May-2012 fonctions ayant





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Fiche technique sur les limites

Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +? et en 0. En + ? lim x?+? ln(x) x. = 



Limites et asymptotes

Limites et asymptotes. I. Limites en l'infini. 1) Limite infinie à l'infini. Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type 



Dérivabilité - Théorèmes de Rolle théorème des accroissements

26-Feb-2015 fois alors sa dérivée n-ième s'annule au moins une fois. ... limite finie en l'infini nous permettra de régler le problème de la borne de ...



Les Développements Limités

dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0 La fonction ln(x) n'admet pas de DL en 0



Intégrales convergentes

09-May-2012 fonctions ayant une limite infinie en un point de l'intervalle d'intégration. ... ln(t). ]1 x. = ?ln(x) et lim x?0. ?ln(x)=+? .



Limites et équivalents

Cette fonction est définie sur ]8+?[ qui contient au moins l'intervalle [9 ln(x) si x ?]1



Branches infinies

On dit que f possède une branche infinie en a si lim ( ). x a. f x l. ?. = et si l'un au moins des deux f(x) = ln(x). ? si lim.



Limites et continuité

chapitre n'en est pas moins le plus important de votre cours d'analyse. 1.3 Opérations sur les limites . ... adapter à une limite infinie.





Développements limités

Corrections d'Arnaud Bodin. 1 Calculs. Exercice 1. Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cosx·expx à l'ordre 3. 2. (ln(1+x)). 2 à l'ordre 4.



[PDF] Fiche technique sur les limites - Lycée dAdultes

Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +? et en 0 En + ? lim x?+? ln(x) x = 



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lim x??? ex = 0 lim x?+? ex = +? lim x?0 ln(x) = ?? lim x?+? lim x?+? ln(x)/xn = 0 Dérivées Fonctions usuelles Fonctions usuelles



[PDF] FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - maths et tiques

Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+????? et (lnx)' = 1 x Démonstration : La fonction ln est continue sur 0;+?????  



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ln lim 0 = ? x xn x On peut se dire (mais pas l'écrire) en cas de forme indéterminée ce sont les puissances de x qui l'emportent sur le ln Exemple 1



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Démontrons que la fonction ln est continue en 1 c'est-à-dire que lim x ? 1 ln x = ln 1 ou aussi lim x ? 1 ln x = 0 Pour tout réel ? > 0 on a :



[PDF] Limites et asymptotes

1 ?x = +? Remarque : Une fonction peut avoir une limite différente à gauche et à droite de 0 on notera alors : lim



[PDF] Vestiges dune terminale S – Des preuves de limites en logarithme

Théorème sur les limites du logarithme népérien en 0 et +? ( ) x lim ln x ln La preuve de ce théorème ? La limite de ln en +?



[PDF] Limites et équivalents

Cette fonction est définie sur ]8+?[ qui contient au moins l'intervalle [9 ln(x) si x ?]1+?[ 6 1 4 Limite au voisinage de l'infini Définition 9



[PDF] Feuille 9 Limites et continuité des fonctions

c) lim x!0 tan x x d) lim x!0 x2 sin(1/x) sin x e) lim x!1/2 cos(?x) 1 2x f) lim x!1/2 (2x2+x1) tan(?x) g) lim x!0 cosx 1 x2 h) lim x!0 ln(cos(3x))

  • Quelle est la limite de ln ?

    Donc si x > e A , ln ? ce qui est la définition d'une limite infinie en l'infini.

  • Comment lever l'indétermination d'une limite ln ?

    Pour lever une indétermination, il existe de nombreuses techniques, par exemple via des procédés algébriques (factorisation, multiplication par la quantité conjuguée, etc.) ou des procédés analytiques (utilisation de la dérivée, de développements limités, de la règle de L'Hôpital, etc.).

  • Comment utiliser la fonction ln ?

    Fonction logarithme népérien
    Pour tout réel x>0, on appelle logarithme népérien de x l'antécédent de x par la fonction exponentielle. La fonction ainsi définie est la réciproque de la fonction exponentielle. Soit un réel x>0. On note \\ln(x) le logarithme népérien de x.
  • Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+????? et (lnx)' = 1 x . lnx ? lna x ? a = 1 a . 2) Variations Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0;+????? . Démonstration : Pour tout réel x > 0, (lnx)' = 1 x > 0.
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Intégrales convergentes

La plupart des intégrales que vous rencontrerez ne sont pas des aires de domaines bornés du plan. Nous allons apprendre ici à calculer les intégrales de domaines non bornés, soit parce que l"intervalle d"intégration est infini, soit parce que la fonction à intégrer tend vers l"infini aux bornes de l"intervalle. Pour assimiler ce chapitre, vous avez juste besoin d"une petite révision des techniques de calcul des primitives, et d"une bonne compréhension de la notion de limite.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Fonctions positives, intervalle non borné . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Fonctions positives, intervalle borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Fonctions oscillantes, intervalle non borné . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Fonctions oscillantes, intervalle borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Plan d"étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Entraînement 19

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Compléments 37

3.1 La pédagogie des sourds-muets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Un tour de passe-passe d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 La courbe de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9 mai 2012

Maths en LigneIntégrales convergentesUJF Grenoble1 Cours

1.1 Définitions et propriétés

Notre but dans ce chapitre est de calculer des intégrales sur des intervalles non bornés (allant jusqu"à+∞ou-∞), ou bien des intégrales sur un domaine borné, de

fonctions ayant une limite infinie en un point de l"intervalle d"intégration. Si on se réfère

à l"interprétation intuitive d"une intégrale comme la surface d"un domaine dans le plan, dans les deux cas nous cherchons à calculer des surfaces de domainesnon bornés. Considérons par exemple la fonctionfqui àt?R?associef(t) =|t|-3/2sin(t):

son graphe est représenté sur la figure 1. Comment donner un sens à l"intégrale def-20-16-12-8-4048121620-1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 y=|t|^(-3/2) sin(t) tyFigure1 - Graphe de la fonctiont?→ |t|-3/2sin(t). surR? Nous souhaitons une définition qui respecte les propriétés de base que sont la relation de Chasles, la linéarité et la monotonie. On commence d"abord par identifier lespoints incertains, soit±∞d"une part, et d"autre part le ou les points au voisinage desquels la fonction n"est pas bornée (t= 0 dans notre exemple). On découpe ensuite l"intervalle d"intégration en autant d"inter- valles qui faut pour que chacun d"eux ne contienne qu"un seul point incertain, placé à l"une des deux bornes. La relation de Chasles impose que l"intégrale sur l"intervalle complet soit la somme des intégrales sur les intervalles du découpage. Dans l"exemple de la fonctionf(t) =|t|-3/2sin(t)ci-dessus, il faut découper en 4 sous-intervalles : 2 pour isoler-∞et+∞, et 2 autres pour le point incertain0. On pourra écrire par exemple : -∞f(t)dt=? -1 -∞f(t)dt+? 0 -1f(t)dt+? 1

0f(t)dt+?

1f(t)dt .

Le seul but est d"isoler les difficultés : les choix de-1et1comme points de découpage sont arbitraires (par exemple-3et10auraient convenu tout aussi bien). Par ce découpage, on se ramène à des intégrales de 4 types. 1 Maths en LigneIntégrales convergentesUJF Grenoble1. intégrale sur]- ∞,a],

2. intégrale sur[a,+∞[,

3. intégrale sur]a,b], fonction non bornée ena,

4. intégrale sur[a,b[, fonction non bornée enb,

Le changement de variablet?→ -tpermet de réduire ces 4 cas à 2 seulement. En effet : a -∞f(t)dt=? -af(-u)du , b af(t)dt=? -a -bf(-u)du . Nous devons donc définir l"intégrale dans deux cas distincts.

Définition 1.

1. Soitfune fonction continue sur[a,+∞[. On dit que l"intégrale?+∞

af(t)dt convergesi la limite quandxtend vers+∞de la primitive?x af(t)dtexiste.

Si c"est le cas, on pose :

af(t)dt= limx→+∞? x af(t)dt .(1) Dans le cas contraire, on dit que l"intégralediverge.

2. Soitfune fonction continue sur]a,b]. On dit que l"intégrale?b

af(t)dtconverge si la limite à droite quandxtend versade?b xf(t)dtexiste. Si c"est le cas, on pose :?b af(t)dt= limx→a+? b xf(t)dt .(2) Dans le cas contraire, on dit que l"intégralediverge.

Observons que la deuxième définition est cohérente avec les propriétés de l"intégrale

d"une fonction continue : si la fonctionfest continue sur[a,b]tout entier, alors?b xf(t)dt est une fonction dexcontinue ena, et (2) est vérifié.

Dans?+∞

af(t)dt, la borne de gauche de l"intervalle d"intégration n"a pas d"influence sur le comportement de l"intégrale. Supposonsfcontinue sur[a,+∞[et choisissons un réela?> a. Par la relation de Chasles, x af(t)dt=? a? a f(t)dt+? x a ?f(t)dt Comme ?a? af(t)dtne dépend pas dex, la limite de?x af(t)dtexiste si et seulement si celle de?x a ?f(t)dtexiste aussi. La convergence d"une intégrale ne dépend donc pas du comportement de la fonction sur des intervalles bornés, mais seulement de son comportement au voisinage de+∞. 2

Maths en LigneIntégrales convergentesUJF GrenobleSifn"est pas bornée au voisinage dea, la convergence de?b

af(t)dtne dépend pas deb, pour la même raison : elle ne dépend que du comportement defau voisinage de a.

Le résultat suivant est une conséquence immédiate de la linéarité des intégrales et

des limites.

Proposition 1.

1. Soientfetgdeux fonctions continues sur[a,+∞[, etα,βdeux réels. Si les inté-

grales?+∞ af(t)dtet?+∞ ag(t)dtconvergent, alors?+∞ aαf(t)+βg(t)dtconverge et aαf(t) +βg(t)dt=α? af(t)dt+β? ag(t)dt .

2. Soientfetgdeux fonctions continues sur]a,b], etα,βdeux réels. Si les intégrales?b

af(t)dtet?b ag(t)dtconvergent, alors?b aαf(t) +βg(t)dtconverge et b aαf(t) +βg(t)dt=α? b af(t)dt+β? b ag(t)dt . Quand on peut calculer une primitive de la fonction à intégrer, l"étude de la conver- gence se ramène à un calcul de limite. Voici plusieurs exemples.

L"intégrale

011 +t2dtconverge.

En effet,

x

011 +t2dt=?

arctan(t)? x

0= arctan(x)etlimx→+∞arctan(x) =π2

On pourra écrire :

011 +t2dt=?

arctan(t)?

0=π2

à condition de se souvenir que

arctan(t)?

0désigne une limite en+∞.

Par contre, l"intégrale

011 +tdtdiverge.

En effet,

x

011 +tdt=?

ln(1 +t)? x

0= ln(1 +x)etlimx→+∞ln(1 +x) = +∞.

L"intégrale

?1

0ln(t)dtconverge.

3 Maths en LigneIntégrales convergentesUJF GrenobleEn effet, 1 xln(t)dt=? tln(t)-t? 1 x=x-xln(x)-1etlimx→0+(x-xln(x)-1) =-1

On pourra écrire :

?1

0ln(t)dt=?

tln(t)-t? 1 0=-1.

Par contre, l"intégrale

?1 01t dtdiverge.

En effet,

?1 x1t dt=? ln(t)? 1

x=-ln(x)etlimx→0-ln(x) = +∞.(a)(b)(c)(d)Figure2 - Différents types d"intégrales : (a) intervalle non borné, fonction de signe

constant; (b) intervalle borné, fonction de signe constant; (c) intervalle non borné, fonction de signe non constant; (d) intervalle borné, fonction de signe non constant. Quand on ne sait pas calculer une primitive, on a recours à deux types de méthodes, selon que la fonction est ou non de signe constant au voisinage du point incertain. Il y a donc 4 cas distincts, selon le type du point incertain, et le signe, constant ou non, de

la fonction à intégrer. Ces 4 types sont schématisés dans la figure 2 et leur étude fait

l"objet des sections suivantes. 4 Maths en LigneIntégrales convergentesUJF Grenoble1.2 Fonctions positives, intervalle non borné

Nous considérons ici

af(t)dt, oùfest de signe constant au voisinage de+∞.

Quitte à réduire l"intervalle d"intégration, et à changer éventuellement le signe defs"il

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