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Université de TOURS - L1 Gestion

Cours Mathématiques et Statistiques Appliquées à la Gestion

Corrigé du TD n

5

Dérivées élémentaires et révisions

Automne 2020

Les savoirs à revoir pour ce TD : les dérivées d"une fonction d"une ou plusieurs variablees, les dérivées premières, les

dérivées secondes.On notef0la dérivée d"une fonctionf. Cette fonction dérivée sert habituellement à quantifier les variations de la fonctionf. Il faut connaître les dérivées des fonctions usuelles 1. une fonction constan tea une dériv éen ulle 2. une fonction linéaire, f=xa une dérivée constantef0= 3. une fonction puissance f=xaa pour dérivéef0=axa1 4. une fonction log f= ln(x)a pour dérivéef0= 1=x 5. la fonction exp f=exa pour dérivéef0=exPar ailleurs, les règles de déri- vation usuelles sur les opéra- tions defonction doivent être connues

1.(f+g)0=f0+g0

2.(fg)0=f0g+fg0

3.(f=g)0= (f0gfg0)=g2

4.(f(g))0=f0(g)g0Les dérivations pour les fonctions

de deux variables s"opèrent quasi- identiquement : Il faut repérer dans la fonction de deux variables la variable

à partir de laquelle on veut dériver la

fonction, puis, on dérive cette fonction comme si c"était une fonction de une va- riable. On noterafxla dérivée defpar rapport à la variablexetfyla dérivée defpar rapport à la variabley.1Dériv éesd"une fonction de une v ariable

1) Calculer les dérivées des fonctions de une variable suivantes

f= ln(1 +x)f=px+ 1f= 111 +xf= 1x2

Les dérivées sont dans l"ordre :

f

0= 1=(1 +x)f0= 1=(2px+ 1)f0= +1(1 +x)2f=2x

Pour la troisième en effet, l"écriture puissance conduit directement au résultat f= 1(1 +x)1d"oùf0= 0(1)(1 +x)11= (1 +x)2 Pour la quatrième, c"est immédiat. Pour la seconde, en passant en puissance c"est immédiat

2) Calculer les dérivées de fonctions de fonctions suivantes, après avoir écrit deux lignes pour expliquer comment on dérivefg.

f= (1 + 2xx2)3g= (px+ 1)2h=r111 +xs=e1x2

Les dérivées sont dans l"ordre :

f

0= 3(1+2xx2)2(22x)g0= (px+ 1)2= 1 = 2(px+ 1)12

px+ 1 h= 1=(2r111 +x)1(1 +x)2s0=e1x22x 2

Dériv éesd"une fonction de deux v ariables

1) Calculer les dérivées des fonctions de deux variables suivantes par rapport àxet par rapport ày

f=x2+y1g=xy1h=x+yx1s= (x1)(y+ 1)3 Concernant les dérivées des fonctions par rapport àxon trouve f x= 2x+ 0 = 2x gx=y0 =y hx= 1 +y0 = 1 +y sx= (y+ 1)0 = (y+ 1) Concernant les dérivées des fonctions par rapport àyon trouve f y= 0 + 1 = 1gy=x0 =x hy= 0 +x0 =x sy= (x1)0 = (x1)

2) Calculer les dérivées secondes des fonctions de deux variables suivantes par rapport àxet par rapport àyainsi que la dérivée

croisée. Pour cette dernière on fera tour à tour les deux méthodes, dériver d"abord par rapport à x puis par rapport à y, puis

d"abord par rapport à y puis par rapport à x. Vous observerez que vous arrivez au même résultat.

Concernant les dérivées des fonctions par rapport àx, on part de la dérivée qu"on avait calculée par rapport àx,

et on redérive par rapport àx, on trouve f xx= 2gxx= 0hxx= 0sxx= 0

Concernant les dérivées des fonctions par rapport ày, on part de la dérivée qu"on avait calculée par rapport ày,

et on redérive par rapport ày, on trouve f yy= 0gyy= 0hyy= 0syy= 0

Avoir toujours trouvé zéro est un hasard

Concernant les dérivées croisées des fonctions, on part de la dérivée qu"on avait calculée par rapport àx, et on

redérive par rapport ày, on trouve f xy= 0gxy= 1hxy= 1sxy= 1

Concernant les dérivées croisées des fonctions, on part de la dérivée qu"on avait calculée par rapport ày, et on

redérive par rapport àx, on trouve f yx= 0gyx= 1hyx= 1syx= 1

On observe sur ces exemplees une loi très générale selon laquelle pour calculer une dérivée croisée, l"ordre dans

lequel on dérive par rapport à chacune des variables importe peu. 3

Résoudre astucieusemen tune équation

On cherche à résoudre l"équation(x1)(x2)(x+ 3)(x+ 4) + 6 = 0

3) Montrer quey= 6est solution de l"équationy211y+ 30 = 0, puis réécrire cette équation sous la forme d"un produit, et en

trouver toutes ses solutions.

Il s"agit simplement de calculer :

6

2116 + 30 = 3666 + 30 = 0

On peut donc factorisery6dans l"équation initiale ce qui donne, y211y+ 30 = 0()(y6)(y5) = 0 L"équationy211y+ 30 = 0a deux solutions,y= 6ety= 5.

4) Après avoir écrit l"équation sous la forme(x1)(x+ 3)(x2)(x+ 4) =6;on trouvera l"ensemble de ses solutions

L"équation s"écrit encore,(x1)(x+3)(x2)(x+4)+6 = 0, soit encore, en développant deux par deux les produits,

(x2+ 2x3)(x2+ 2x8) + 6 = 0

Définissons une variable auxiliairey=x2+2x; L"équation(x2+2x3)(x2+2x8)+6 = 0s"écrit alors(y3)(y8)+6 = 0,

soit,y211y+24+6 = 0, ouy211y+30 = 0dont on sait, par la question précédente qu"elle a deux solutions,y= 5

ety= 6. La solutiony= 6s"écritx2+ 2x= 6, soitx=2p4 + 24 2 =22p7 2 =1p7 La solutiony= 5s"écritx2+ 2x= 5, soitx=2p4 + 20 2 =22p6 2 =1p6En conclusion, l"équation (x1)(x2)(x+ 3)(x+ 4) + 6 = 0a quatre solutions x=1p7x=1p6

5) Pouvait-on prédire que l"équation(x1)(x2)(x+ 3)(x+ 4) + 6 = 0aurait 4 solutions?

On retiendra qu"un polynome de degrénpeut avoir jusqu"ànsolutions. Ici le polynome est de degré 4, il aura

donc au plus 4 solutions. On ne peut pas prédire qu"il y a des racines double avant de les avoir calculé

6) La fonctionf= (x1)(x2)(x+ 3)(x+ 4) + 6a-t"elle des limites à l"infini?

On réécrit la fonctionfen factorisantxdans chaque terme : f=x4(11x )(12x )(1 +3x )(1 +4x ) +6x 4 quandx!+1ou quandx! 1, le termex4en facteur tend vers plus l"infini, tandis que chacun des termes (11x ),(12x ),(1+3x )et(1+4x )tend vers 1. Par ailleurs le terme6x

4tend vers zéro. Ce qui fait que le terme dans

la grande parenthèse tend vers 1.1(+1) = +1. La fonction diverge donc à l"infini.

7) La fonctionf= (x1)(x2)(x+ 3)(x+ 4) + 6est-elle concave ou convexe?

Difficile de penser qu"une fonction qui passe quatre fois par zéro, dont le profil (guidé par la question précédente)

est décroissant croissant décroissant croissant,-8+8 soit concave ou convexe. En effet, une fonction concave est au plus croissante puis décroissante En effet, une fonction convexe est au plus décroissante puis croissante

4Relation affine cac hée

1) Une variable économiqueKvérifie l"équationK= (Q1+ 3Q2)3L1=5oùL,Q1etQ2sont des réels strictement positifs.

Montrer que la variableQ2est une fonction affine de la variableQ1, que l"on déterminera à l"aide des paramètresKetL.

On peut réécrire la définition de K sous une forme équivalente(Q1+3Q2)3=KL1=5ou encoreQ1+3Q2=K1=3L1=15,

ce qui établit une relation affine entre les deux variablesQ1etQ2, quand les paramètresKetLsont fixés, relation

qu"on peut encore écrire : Q 2=13 Q1+13

K1=3L1=15

2) Les variablesKetLsont liés par la conditionL(K+ 1) = 12, doit on en déduire que les variablesLetKsont: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :proportionnelles;: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :inversement proportionnelles;: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :telles queLest une fonction affine deK;: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :telles queK+ 1est une fonction affine deL.

La bonne réponse est queKetLsont inversement proportionnelles, en effet, quandKaugmente, le dénominateur

de la fraction

12K+1augmente, et cette fraction qui estLdiminue : quandKaugmente,Ldiminue, c"est la définition

d"inversement proportionnel. 5 exercice div ers

1) Résoudre le système

8>>>><

>>>:2x1+3x22 +x3=1 x 12 +x2+ 3x3= 4

2x1+ 3x2+x34

= 3(S)

En substituantx2par la valeurx2= 43x312

x1définie par la seconde, on peut réécrire le système formé des

équations 1 et 3 sous la forme

8>< :2x1+32 (43x312 x1) +x3=1

2x1+ 3(43x312

x1) +x34 = 3 ce qui équivaut au système 8>< :54 x172 x3=7 12 x1354 x3=9

ou encore en additionnant la première équation moins 5/2 fois la seconde, et en multipliant la seconde par 2, et

la réarrangeant 8>< 3558
72
x3= 31=2 x 1=352 x318()8 :x

3= (31=2)(8=21)(1=7) = 124=147

x 1=352 (124=147)18 Soit 8>< :x

3= 0;976

x 1354
x3=0;913 d"où l"on déduit x

2= 1;528

6

Un morceau d"annale

Pour chacune des questions suivantes, vous indiquerez dans la case à droite de la question la réponse.1) Trouveraetbentre 10 et 90 tels que10ab91soient équidistantsj10jajbj91

La réponse à la question 1 esta= 37,b= 64

En effet :aetbsont caractérisés par le fait que 10,a,bet 91 soient équidistants, cad que les trois longueurs qui

les sépare soient égales :a10 =ba= 91b;, deux égalités qui forment le système : 8>>>< >>:a10 =ba ba= 91b()8 >>:2ab= 10 a+ 2b= 91()8 >>:4a2b= 20 a+ 2b= 91()8 >>:3a= 20 + 91a= 37

37 + 2b= 90b= 642) Trouver lexpour que les deux suites de nombres(1;2;5)et(7;14;x)soient en relation affineLa réponse à la question 2 est 35

En effet : Ici, on peut appercevoir que s"il y a une relation affine, elle est proportionnelle, car il y a en effet une

proportionalité entre les deux premières coordonnées de ces suites de nombres. Le terme de proportionalité nous

est donné par le premier membre de chaque suite : ainsi, les termes de la seconde suite sont sept fois les termes

de la première suite. On a doncx= 75 = 35.3) Trouver leymanquant pour que les deux suites de nombres(2;6;5)et(10;y;25)soient proportionnellesLa réponse à la question 3 est 30

En effet : Le terme de proportionnalité nous est donné par le premier membre de chaque suite : ainsi, les termes

de la seconde suite sont cinq fois ( 102

) les termes de la première suite. On a doncy= 56 = 30.4) Trouver le réelxmanquant pour que les deux suites(1;6;5)et(5;20;x)soient en relation affine.La réponse à la question 4 est17

En effet : Ces deux suites sont en relation affine si

20x65=20561()(20x) = 15=5 = 3()x= 175) Trouver le réelypour que les deux suites(1;6;5)et(2;y;7)soient en relation affine.La réponse à la question 5 est 8,25

En effet : Ces deux suites sont en relation affine si

y765=7251()(y7) = 5=4()y= (28 + 5)=4 = 33=4 = 8;256) Trouver le réelzmanquant pour que les deux suites(1;6;5)et(z;5;6)soient en relation affine.La réponse à la question 6 estz= 10

En effet : Ces deux suites sont en relation affine si (1,z) (6,5) et (5,6) sont alignés.

5z61=6556()(5z)=5 =1()5z=5()z= 5 + 5 = 10

On le vérifie sur un graphique

7) Trouver l"intersection des droites d"équation107x+y= 217et12x6y= 6La réponse à la question 7 estx= 2;y= 3

En effet : La seconde équation se simplifie en la divisant par 6. Elle devient2xy= 1. Le système à résoudre est

donc : 8>>>< >>:107x+y= 217

2xy= 1

En additionnant les deux équations, on trouve109x= 218, soitx=218109 = 2

En remplaçantxdans la seconde équation, on trouvey= 2x1 = 41 = 38) Donner l"équation de la droite qui contient les trois points (1,10), (6,5) et (5,6)

La réponse à la question 8 estx+y= 11

En effet : La droite qui connecte (6,5) et (5,6) est une droite de pente -1. Elle a donc pour équationx+y=cste.

La constante est égale (ouf!) pour les trois points à 11.9) Trouver la condition sur le paramètrea0, pour que l"ensemblef(x;y)2R2+= xay107gsoit convexeLa réponse à la question 9 esta= 0

En effet : Considérons la fonctiony= 107xa, lorsquea >0cette fonction est décroissante. Sa dérivée seconde est

y xx= 107(a)(a1)xa2= 107a(a+ 1)xa2>0: elle est convexe. Cela correspond au dessin suivant :xy

et donc l"ensemblef(x;y)2R2= x2y107gn"est pas convexe : par exemple, le segment (représenté en rouge) qui

relie deux points de la frontière, n"est pas dans l"ensemble. Par contre lorsquea= 0, cet ensemble est défini : c"est

dans ce casf(x;y)2R2+= y107gc"est en fait un demi espace, il est convexe.10) Trouver la condition sur le paramètrea0, pour que l"ensemblef(x;y)2R2+= xay107gsoit convexe

La réponse à la question 10 esta0

En effet : Considérons la fonctiony= 107xa, lorsquea >0cette fonction est décroissante. Sa dérivée seconde est

y xx= 107(a)(a1)xa2= 107a(a+ 1)xa2>0: elle est convexe. Cela correspond au dessin suivant :xy

et donc l"ensemblef(x;y)2R2= x2y107gest convexe : par exemple, le segment (représenté en rouge) qui relie

deux points de la frontière, reste dans l"ensemble. C"est aussi le cas lorsquea= 0, cet ensemble est défini dans ce

cas commef(x;y)2R2+= y107gest en fait un demi espace, il est convexe.11) Trouver l"intersection des droites d"équation2x+ 3y= 3etx+y= 1La réponse à la question 11 estx= 0,y= 1

En effet :FinducorrigéduTD5

quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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